Absolutt kontinuitet - Absolute continuity

I beregning er absolutt kontinuitet en glatthetsegenskap for funksjoner som er sterkere enn kontinuitet og jevn kontinuitet . Tanken om absolutt kontinuitet tillater en å få generaliseringer av forholdet mellom de to sentrale operasjonene i beregningen - differensiering og integrasjon . Dette forholdet er vanligvis preget (av den grunnleggende teoremet for regning ) innenfor rammen av Riemann -integrasjon , men med absolutt kontinuitet kan det formuleres når det gjelder Lebesgue -integrasjon . For virkelig verdsatte funksjoner på den virkelige linjen vises to sammenhengende forestillinger: absolutt kontinuitet i funksjoner og absolutt kontinuitet i tiltak. Disse to forestillingene er generalisert i forskjellige retninger. Det vanlige derivatet av en funksjon er relatert til Radon - Nikodym -derivatet , eller tettheten , av et mål.

Vi har følgende inkluderingskjeder for funksjoner over en kompakt delmengde av den virkelige linjen:

absolutt kontinuerlig ⊆ uniformt kontinuerlig ⊆ kontinuerlig

og, for et kompakt intervall,

kontinuerlig differensierbar ⊆ Lipschitz kontinuerlig ⊆ absolutt kontinuerlig ⊆ begrenset variasjon ⊆ differensierbar nesten overalt

Absolutt kontinuitet i funksjonene

En kontinuerlig funksjon mislykkes i å være absolutt kontinuerlig hvis den ikke er jevnt kontinuerlig , noe som kan skje hvis domenet til funksjonen ikke er kompakt - eksempler er tan ( x ) over [0, π /2) , x ² over hele reelle linje, og sin (1/ x ) over (0, 1]. Men en kontinuerlig funksjon f kan unnlate å være absolutt kontinuerlig selv på et kompakt intervall. Den er kanskje ikke "differensierbar nesten overalt" (som Weierstrass -funksjonen , som er eller det kan være differensierbart nesten overalt og dets derivat f  ′ kan være Lebesgue -integrerbar , men integralet av f  ′ er forskjellig fra økningen av f (hvor mye f endres over et intervall). Dette skjer for eksempel med Cantor -funksjon .

Definisjon

La være et intervall i den virkelige linjen . En funksjon er helt kontinuerlig på hvis for hvert positivt tall , er det et positivt tall slik at når en endelig sekvens av parvise adskilte underintervaller av med tilfredsstiller ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f \ colon I \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x_ {k} <y_ {k} \ i I}$

${\ displaystyle \ sum _ {k} (y_ {k} -x_ {k}) <\ delta}$

deretter

${\ displaystyle \ sum _ {k} | f (y_ {k})-f (x_ {k}) | <\ varepsilon.}$

Samlingen av alle absolutt kontinuerlige funksjoner på er angitt . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ operatorname {AC} (I)}$

Tilsvarende definisjoner

Følgende betingelser for en virkelig verdi funksjon f på et kompakt intervall [ a , b ] er likeverdige:

1. f er absolutt kontinuerlig;
2. f har et derivat f  ′ nesten overalt , derivatet er Lebesgue integrerbart, og
   $${\ displaystyle f (x) = f (a)+\ int _ {a}^{x} f '(t) \, dt}$$

   
   for alle x på [ a , b ];
3. det eksisterer en Lebesgue -integrerbar funksjon g på [ a , b ] slik at
   $${\ displaystyle f (x) = f (a)+\ int _ {a}^{x} g (t) \, dt}$$

   
   for alle x i [ a , b ].

Hvis disse tilsvarende betingelsene er oppfylt, er nødvendigvis g = f  ′ nesten overalt.

Ekvivalens mellom (1) og (3) er kjent som den grunnleggende teoremet om Lebesgue integral calculus , på grunn av Lebesgue .

For en tilsvarende definisjon når det gjelder tiltak, se avsnittet Forholdet mellom de to forestillingene om absolutt kontinuitet .

Egenskaper

• Summen og forskjellen på to absolutt kontinuerlige funksjoner er også absolutt kontinuerlig. Hvis de to funksjonene er definert på et begrenset lukket intervall, er deres produkt også absolutt kontinuerlig.
• Hvis en absolutt kontinuerlig funksjon er definert på et begrenset lukket intervall og ingen steder er null, er dens gjensidige absolutt kontinuerlig.
• Hver absolutt kontinuerlige funksjon er jevnt kontinuerlig og derfor kontinuerlig . Hver Lipschitz-kontinuerlige funksjon er absolutt kontinuerlig.
• Hvis f : [ a , b ] → R er absolutt kontinuerlig, er den avgrenset variasjon på [ a , b ].
• Hvis f : [ a , b ] → R er absolutt kontinuerlig, kan den skrives som forskjellen mellom to monoton ikke -reduserende absolutt kontinuerlige funksjoner på [ a , b ].
• Hvis f : [ a , b ] → R er absolutt kontinuerlig, så har den Luzin N -egenskapen (det vil si for alle slike , den holder det , der står for Lebesgue -mål på R ).${\ displaystyle N \ subseteq [a, b]}$${\ displaystyle \ lambda (N) = 0}$${\ displaystyle \ lambda (f (N)) = 0}$${\ displaystyle \ lambda}$
• f : I → R er absolutt kontinuerlig hvis og bare hvis den er kontinuerlig, er avgrenset av variasjon, og har den Luzin N egenskapen.

Eksempler

Følgende funksjoner er jevnt kontinuerlige, men ikke absolutt kontinuerlige:

• den Cantor funksjon på [0, 1] (det er av begrensede variasjoner, men ikke absolutt kontinuerlig);
• funksjonen
  $${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 0, og {\ text {if}} x = 0 \\ x \ sin (1/x), og {\ text {if}} x \ neq 0 \ end {cases}}}$$

  
  på et begrenset intervall som inneholder opprinnelsen.

Følgende funksjoner er absolutt kontinuerlige, men ikke α-Hölder kontinuerlige:

• funksjonen f ( x ) =  x ^β på [0,  c ], for hvilken som helst 0 < β < α <1

Følgende funksjoner er absolutt kontinuerlige og α-Hölder kontinuerlige, men ikke Lipschitz kontinuerlige :

• funksjonen f ( x ) =  √ x på [0,  c ], for α  ≤ 1/2.

Generaliseringer

La ( X , d ) være et metrisk plass og lar jeg være et intervall i den virkelige linje R . En funksjon f : I → X er absolutt kontinuerlig på I hvis for hvert positivt tall , er det et positivt tall slik at når en endelig sekvens av parvise uforente delintervaller [ x _k , y _k ] av I tilfredsstiller ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle \ sum _ {k} \ venstre | y_ {k} -x_ {k} \ høyre | <\ delta}$

deretter

${\ displaystyle \ sum _ {k} d \ left (f (y_ {k}), f (x_ {k}) \ right) <\ epsilon.}$

Samlingen av alle absolutt kontinuerlige funksjoner fra I til X er betegnet AC ( I ; X ).

En ytterligere generalisering er mellomrom AC ^p ( I ; X ) for kurver f : I → X slik at

${\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s}^{t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {for all}} [ s, t] \ subseteq I}$

for noen m i L ^p -rommet L ^p (I).

Egenskaper ved disse generaliseringene

• Hver absolutt kontinuerlige funksjon er jevnt kontinuerlig og derfor kontinuerlig . Hver Lipschitz-kontinuerlige funksjon er absolutt kontinuerlig.
• Hvis f : [ a , b ] → X er absolutt kontinuerlig, er den avgrenset variasjon på [ a , b ].
• For f ∈ AC ^p ( I ; X ) eksisterer det metriske derivatet av f for λ - nesten alle tider i I , og det metriske derivatet er det minste m ∈ L ^p ( I ; R ) slik at
  $${\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s}^{t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {for all}} [ s, t] \ subseteq I.}$$

  

Absolutt kontinuitet i tiltakene

Definisjon

Et mål på Borel -undersett av den virkelige linjen er absolutt kontinuerlig med hensyn til Lebesgue -målet hvis for hvert målbart sett innebærer Dette er skrevet som Vi sier er dominert av${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle \ lambda (A) = 0}$${\ displaystyle \ mu (A) = 0.}$${\ displaystyle \ mu \ ll \ lambda.}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ lambda.}$

I de fleste applikasjoner, hvis et mål på den virkelige linjen ganske enkelt sies å være absolutt kontinuerlig - uten å spesifisere med hensyn til hvilket annet mål det er absolutt kontinuerlig - så er absolutt kontinuitet med hensyn til Lebesgue -tiltaket ment.

Det samme prinsippet gjelder for tiltak på Borel -undersett av ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}, n \ geq 2.}$

Tilsvarende definisjoner

Følgende betingelser for et endelig mål på Borel -undersett av den virkelige linjen er likeverdige: ${\ displaystyle \ mu}$

1. ${\ displaystyle \ mu}$ er absolutt kontinuerlig;
2. for hvert positivt tall er det et positivt tall slik at for alle Borel -sett med Lebesgue -måling måles mindre enn${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle \ mu (A) <\ varepsilon}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ delta;}$
3. det eksisterer en Lebesgue -integrerbar funksjon på den virkelige linjen slik at${\ displaystyle g}$
   $${\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} g \, d \ lambda}$$

   
   for alle Borel -undergrupper av den virkelige linjen.${\ displaystyle A}$

For en tilsvarende definisjon når det gjelder funksjoner, se avsnittet Forholdet mellom de to forestillingene om absolutt kontinuitet .

Enhver annen funksjon som tilfredsstiller (3) er lik nesten overalt. En slik funksjon kalles Radon - Nikodym -derivat , eller tetthet, av det absolutt kontinuerlige målet${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mu.}$

Ekvivalens mellom (1), (2) og (3) gjelder også for alle${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle n = 1,2,3, \ ldots.}$

Dermed er de absolutt kontinuerlige tiltakene på nettopp de som har tettheter; som et spesielt tilfelle, er de absolutt kontinuerlige sannsynlighetstiltakene nettopp de som har sannsynlighetstetthetsfunksjoner . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Generaliseringer

Hvis og er to mål på det samme målbare rommet sies det å være${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle \ mu}$ absolutt kontinuerlig med hensyn til${\ displaystyle \ nu}$hvisfor hvert settsomdette er skrevet som "". Det er: ${\ displaystyle \ mu (A) = 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ nu (A) = 0.}$${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu}$

Når da sies det å være${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$${\ displaystyle \ nu}$dominerende ${\ displaystyle \ mu.}$

Absolutt kontinuitet i tiltakene er refleksiv og transitive , men er ikke antisymmetrisk , så det er en forhåndsbestilling fremfor en delvis ordre . I stedet, hvis og tiltakene og sies å være likeverdige . Dermed induserer absolutt kontinuitet en delvis ordning av slike ekvivalensklasser . ${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu}$${\ displaystyle \ nu \ ll \ mu,}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$

Hvis en signert eller komplekse mål , er det sagt at er absolutt kontinuerlig med hensyn til om dens variasjon tilfredsstiller ekvivalent, hvis hvert sett som er - null . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle | \ mu |}$${\ displaystyle | \ mu | \ ll \ nu;}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ nu (A) = 0}$${\ displaystyle \ mu}$

Den Radon-Nikodym teorem angir at hvis er absolutt kontinuerlig med hensyn til og begge tiltak er σ-begrenset , da har en tetthet, eller "Radon-Nikodym derivat", når det gjelder noe som betyr at det eksisterer en -measurable funksjon tar verdier i betegnet med slik at for ethvert målbart sett vi har ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu,}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu,}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0,+\ infty),}$${\ displaystyle f = d \ mu /d \ nu,}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle A}$

Enestående tiltak

Via Lebesgues dekomponeringsteorem kan hvert σ-endelig mål deles opp i summen av et absolutt kontinuerlig mål og et entallmål i forhold til et annet σ-endelig mål. Se enkeltmål for eksempler på tiltak som ikke er absolutt kontinuerlige.

Forholdet mellom de to forestillingene om absolutt kontinuitet

Et endelig mål μ på Borel -undersett av den virkelige linjen er absolutt kontinuerlig med hensyn til Lebesgue -mål hvis og bare hvis punktfunksjonen

${\ displaystyle F (x) = \ mu ((-\ infty, x])}$

er en absolutt kontinuerlig reell funksjon. Mer generelt er en funksjon lokalt (betyr på hvert avgrensede intervall) absolutt kontinuerlig hvis og bare hvis distribusjonsderivatet er et mål som er absolutt kontinuerlig med hensyn til Lebesgue -målet.

Hvis absolutt kontinuitet holder deretter den Radon-Nikodym derivat av μ er lik nesten overalt med den deriverte av F .

Mer generelt antas målet μ å være lokalt begrenset (i stedet for begrenset) og F ( x ) er definert som μ ((0, x ]) for x > 0 , 0 for x = 0 , og - μ (( x , 0]) for x <0 . i dette tilfelle μ er den Lebesgue-Stieltjes mål generert av F . forholdet mellom de to begreper av absolutt kontinuitet fortsatt holder.

Merknader

Referanser

• Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-2428-7
• Athreya, Krishna B .; Lahiri, Soumendra N. (2006), Målteori og sannsynlighetsteori , Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Leoni, Giovanni (2009), Et første kurs i Sobolev-rom , Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, s. Xvi+607 ISBN  978-0-8218-4768-8 , MR 2527916 , Zbl  1180.46001 , MAA
• Nielsen, Ole A. (1997), En introduksjon til integrasjon og målingsteori , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Royden, HL (1988), Real Analysis (tredje utg.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

Eksterne linker

• Absolutt kontinuitet i Encyclopedia of Mathematics
• Emner i reell og funksjonell analyse av Gerald Teschl