Ulikhet mellom aritmetiske og geometriske midler - Inequality of arithmetic and geometric means

Bevis uten ord om ulikheten mellom aritmetiske og geometriske midler :
PR er en diameter på en sirkel sentrert på O; radius AO er det aritmetiske gjennomsnittet av a og b . Ved bruk av den geometriske gjennomsnittssetningen er trekant PGRs høyde GQ det geometriske gjennomsnittet . For ethvert forhold a : b , AO ≥ GQ.
Visuelt bevis på at ( x + y ) 2 ≥ 4 xy . Å ta kvadratrøtter og dividere med to gir AM - GM ulikhet.

I matematikk , den ulikhet av aritmetiske og geometriske middel , eller flere kort på AM-GM ulikhet , fremgår det at den aritmetiske middelverdi av en liste av ikke-negative reelle tall større enn eller lik den geometriske middelverdi av den samme liste; og videre at de to midlene er like hvis og bare hvis hvert tall i listen er det samme (i så fall er de begge det tallet).

Det enkleste ikke-trivielle tilfellet-dvs. med mer enn én variabel-for to ikke-negative tall x og  y , er utsagnet som

med likhet hvis og bare hvis x = y . Denne saken kan ses fra det faktum at kvadratet til et reelt tall alltid er ikke-negativt (større enn eller lik null) og fra elementærtilfellet ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2 av binomisk formel :

Derfor ( x + y ) 2 ≥ 4 xy , med likhet nøyaktig når ( x - y ) 2 = 0 , dvs. x = y . AM - GM -ulikheten følger deretter av å ta den positive kvadratroten på begge sider og deretter dele begge sider med 2 .

For en geometrisk tolkning, vurder et rektangel med sider med lengde  x og  y , derfor har den omkrets 2 x + 2 y og areal  xy . På samme måte har en firkant med alle sider av lengden xy omkretsen 4 xy og det samme området som rektanglet. Det enkleste ikke-trivielle tilfellet av AM-GM-ulikheten innebærer for omkretsene at 2 x + 2 y ≥ 4 xy og at bare kvadratet har den minste omkretsen blant alle rektangler med samme areal.

Utvidelser av AM - GM -ulikheten er tilgjengelige for å inkludere vekter eller generaliserte midler .

Bakgrunn

Det aritmetiske gjennomsnittet , eller mindre presist gjennomsnittet , av en liste med n tall x 1 , x 2 ,. . . , x n er summen av tallene delt på  n :

Det geometriske gjennomsnittet er likt, bortsett fra at det bare er definert for en liste over ikke -negative reelle tall, og bruker multiplikasjon og en rot i stedet for tillegg og divisjon:

Hvis x 1 , x 2 ,. . . , x n > 0 , dette er lik eksponensialet til det aritmetiske gjennomsnittet av tallens naturlige logaritmer :

Ulikheten

Omarbeide ulikheten ved matematisk notasjon, har vi at for noen liste over n negative reelle tall x 1 , x 2 ,. . . , x n ,

og at likestilling holder hvis og bare hvis x 1 = x 2 = · · · · = x n .

Geometrisk tolkning

I to dimensjoner, 2 x 1 + 2 x 2 er omkretsen av et rektangel med sidene av lengde  x 1 og  x 2 . På samme måte er 4 x 1 x 2 omkretsen av et kvadrat med samme areal , x 1 x 2 , som det rektangelet. Således for n = 2 sier AM -GM -ulikheten at et rektangel av et gitt område har den minste omkretsen hvis det rektangelet også er et kvadrat.

Den fulle ulikheten er en utvidelse av denne ideen til n dimensjoner. Hvert toppunkt i en n -dimensjonal boks er koblet til n kanter. Hvis lengden på disse kantene er x 1 , x 2 ,. . . , x n , så er x 1 + x 2 + · · · + x n den totale lengden på kantene som kommer inn på toppunktet. Det er 2 n hjørner, så vi ganger dette med  2 n ; siden hver kant imidlertid møter to hjørner, telles hver kant to ganger. Derfor deler vi med  2 og konkluderer med at det er 2 n −1 n kanter. Det er like mange kanter av hver lengde og n lengder; derfor er det 2 n −1 kanter av hver lengde og summen av alle kantlengder er 2 n −1 ( x 1 + x 2 + · · · + x n ) . På den andre siden,

er den totale lengden på kantene som er koblet til et toppunkt på en n -dimensjonal terning med samme volum, siden i dette tilfellet x 1 = ... = x n . Siden ulikheten sier

den kan omarbeides ved å multiplisere med n 2 n –1 for å oppnå

med likhet hvis og bare hvis x 1 = x 2 = · · · · = x n .

Dermed sier AM -GM -ulikheten at bare n -kuben har den minste summen av kanter som er koblet til hvert toppunkt blant alle n -dimensjonale bokser med samme volum.

Eksempel på søknad

Vurder funksjonen

for alle positive reelle tall x , y og  z . Anta at vi ønsker å finne den minimale verdien av denne funksjonen. Det kan skrives om som:

med

Ved å bruke AM - GM -ulikheten for n = 6 , får vi

Videre vet vi at de to sidene er like nøyaktig når alle vilkårene i gjennomsnittet er like:

Alle punktene ( x , y , z ) som tilfredsstiller disse betingelsene ligger på en halvlinje som starter ved opprinnelsen og er gitt av

Praktiske applikasjoner

En viktig praktisk anvendelse i finansmatematikk er å beregne avkastningen : den årlige avkastningen , beregnet via det geometriske gjennomsnittet, er mindre enn gjennomsnittlig årlig avkastning, beregnet med det aritmetiske gjennomsnittet (eller lik hvis alle avkastninger er like). Dette er viktig for å analysere investeringer , ettersom gjennomsnittlig avkastning overvurderer den kumulative effekten.

Bevis på ulikheten mellom AM og GM

Bevis på bruk av Jensens ulikhet

Jensens ulikhet sier at verdien av en konkav funksjon av et aritmetisk gjennomsnitt er større enn eller lik det aritmetiske gjennomsnittet av funksjonens verdier. Siden logaritme -funksjonen er konkav, har vi

Ved å ta antiloger på ytterst venstre og høyre side, har vi ulikheten AM - GM.

Bevis ved gjennomsnitt av det aritmetiske gjennomsnittet

Det må vi vise

med likhet bare når alle tall er like. Hvis x ix j , så erstatter både x i og x j med ( x i + x j )/2 det aritmetiske gjennomsnittet på venstre side uendret, men øker det geometriske gjennomsnittet på høyre side fordi

Dermed vil høyre side være størst når alle x i er lik det aritmetiske gjennomsnittet

Så da dette er den største verdien på høyre side av uttrykket, har vi

Dette er et gyldig bevis for saken n = 2 , men prosedyren for å ta iterativt parvise gjennomsnitt kan ikke produsere n like tall i tilfellet n ≥ 3 . Et eksempel på dette tilfellet er x 1 = x 2x 3 : Gjennomsnittet av to forskjellige tall gir to like tall, men det tredje er fortsatt forskjellig. Derfor får vi faktisk aldri en ulikhet som involverer det geometriske gjennomsnittet av tre like tall.

I det generelle tilfellet har gjennomsnittsprosessen ovenfor en tendens til like tall, og det beviser AM-GM.

Vi kan se dette ved å merke at en av er negativ, og at hvis er gjennomsnittet av alle tallene, kan vi måle variansen ved å vurdere . Dette begrepet er alltid positivt, og har en tendens til null under transformasjonen :

La, WLOG , og .

Deretter

Induksjonsbevis

Bevis ved induksjon #1

Av de ikke-negative reelle tallene x 1 ,. . . , x n , er AM – GM -setningen ekvivalent med

med likhet hvis og bare hvis α = x i for alle i ∈ {1 ,. . . , n } .

For følgende bevis bruker vi matematisk induksjon og bare kjente regneregler.

Induksjonsgrunnlag: For n = 1 er utsagnet sant med likhet.

Induksjonshypotese: Anta at AM-GM-setningen gjelder for alle valg av n ikke-negative reelle tall.

Induksjonstrinn: Tenk på n + 1 ikke-negative reelle tall x 1 ,. . . , X n + 1 ,. Deres aritmetiske gjennomsnitt α tilfredsstiller

Hvis alle x i er lik α , så har vi likhet i AM – GM -setningen, og vi er ferdige. I tilfelle hvor noen ikke er lik α , må det finnes et tall som er større enn det aritmetiske gjennomsnittet α , og et som er mindre enn α . Uten tap av generalitet kan vi endre rekkefølgen våre x jeg for å plassere disse to spesielle elementer ved enden: x n > α og x n 1 < α . Deretter

Definere nå y med

og tenk på n -tallene x 1 ,. . . , x n –1 , y som alle er ikke-negative. Siden

Dermed er α også det aritmetiske gjennomsnittet av n tall x 1 ,. . . , x n –1 , y og induksjonshypotesen innebærer

På grunn av (*) vet vi det

derav

spesielt α > 0 . Derfor, hvis minst ett av tallene x 1 ,. . . , x n –1 er null, så har vi allerede streng ulikhet i (**). Ellers er høyre side av (**) positiv og streng ulikhet oppnås ved å bruke estimatet (***) for å få en nedre grense for høyre side av (**). Dermed kan vi i begge tilfeller erstatte (***) til (**) for å få

som fullfører beviset.

Bevis ved induksjon #2

Først og fremst skal vi bevise at for reelle tall x 1 <1 og x 2 > 1 følger det

Å multiplisere begge sider av ulikheten x 2 > 1 med 1 - x 1 gir faktisk

hvorfra den nødvendige ulikheten oppnås umiddelbart.

Nå skal vi bevise at for positive reelle tall x 1 ,. . . , x n tilfredsstillende x 1 . . . x n = 1 , det holder

Likestillingen gjelder bare hvis x 1 = ... = x n = 1 .

Induksjonsgrunnlag: For n = 2 er utsagnet sant på grunn av egenskapen ovenfor.

Induksjonshypotese: Anta at utsagnet er sant for alle naturlige tall opp til n - 1 .

Induksjonstrinn: Tenk på naturlig tall n , dvs. for positive reelle tall x 1 ,. . . , x n , det holder x 1 . . . x n = 1 . Det finnes minst én x k <1 , så det må være minst én x j > 1 . Uten tap av generalitet lar vi k = n - 1 og j = n .

Videre likestillingen x 1 . . . x n = 1 skal vi skrive i form av ( x 1 ... x n –2 ) ( x n –1 x n ) = 1 . Deretter innebærer induksjonshypotesen

Imidlertid har vi tatt hensyn til induksjonsgrunnlaget

som fullfører beviset.

For positive reelle tall a 1 ,. . . , a n , la oss betegne

Tallene x 1 ,. . . , x n tilfredsstiller betingelsen x 1 . . . x n = 1 . Så vi har

hvorfra vi får

med likestilling bare for en 1 = ... = a n .

Bevis av Cauchy ved å bruke induksjon fremover og bakover

Følgende bevis i saker er direkte avhengig av kjente regneregler, men bruker den sjelden brukte teknikken for fremover-bakover-induksjon. Den er hovedsakelig fra Augustin Louis Cauchy og finnes i Cours d'analyse .

Tilfellet der alle vilkårene er like

Hvis alle vilkårene er like:

da er summen deres nx 1 , så det aritmetiske gjennomsnittet er  x 1 ; og produktet deres er x 1 n , så det geometriske gjennomsnittet er  x 1 ; Derfor er det aritmetiske gjennomsnittet og det geometriske gjennomsnittet like, etter ønske.

Tilfellet der ikke alle vilkårene er like

Det gjenstår å vise at hvis ikke alle begrepene er like, så er det aritmetiske gjennomsnittet større enn det geometriske gjennomsnittet. Dette er tydeligvis bare mulig når n > 1 .

Denne saken er betydelig mer kompleks, og vi deler den inn i undersaker.

Subcase der n = 2

Hvis n = 2 , så har vi to termer, x 1 og x 2 , og siden (etter vår antagelse) ikke alle vilkår er like, har vi:

derav

som ønsket.

Subcase der n = 2 k

Tenk på tilfellet der n = 2 k , hvor k er et positivt heltall. Vi fortsetter med matematisk induksjon.

I hovedkassen er k = 1 , så n = 2 . Vi har allerede vist at ulikheten holder når n = 2 , så vi er ferdige.

Anta at for en gitt k > 1 har vi allerede vist at ulikheten holder for n = 2 k −1 , og vi ønsker å vise at den holder for n = 2 k . For å gjøre det, bruker vi ulikheten to ganger for 2 k -1 tall og en gang for 2 tall for å få:

hvor i den første ulikheten er de to sidene like like hvis

og

(i så fall er det første aritmetiske gjennomsnittet og det første geometriske gjennomsnittet begge lik  x 1 , og på samme måte med det andre aritmetiske gjennomsnittet og det andre geometriske gjennomsnittet); og i den andre ulikheten er de to sidene bare like hvis de to geometriske midlene er like. Siden ikke alle 2 k -tallene er like, er det ikke mulig for begge ulikhetene å være likheter, så vi vet at:

som ønsket.

Subcase der n <2 k

Hvis n ikke er en naturlig kraft på  2 , så er det absolutt mindre enn en naturlig kraft på 2, siden sekvensen 2, 4, 8,. . . 2 k ,. . . er ubegrenset ovenfor. Derfor, uten tap av generalitet, la m være en naturlig kraft på 2 som er større enn  n .

Så, hvis vi har n termer, la oss betegne deres aritmetiske gjennomsnitt med  α , og utvide vår liste over termer slik:

Vi har da:

og

som ønsket.

Bevis ved induksjon ved hjelp av grunnleggende beregning

Følgende bevis bruker matematisk induksjon og noen grunnleggende differensialberegninger .

Induksjonsgrunnlag : For n = 1 er utsagnet sant med likhet.

Induksjonshypotese : Anta at AM-GM-setningen gjelder for alle valg av n ikke-negative reelle tall.

Induksjonstrinn : For å bevise utsagnet for n + 1 ikke-negative reelle tall x 1 ,. . . , x n , x n +1 , må vi bevise det

med likhet bare hvis alle n + 1 -tallene er like.

Hvis alle tall er null, holder ulikheten med likhet. Hvis noen, men ikke alle tall er null, har vi streng ulikhet. Derfor kan vi anta i det følgende at alle n + 1 -tallene er positive.

Vi anser det siste tallet x n +1 som en variabel og definerer funksjonen

Å bevise induksjonstrinnet tilsvarer å vise at f ( t ) ≥ 0 for alle t > 0 , med f ( t ) = 0 bare hvis x 1 ,. . . , x n og  t er alle like. Dette kan gjøres ved å analysere de kritiske punktene til  f ved å bruke noen grunnleggende beregninger.

Det første derivatet av f er gitt av

Et kritisk punkt t 0 må tilfredsstille f ′ ( t 0 ) = 0 , som betyr

Etter en liten omlegging får vi

og endelig

som er det geometriske gjennomsnittet av x 1 ,. . . , x n . Dette er det eneste kritiske punktet til  f . Siden f '' ( t )> 0 for alle t > 0 , er funksjonen  f er strengt konveks og har en streng globalt minimum ved  t 0 . Deretter beregner vi verdien av funksjonen på dette globale minimumet:

der den endelige ulikheten holder på grunn av induksjonshypotesen. Hypotesen sier også at vi bare kan ha likhet når x 1 ,. . . , x n er alle like. I dette tilfellet har deres geometriske gjennomsnitt   t 0 samme verdi, med mindre x 1 ,. . . , x n , x n +1 er alle like, vi har f ( x n +1 )> 0 . Dette fullfører beviset.

Denne teknikken kan brukes på samme måte for å bevise den generaliserte AM - GM -ulikheten og Cauchy - Schwarz -ulikheten i det euklidiske rommet R n .

Bevis av Pólya ved hjelp av eksponensiell funksjon

George Pólya ga et bevis som ligner det som følger. La f ( x ) = e x –1 - x for alle virkelige  x , med første derivat f ′ ( x ) = e x –1 - 1 og andre derivat f ′ ′ ( x ) = e x –1 . Vær oppmerksom på at f (1) = 0 , f ′ (1) = 0 og f ′ ′ ( x )> 0 for alle virkelige  x , derfor er f strengt konveks med absolutt minimum på x = 1 . Derfor x ≤ e x –1 for alle reelle  x med likhet bare for x = 1 .

Vurder en liste over ikke-negative reelle tall x 1 , x 2 ,. . . , x n . Hvis de alle er null, holder ulikheten mellom AM og GM likhet. Derfor kan vi anta i det følgende for deres aritmetiske gjennomsnitt α > 0 . Ved n -fold anvendelse av ovennevnte ulikhet, oppnår vi det

med likhet hvis og bare hvis x i = α for hver i ∈ {1 ,. . . , n } . Argumentet om den eksponensielle funksjonen kan forenkles:

Tilbake til (*) ,

som produserer x 1 x 2 · · · x nα n , derav resultatet

Bevis av Lagrangian Multipliers

Hvis noen av disse er , er det ingenting å bevise. Så vi kan anta at alle er strengt positive.

Fordi de aritmetiske og geometriske midlene er homogene av grad 1, uten tap av generalitet, antar vi det . Sett , og . Ulikheten vil bli bevist (sammen med likestillingssaken) hvis vi kan vise at minimumsemnet for begrensningen er lik , og minimumet oppnås bare når . La oss først vise at problemet med begrenset minimering har et globalt minimum.

Sett . Siden krysset er kompakt, garanterer ekstreme verdisetningen at minimum av gjenstand for begrensninger og oppnås på et eller annet tidspunkt inne . På den annen side, vær oppmerksom på at hvis noen av , da , mens , og . Dette betyr at minimum innsiden faktisk er et globalt minimum, siden verdien på et hvilket som helst tidspunkt inne er absolutt ikke mindre enn minimumet, og verdien på når som helst ikke inne er strengt større enn verdien på , som ikke er mindre enn minimum.

Metoden til Lagrange -multiplikatorer sier at det globale minimumet er oppnådd på et punkt der gradienten av er ganger gradienten til , for noen . Vi vil vise at det eneste punktet der dette skjer er når og

Beregn og

langs begrensningen. Å sette gradientene proporsjonale med hverandre gir derfor for hver det og så Siden venstre side ikke er avhengig av , følger det det , og siden følger det det og , etter ønske.

Generaliseringer

Vektet AM - GM ulikhet

Det er en lignende ulikhet for det veide aritmetiske gjennomsnittet og det veide geometriske gjennomsnittet . Spesielt la ikke-negative tall x 1 , x 2 ,. . . , X n og de ikke-negative vektene w 1 , w 2 ,. . . , W n gis. Sett w = w 1 + w 2 + · · · · + w n . Hvis  w > 0 , så ulikheten

holder med likhet hvis og bare hvis alle x k med w k > 0 er like. Her brukes konvensjonen 0 0 = 1 .

Hvis alle w k = 1 , reduseres dette til den ovennevnte ulikheten mellom aritmetiske og geometriske midler.

Bevis på bruk av Jensens ulikhet

Ved å bruke den endelige formen for Jensens ulikhet for den naturlige logaritmen , kan vi bevise ulikheten mellom det veide aritmetiske gjennomsnittet og det veide geometriske gjennomsnittet som er angitt ovenfor.

Siden en x k med vekt w k = 0 ikke har noen innflytelse på ulikheten, kan vi i det følgende anta at alle vekter er positive. Hvis alle x k er like, holder likheten. Derfor gjenstår det å bevise streng ulikhet hvis de ikke alle er like, noe vi også antar i det følgende. Hvis minst én x k er null (men ikke alle), så er det veide geometriske gjennomsnittet null, mens det veide aritmetiske gjennomsnittet er positivt, og derfor holder streng ulikhet. Derfor kan vi også anta at alle x k er positive.

Siden den naturlige logaritmen er strengt konkav , innebærer den endelige formen for Jensens ulikhet og de funksjonelle ligningene til den naturlige logaritmen

Siden den naturlige logaritmen er sterkt økende ,

Matrise Aritmetisk geometrisk gjennomsnittlig ulikhet

De fleste matrisegeneraliseringer av den aritmetiske geometriske gjennomsnittlige ulikheten gjelder på nivået av enhetlig invariante normer, på grunn av det faktum at selv om matrisene og er positive halvdefinerte, er matrisen kanskje ikke positiv halvdefinert og kan derfor ikke ha et kanonisk kvadrat rot. I Bhatia og Kittaneh viste det seg for enhver enhetlig uforanderlig norm og positive semi-bestemte matriser, og det er slik at

Senere viste de samme forfatterne den sterkere ulikheten

Til slutt er det kjent for dimensjonen at følgende sterkeste mulige matrise-generalisering av den aritmetisk-geometriske gjennomsnittlige ulikheten holder, og det antas å holde for alle

Denne formodede ulikheten ble vist av Stephen Drury i 2012. Det beviste han faktisk

SW Drury, On a question of Bhatia and Kittaneh, Linear Algebra Appl. 437 (2012) 1955–1960.

Andre generaliseringer

Geometrisk bevis uten ord som maks  ( a , b ) > rot betyr gjennomsnittlig kvadrat ( RMS ) eller kvadratisk gjennomsnitt ( QM ) > aritmetisk gjennomsnitt ( AM ) > geometrisk gjennomsnitt ( GM ) > harmonisk gjennomsnitt ( HM ) > min  ( a , b ) på to positive tall a og b

Andre generaliseringer av ulikheten mellom aritmetiske og geometriske midler inkluderer:

Se også

Referanser

Eksterne linker