Abelian von Neumann algebra - Abelian von Neumann algebra

I funksjonell analyse er en abel von Neumann algebra en von Neumann algebra av operatører på et Hilbert-rom der alle elementer pendler .

Det prototype eksempelet på en abel von Neumann-algebra er algebra L ^∞ ( X , μ) for μ et σ-finitt mål på X realisert som en algebra av operatører på Hilbert-rommet L ² ( X , μ) som følger: Hver f ∈ L ^∞ ( X , μ) identifiseres med multiplikasjonsoperatøren

${\ displaystyle \ psi \ mapsto f \ psi.}$

Av spesiell betydning er abelian von Neumann algebras på separerbare Hilbert-rom, spesielt siden de er fullstendig klassifiserbare av enkle invarianter.

Selv om det er en teori for von Neumann-algebraer på ikke-separerbare Hilbert-rom (og faktisk er det mye av den generelle teorien i dette tilfellet), men teorien er betydelig enklere for algebraer på separerbare rom og de fleste anvendelser til andre områder i matematikk eller fysikk. bruk skillbare Hilbert-mellomrom. Legg merke til at hvis målrommene ( X , μ) er et standardmålingsrom (det vil si X - N er et standard Borel-rom for noe nullsett N og μ er et σ-endelig mål), er L ² ( X , μ) skilles.

Klassifisering

Forholdet mellom kommutative von Neumann algebraer og målrom er analog med den som mellom kommutative C * -algebraer og lokalt kompakte hausdorff mellomrom . Hver kommutative von Neumann-algebra på et separerbart Hilbert-rom er isomorf til L ^∞ ( X ) for noe standardmålrom ( X , μ), og omvendt, for hvert standardmålrommet X , er L ^∞ ( X ) en von Neumann-algebra. Denne isomorfismen er som sagt en algebraisk isomorfisme. Vi kan faktisk oppgi dette mer nøyaktig som følger:

Teorem . Enhver abelian von Neumann-algebra av operatører på et separerbart Hilbert-rom er * -isomorf til nøyaktig ett av følgende

• ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ {1,2, \ ldots, n \}), \ quad n \ geq 1}$
• ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$
• ${\ displaystyle L ^ {\ infty} ([0,1])}$
• ${\ displaystyle L ^ {\ infty} ([0,1] \ cup \ {1,2, \ ldots, n \}), \ quad n \ geq 1}$
• ${\ displaystyle L ^ {\ infty} ([0,1] \ cup \ mathbf {N}).}$

Isomorfismen kan velges for å bevare den svake operatortopologien.

I listen over har intervallet [0,1] Lebesgue-mål og settene {1, 2, ..., n } og N har tellemåling. Fagforeningene er disjoint fagforeninger. Denne klassifiseringen er i hovedsak en variant av Maharams klassifiseringsteorem for separerbare måle-algebraer. Den versjonen av Maharams klassifiseringsteorem som er mest nyttig innebærer en poengrealisering av ekvivalensen, og er noe av et folketeorem .

Selv om hvert standardmålrom er isomorf for et av de ovennevnte, og listen er uttømmende i denne forstand, er det et mer kanonisk valg for målrommet når det gjelder abelian von Neumann algebras A : Settet med alle projektorer er et- komplett Boolsk algebra, det er en poengfri -algebra. I det spesielle tilfellet gjenoppretter man den abstrakte -algebra . Denne poengfrie tilnærmingen kan gjøres om til en dualitetsteoremanalog til Gelfand-dualitet mellom kategorien abelian von Neumann algebras og kategorien abstrakte -algebras. ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle A = L ^ {\ infty} (X, {\ mathfrak {A}}, \ mu)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} / \ {A \ mid \ mu (A) = 0 \}}$${\ displaystyle \ sigma}$

La μ og ν være ikke-atomiske sannsynlighetstiltak på henholdsvis standardborellrom X og Y. Så er det en μ-null undergruppe N av X , en μ null-undergruppe M av Y og en Borel-isomorfisme

${\ displaystyle \ phi: X \ setminus N \ rightarrow Y \ setminus M, \ quad}$

som fører μ til ν.

Legg merke til at i det ovennevnte resultatet er det nødvendig å klippe bort målesett null for å få resultatet til å fungere.

I ovennevnte teorem kreves isomorfismen for å bevare den svake operatortopologien. Som det viser seg (og lett følger av definisjonene), for algebras L ^∞ ( X , μ), er følgende topologier enige om normbegrensede sett:

1. Den svake operatortopologien på L ^∞ ( X , μ);
2. Den ultraweak operatortopologien på L ^∞ ( X , μ);
3. Topologien med svak * konvergens på L ^∞ ( X , μ) betraktet som dobbeltrommet til L ¹ ( X , μ).

For en abelian fra Neumann algebra A er imidlertid realiseringen av A som en algebra av operatører på et separerbart Hilbert-rom svært ikke-unik. Den komplette klassifiseringen av operatørens algebra-realisasjoner av A er gitt av spektral mangfoldighetsteori og krever bruk av direkte integraler .

Romlig isomorfisme

Ved å bruke direkte integrert teori kan det vises at abelian von Neumann algebras av formen L ^∞ ( X , μ) som fungerer som operatører på L ² ( X , μ) alle er maksimal abelisk. Dette betyr at de ikke kan utvides til riktig større abeliske algebraer. De blir også referert til som maksimale abeliske selvadjoint algebraer (eller MASAs). Et annet uttrykk som brukes for å beskrive dem er abelian von Neumann algebras med ensartet mangfoldighet 1 ; denne beskrivelsen gir mening bare i forhold til mangfoldighetsteorien beskrevet nedenfor.

Von Neumann algebras A på H , B på K er romlig isomorf (eller ensartet isomorf ) hvis og bare hvis det er en enhetlig operatør U : H → K slik at

${\ displaystyle UAU ^ {*} = B.}$

Spesielt romlig isomorfe von Neumann algebras er algebraisk isomorfe.

For å beskrive den mest generelle abelsk von Neumann algebra på en delbar Hilbertrom H opp til romlig isomorphism, må vi henvise direkte integrert nedbryting av H . Detaljene om denne nedbrytningen er diskutert i spaltning av abelian von Neumann algebras . Spesielt:

Teorem Enhver abelian fra Neumann algebra på et separerbart Hilbert-rom H er romlig isomorf til L ^∞ ( X , μ) og virker på

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H (x) \, d \ mu (x)}$

for noen målbar familie av Hilbertrom { H _x } _{x ∈ X} .

Merk at for abelian von Neumann algebras som fungerer på slike direkte integrerte rom, er fortsatt ekvivalensen av den svake operatortopologien, den ultraweak topologien og den svake * topologien på normbegrensede sett fortsatt.

Punkt og romlig realisering av automorfismer

Mange problemer i ergodisk teori reduserer til problemer om automorfismer av abelian von Neumann algebras. I den forbindelse er følgende resultater nyttige:

Teorem . Anta at μ, ν er standardmål på henholdsvis X , Y. Så eventuell involutiv isomorfisme

${\ displaystyle \ Phi: L ^ {\ infty} (X, \ mu) \ høyre pil L ^ {\ infty} (Y, \ nu)}$

som er svak * - bikontinuerlig tilsvarer en punktomdannelse i følgende forstand: Det er Borel null-undergrupper M av X og N av Y og en Borel-isomorfisme

${\ displaystyle \ eta: X \ setminus M \ rightarrow Y \ setminus N}$

slik at

1. η bærer målet μ til et mål μ 'på Y som tilsvarer ν i den forstand at μ' og ν har de samme settene med mål null;
2. η innser transformasjonen Φ, det vil si

${\ displaystyle \ Phi (f) = f \ circ \ eta ^ {- 1}.}$

Legg merke til at vi generelt ikke kan forvente at η vil føre μ til ν.

Neste resultat gjelder enhetlige transformasjoner som induserer en svak * -kontinøs isomorfisme mellom abelian von Neumann algebras.

Teorem . Anta at μ, ν er standardmål på X , Y og

${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad K = \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu ( y)}$

for målbare familier av Hilbertrom { H _x } _{x ∈ X} , { K _y } _{y ∈ Y} . Hvis U  : H → K er en enhet slik

${\ displaystyle U \, L ^ {\ infty} (X, \ mu) \, U ^ {*} = L ^ {\ infty} (Y, \ nu)}$

så er det en nesten overalt definert Borel-punkttransformasjon η: X → Y som i forrige teorem og en målbar familie { U _x } _{x ∈ X} av enhetsoperatører

${\ displaystyle U_ {x}: H_ {x} \ høyre pil K _ {\ eta (x)}}$

slik at

${\ displaystyle U {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ psi _ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {Y} ^ {\ oplus} { \ sqrt {{\ frac {d (\ mu \ circ \ eta ^ {- 1})} {d \ nu}} (y)}} \ U _ {\ eta ^ {- 1} (y)} {\ bigg (} \ psi _ {\ eta ^ {- 1} (y)} {\ bigg)} d \ nu (y),}$

der uttrykket i kvadratrottegn er Radon – Nikodym-derivatet av μ η ⁻¹ med hensyn til ν. Uttalelsen følger kombinere teoremet om punktrealisering av automorfismer som er nevnt ovenfor med teorem som karakteriserer algebraen til diagonaliserbare operatører som er angitt i artikkelen om direkte integraler .

Merknader

referanser

• J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien , Gauthier-Villars, 1969. Se kapittel I, seksjon 6.
• Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", encyclopedia of mathematical sciences, Springer-Verlag, 2001–2003 (det første bindet ble utgitt 1979 i 1. utgave) ISBN  3-540-42248-X