Absolutt uendelig - Absolute Infinite

The Absolute Infinite ( symbol : Ω) er en forlengelse av ideen om uendelig foreslått av matematiker Georg Cantor .

Det kan tenkes som et tall som er større enn noen tenkelig eller utenkelig mengde, enten begrenset eller transfinitt .

Cantor knyttet det absolutte uendelige til Gud , og mente at det hadde forskjellige matematiske egenskaper, inkludert refleksjonsprinsippet : hver eiendom til det absolutte uendelige er også inneholdt av noen mindre objekter.

Cantors syn

Cantor sa:

Den faktiske uendelige ble preget av tre relasjoner: For det første, slik det blir realisert i den ypperste perfeksjon, i den helt uavhengige, utenomjordiske eksistensen, i Deo, hvor jeg kaller det absolutt uendelig eller rett og slett absolutt; andre i den grad den er representert i den avhengige, skapende verden; tredje som det kan tenkes abstrakt i tanken som en matematisk størrelse, tall eller ordertype. I de to sistnevnte forholdene, hvor det åpenbart åpenbarer seg som begrenset og i stand til ytterligere spredning og dermed kjent for det endelige, kaller jeg det Transfinitum og kontrasterer det sterkt med det absolutte.

Cantor nevnte også ideen i brevene til Richard Dedekind (tekst i firkantede parenteser som ikke finnes i originalen):

En mangfold kalles velordnet hvis den oppfyller betingelsen om at hver delmultiplikitet har et første element ; en slik mangfold kaller jeg for kort en "sekvens".

...

Nå ser jeg for meg systemet med alle [ordinære] tall og betegner det Ω .

...

Systemet Ω i sin naturlige rekkefølge etter størrelse er en "sekvens".
La oss nå grense 0 som et tilleggselement til denne sekvensen, og plassere den åpenbart i første posisjon; Da vi oppnå en sekvens som Ω ' :

0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 1, ..., γ, ...
hvorav man lett kan overbevise seg om at alle tall γ som forekommer i det er typen [dvs. ordenstype] for sekvensen til alle de foregående elementene (inkludert 0). (Sekvensen Ω har denne egenskapen først for ω 0 +1. [Ω 0 +1 skal være ω 0. ])

Nå kan Ω ′ (og derfor også Ω ) ikke være en konsekvent multiplisitet. For hvis Ω ′ var konsistent, så ville et tall δ som et velordnet sett svare til det som ville være større enn alle tallene i systemet Ω ; tallet δ tilhører imidlertid også systemet Ω , fordi det omfatter alle tall. Dermed ville δ være større enn δ , som er en motsetning. Derfor:

Systemet Ω for alle [ordinære] tall er en inkonsekvent, absolutt uendelig mangfold.

Burali-Forti-paradokset

Hovedartikkel: Burali-Forti paradoks

Ideen om at samlingen av alle ordinære tall ikke logisk kan eksistere, virker paradoksal for mange. Dette er relatert til Cesare Burali-Fortis "paradoks" som sier at det ikke kan være det største ordenstallet . Alle disse problemene kan spores tilbake til ideen om at for hver eiendom som kan defineres logisk, finnes det et sett med alle objekter som har den egenskapen. Imidlertid, som i Cantors argument (ovenfor), fører denne ideen til vanskeligheter.

Mer generelt, som nevnt av AW Moore , kan det ikke være noen ende på prosessen med settet formasjon, og dermed ikke noe slikt som totaliteten av alle settene , eller sett hierarki . Enhver slik totalitet må i seg selv være et sett, og dermed ligge et sted i hierarkiet og dermed ikke inneholde hvert sett.

En standard løsning på dette problemet finnes i Zermelos settteori , som ikke tillater ubegrenset dannelse av sett fra vilkårlige egenskaper. Snarere kan vi danne settet til alle objekter som har en gitt egenskap og ligge i et gitt sett (Zermelos separasjonsaksiom ). Dette tillater dannelse av sett basert på egenskaper, i begrenset forstand, samtidig som (forhåpentligvis) konsistensen av teorien bevares.

Selv om dette løser det logiske problemet, kan man argumentere for at det filosofiske problemet forblir. Det virker naturlig at et sett med individer burde eksistere, så lenge individene eksisterer. Faktisk naiv mengdelære kan sies å være basert på denne forestillingen. Selv om Zermelos løsning lar en klasse beskrive vilkårlige (muligens "store") enheter, kan det hende at disse predikatene til metaspråket ikke har noen formell eksistens (dvs. som et sett) innenfor teorien. For eksempel vil klassen av alle settene være en riktig klasse . Dette er filosofisk utilfredsstillende for noen og har motivert tilleggsarbeid innen settteori og andre metoder for å formalisere grunnlaget for matematikk som New Foundations av Willard Van Orman Quine .

Se også

Merknader

Bibliografi