Aktuarvitenskap - Actuarial science
Aktuarvitenskap er fagområdet som anvender matematiske og statistiske metoder for å vurdere risiko i forsikring , finans og andre bransjer og yrker. Mer generelt bruker aktuarene streng matematikk for å modellere spørsmål om usikkerhet.
Aktuar er fagfolk som er opplært i denne disiplinen. I mange land må aktuarer demonstrere sin kompetanse ved å bestå en rekke strenge faglige undersøkelser.
Aktuarvitenskap inkluderer en rekke sammenhengende emner, inkludert matematikk , sannsynlighetsteori , statistikk , økonomi , økonomi og informatikk . Historisk sett brukte aktuarvitenskap deterministiske modeller i konstruksjonen av bord og premier. Vitenskapen har gått gjennom revolusjonerende endringer siden 1980-tallet på grunn av spredningen av høyhastighets datamaskiner og foreningen av stokastiske aktuarmodeller med moderne økonomisk teori.
Mange universiteter har lavere og høyere grad programmer i aktuarvitenskap. I 2010 rangerte en studie publisert av jobbsøkingsnettstedet CareerCast aktuar som den første jobben i USA. Studien brukte fem nøkkelkriterier for å rangere jobber: miljø, inntekt, sysselsettingsutsikter, fysiske krav og stress. En lignende undersøkelse av US News & World Report i 2006 inkluderte aktuar blant de 25 beste yrkene den forventer vil være i stor etterspørsel i fremtiden.
Livsforsikring, pensjoner og helsetjenester
Aktuarvitenskap ble en formell matematisk disiplin på slutten av 1600-tallet med økt etterspørsel etter langsiktig forsikringsdekning som begravelse, livsforsikring og livrenter. Disse langsiktige dekningene krevde at penger ble satt av til å betale fremtidige fordeler, som livrente og dødsfordeler mange år inn i fremtiden. Dette krever estimering av fremtidige betingede hendelser, for eksempel dødelighetsgraden etter alder, samt utvikling av matematiske teknikker for å diskontere verdien av midler som er satt av og investert. Dette førte til utviklingen av et viktig aktuarmessig konsept, referert til som nåverdien av en fremtidig sum. Enkelte sider ved de aktuarmessige metodene for diskontering av pensjonsfond har kommet under kritikk fra moderne finansøkonomi .
- I tradisjonell livsforsikring fokuserer aktuarmessig vitenskap på analyse av dødelighet , produksjon av livstabeller og anvendelse av sammensatt rente for å produsere livsforsikrings-, livrenter og legatpoliser. Moderne livsforsikringsprogrammer er utvidet til å omfatte kreditt- og pantelånsforsikring, nøkkelpersonsforsikring for små bedrifter, langtidspleieforsikring og helsesparekontoer .
- I helseforsikring, inkludert forsikring levert av arbeidsgivere, og sosialforsikring, fokuserer aktuarvitenskap på analysen av funksjonshemming, sykelighet, dødelighet, fruktbarhet og andre forhold. Effektene av forbrukernes valg og den geografiske fordelingen av bruken av medisinske tjenester og prosedyrer, og bruken av medisiner og terapier, er også av stor betydning. Disse faktorene ligger til grunn for utviklingen av Resource-Base Relative Value Scale ( RBRVS ) ved Harvard i en multidisiplinert studie. Aktuarvitenskap hjelper også til i utformingen av fordelestrukturer, refusjonsstandarder og effekten av foreslåtte statlige standarder på helsekostnadene.
- I pensjonsbransjen brukes aktuarmetoder for å måle kostnadene ved alternative strategier med hensyn til utforming, finansiering, regnskap, administrasjon og vedlikehold eller redesign av pensjonsordninger. Strategiene er sterkt påvirket av kortsiktige og langsiktige obligasjonsrenter, pensjons- og ytelsesordningens finansierte status, kollektive forhandlinger ; arbeidsgivers gamle, nye og utenlandske konkurrenter; den endrede demografien til arbeidsstyrken; endringer i den interne inntektskoden; endringer i holdningen til den interne inntektstjenesten når det gjelder beregning av overskudd; og like viktig, både kortsiktige og langsiktige økonomiske og økonomiske trender. Det er vanlig med fusjoner og oppkjøp at flere pensjonsordninger må kombineres eller i det minste administreres på et rettferdig grunnlag. Når det oppstår endringer i fordelene, må gamle og nye ytelsesplaner blandes, og tilfredsstille nye sosiale krav og ulike beregninger av myndighetsdiskrimineringstest, og gi ansatte og pensjonister forståelige valg og overgangsveier. Forpliktelser til ytelsesplaner må verdsettes riktig, og gjenspeiler både opptjente fordeler for tidligere tjenester og fordelene for fremtidig service. Til slutt må finansieringsordninger utvikles som er håndterbare og tilfredsstiller standardstyret eller regulatorene i det aktuelle landet, for eksempel Financial Accounting Standards Board i USA.
- I sosiale velferdsprogrammer planlegger og leder Office of Chief Actuary (OCACT), Social Security Administration et program med aktuarmessige estimater og analyser knyttet til SSA-administrert pensjon, overlevende og uføreforsikringsprogrammer og til foreslåtte endringer i disse programmene. Den evaluerer operasjonene til Federal Old-Age and Survivors Insurance Trust Fund og Federal Disability Insurance Trust Fund, gjennomfører studier av programfinansiering, utfører aktuarmessig og demografisk forskning om sosialforsikring og relaterte programspørsmål som involverer dødelighet, sykelighet, utnyttelse, pensjon, uførhet , overlevelse, ekteskap, arbeidsledighet, fattigdom, alderdom, barnefamilier osv., og prosjekterer fremtidig arbeidsmengde. I tillegg er kontoret ansvarlig for å gjennomføre kostnadsanalyser knyttet til Supplemental Security Income (SSI) -programmet, et generelt inntektsfinansiert, behovsprøvd program for lavinntektsaldre, blinde og funksjonshemmede. Kontoret tilbyr tekniske og rådgivende tjenester til kommisjonæren, til forstanderskapet for sosialforsikringsfondene, og dets ansatte møter frem for kongresskomiteene for å gi ekspertvitnesbyrd om de forsikringsmessige aspektene av spørsmål om sosial sikkerhet.
Brukes på andre former for forsikring
Aktuarvitenskap brukes også på eiendom , havari , ansvarsforsikring og generell forsikring . I disse forsikringsformene gis dekning vanligvis på en fornybar periode (for eksempel en årlig). Dekningen kan avbrytes på slutten av perioden av begge parter.
Eiendoms- og havariforsikringsselskaper pleier å spesialisere seg på grunn av kompleksiteten og mangfoldet i risikoen. En divisjon er å organisere seg rundt personlige og kommersielle forsikringslinjer. Personlige forsikringslinjer er for privatpersoner og inkluderer brann, bil, huseiere, tyveri og paraplydekning. Kommersielle linjer adresserer forsikringsbehovene til virksomheter og inkluderer eiendom, fortsettelse av virksomheten, produktansvar, flåte / kommersielle kjøretøy, kompensasjon for arbeidstakere, troskap og kausjon, og D & O- forsikring. Forsikringsbransjen gir også dekning for eksponeringer som katastrofe, værrelaterte risikoer, jordskjelv, patentbrudd og andre former for bedriftsspionasje, terrorisme og "enestående" (f.eks. Satellittlansering). Aktuarvitenskap gir verktøy for datainnsamling, måling, estimering, prognoser og verdsettelse for å gi økonomiske og garantidata for ledelsen for å vurdere markedsføringsmuligheter og risikoen. Aktuarvitenskap hjelper ofte til å vurdere den samlede risikoen fra katastrofale hendelser i forhold til dens garantikapasitet eller overskudd.
I gjenforsikringsfeltene kan aktuarmessig vitenskap brukes til å utforme og prise ordninger for gjenforsikring og retrocessjon, og til å etablere reservefond for kjente skader og fremtidige skader og katastrofer.
Utvikling
Pre-formalisering
Elementære avtaler om gjensidig hjelp og pensjoner oppsto i antikken. Tidlig i det romerske imperiet ble foreninger dannet for å dekke utgiftene til begravelse, kremering og monumenter - forløpere til gravforsikring og vennlige samfunn . En liten sum ble betalt til et felles fond på en ukentlig basis, og ved et medlems død ville fondet dekke utgiftene til ritualer og begravelse. Disse samfunnene solgte noen ganger aksjer i bygningen av columbāria , eller gravhvelv, som eies av fondet - forløperen til gjensidige forsikringsselskaper . Andre tidlige eksempler på gjensidig kausjons- og forsikringsavtale kan spores tilbake til ulike former for fellesskap innenfor de saksiske klanene i England og deres germanske forfedre, og til det keltiske samfunnet. Imidlertid ville mange av disse tidligere formene for sikkerhet og hjelp ofte mislykkes på grunn av manglende forståelse og kunnskap.
Første utvikling
1600-tallet var en periode med fremskritt innen matematikk i Tyskland, Frankrike og England. Samtidig var det et raskt voksende ønske og behov for å sette verdsettelsen av personlig risiko på et mer vitenskapelig grunnlag. Uavhengig av hverandre ble sammensatt interesse studert og sannsynlighetsteori dukket opp som en godt forstått matematisk disiplin. Et annet viktig fremskritt kom i 1662 fra en London- draper ved navn John Graunt , som viste at det var forutsigbare mønstre for lang levetid og død i en gruppe eller kohorte av mennesker i samme alder, til tross for usikkerheten om dødsdatoen til noen individuell. Denne studien ble grunnlaget for den opprinnelige livstabellen . Man kan nå opprette en forsikringsordning for å gi livsforsikring eller pensjon for en gruppe mennesker, og for å beregne med en viss grad av nøyaktighet hvor mye hver person i gruppen skal bidra til at et felles fond antas å tjene en fast rente. Den første personen som demonstrerte offentlig hvordan dette kunne gjøres, var Edmond Halley (av Halleys kometfame ). Halley laget sin egen livstabell og viste hvordan den kunne brukes til å beregne premiebeløpet noen i en gitt alder skulle betale for å kjøpe en livrente.
Tidlige aktuarer
James Dodsons banebrytende arbeid med langsiktige forsikringskontrakter der samme premie belastes hvert år, førte til dannelsen av Society for Equitable Assurances on Lives and Survivorship (nå kjent som Equitable Life ) i London i 1762. William Morgan regnes ofte som far til moderne aktuarmessig vitenskap for sitt arbeid i feltet på 1780- og 90-tallet. Mange andre livsforsikringsselskaper og pensjonskasser ble opprettet i løpet av de neste 200 årene. Equitable Life var det første som brukte ordet "aktuar" for sin administrerende direktør i 1762. Tidligere betydde "aktuar" en tjenestemann som registrerte avgjørelser, eller "handlinger", fra kirkelige domstoler. Andre selskaper som ikke brukte slike matematiske og vitenskapelige metoder, mislyktes ofte eller ble tvunget til å ta i bruk metodene som var pionerer av Equitable.
Teknologiske fremskritt
På 1700- og 1800-tallet ble beregninger utført uten datamaskiner. Beregningene av livsforsikringspremier og reserveringskrav er ganske kompliserte, og aktuarene utviklet teknikker for å gjøre beregningene så enkle som mulig, for eksempel "kommuteringsfunksjoner" (i hovedsak forhåndsberegnede kolonnene for summeringer over tid av nedsatte verdier for overlevelse og dødssannsynlighet). Aktuarorganisasjoner ble grunnlagt for å støtte og videreutvikle både aktuar og aktuarvitenskap, og for å beskytte allmennhetens interesse ved å fremme kompetanse og etiske standarder. Imidlertid forble beregninger tungvint, og aktuarmessige snarveier var vanlig. Skadeaktuar fulgte i fotsporene til sine livsforsikringskolleger i løpet av det 20. århundre. Revisjonen fra 1920 for New York-baserte National Council on Workmen's Compensation Insurance-priser tok over to måneder med døgnarbeid på dag- og nattlag med aktuar. På 1930- og 1940-tallet ble de matematiske grunnlaget for stokastiske prosesser utviklet. Aktuarer kunne nå begynne å estimere tap ved hjelp av modeller av tilfeldige hendelser, i stedet for de deterministiske metodene de hadde brukt tidligere. Innføringen og utviklingen av datamaskinen revolusjonerte aktuaryrket ytterligere. Fra blyant-og-papir til hullkort til nåværende høyhastighetsenheter, har aktuarens modellering og prognoseevne forbedret seg raskt, mens de fremdeles er sterkt avhengige av forutsetningene som er lagt inn i modellene, og aktuarene som trengs for å tilpasse seg denne nye verden.
Tradisjonell aktuarmessig vitenskap og moderne finansiell økonomi i USA har ulik praksis, som skyldes forskjellige måter å beregne finansierings- og investeringsstrategier på, og av forskjellige regler.
Forskriftene er fra Armstrong-undersøkelsen fra 1905 , Glass – Steagall Act fra 1932 , vedtakelsen av den obligatoriske sikkerhetsverdireserven av National Association of Insurance Commissioners , som dempet markedssvingningene, og Financial Accounting Standards Board , (FASB) i USA og Canada, som regulerer pensjonsverdier og finansiering.
Historie
Historisk sett var mye av grunnlaget for aktuariell teori forut for moderne økonomisk teori. På begynnelsen av det tjuende århundre utviklet aktuarene mange teknikker som finnes i moderne finansteori, men av forskjellige historiske grunner oppnådde denne utviklingen ikke mye anerkjennelse.
Som et resultat utviklet aktuariell vitenskap seg på en annen vei, og ble mer avhengig av antagelser, i motsetning til arbitrasjefrie risikonøytrale verdsettelseskonsepter som brukes i moderne økonomi. Avviket er ikke relatert til bruk av historiske data og statistiske fremskrivninger av forpliktelseskontantstrømmer, men er i stedet forårsaket av måten tradisjonelle aktuarmetoder benytter markedsdata med disse tallene på. For eksempel antyder en tradisjonell aktuarmetode at endring av eiendelsallokering av investeringer kan endre verdien på forpliktelser og eiendeler (ved å endre antatt diskonteringsrente ). Dette konseptet er i strid med finansiell økonomi .
Potensialet i moderne finansøkonomisk teori for å utfylle eksisterende aktuarmessig vitenskap ble anerkjent av aktuarene i midten av det tjuende århundre. På slutten av 1980-tallet og begynnelsen av 1990-tallet var det en tydelig innsats for aktuarene for å kombinere økonomisk teori og stokastiske metoder i sine etablerte modeller. Ideer fra finansøkonomi ble stadig mer innflytelsesrike i aktuarmessig tenking, og aktuarmessig vitenskap har begynt å omfavne mer sofistikert matematisk modellering av økonomi. I dag er yrket, både i praksis og i utdanningsplanene til mange aktuarmessige organisasjoner, klar over behovet for å gjenspeile den kombinerte tilnærmingen til tabeller, tapsmodeller, stokastiske metoder og økonomisk teori. Forutsetningsavhengige begreper er imidlertid fortsatt mye brukt (for eksempel innstillingen av antatt diskonteringsrente som nevnt tidligere), spesielt i Nord-Amerika.
Produktdesign tilfører debatten en annen dimensjon. Finansøkonomer hevder at pensjonsytelser er obligasjonslignende og ikke bør finansieres med aksjeinvesteringer uten å gjenspeile risikoen for ikke å oppnå forventet avkastning. Men noen pensjonsprodukter gjenspeiler risikoen for uventet avkastning. I noen tilfeller påtar pensjonsmottakeren risikoen, eller arbeidsgiveren påtar seg risikoen. Den nåværende debatten ser ut til å fokusere på fire prinsipper:
- økonomiske modeller skal være fri for arbitrage
- eiendeler og forpliktelser med identiske kontantstrømmer skal ha samme pris. Dette er i strid med FASB
- verdien av en eiendel er uavhengig av finansieringen
- den siste utgaven tar for seg hvordan pensjonsmidler skal investeres
I hovedsak sier finansiell økonomi at pensjonsmidler ikke bør investeres i aksjer av en rekke teoretiske og praktiske grunner.
Aktuarer i strafferett
Det er en økende tendens til å erkjenne at aktuarmessige ferdigheter kan brukes på en rekke applikasjoner utenfor de tradisjonelle områdene forsikring, pensjoner, etc. Et bemerkelsesverdig eksempel er bruken i noen amerikanske stater av aktuarmodeller for å fastsette strafferettslige strafferettslige retningslinjer. Disse modellene prøver å forutsi sjansen for å fornærme på nytt i henhold til vurderingsfaktorer som inkluderer typen kriminalitet, alder, utdanningsbakgrunn og etnisitet til lovbryteren. Imidlertid har disse modellene vært åpne for kritikk som begrunnelse for diskriminering av bestemte etniske grupper av politimyndigheter. Om dette er statistisk korrekt eller en selvoppfyllende sammenheng, forblir under debatt.
Et annet eksempel er bruk av aktuarmodeller for å vurdere risikoen for tilbakevendende kjønnsovergrep. Aktuarmodeller og tilhørende tabeller, som MnSOST-R, Static-99 og SORAG, har blitt brukt siden slutten av 1990-tallet for å fastslå sannsynligheten for at en sexforbryter vil fornærme og dermed om han eller hun skal bli institusjonalisert eller satt gratis.
Se også
Referanser
Verk sitert
- Bühlmann, Hans (november 1997). "Aktuar: Rollen og begrensningene til yrket siden midten av 1800-tallet" (PDF) . ASTIN Bulletin . 27 (2): 165–171. doi : 10.2143 / ast.27.2.542046 . ISSN 0515-0361 . Hentet 2006-06-28 .
- "Analyse av senatforslaget 174: Høreapparater for barn" (PDF) . Revidert 19. november 2004. California Health Benefits Review Program. 9. februar 2004 . Hentet 2006-06-28 .
- D'Arcy, Stephen P. (mai 1989). "Om å bli aktuar av tredje slag" (PDF) . Fremgangsmåten fra Casualty Actuarial Society . LXXVI (145): 45–76 . Hentet 2006-06-28 .
- "When the Spinning Stops: Can Actuaries Help to Sort out the Mess in Corporate Pensions?" . The Economist . 2006-01-26 . Hentet 2006-04-10 .
- Feldblum, Sholom (2001) [1990]. "Introduksjon". I Robert F. Lowe (red.). Foundations of Casualty Actuarial Science (4. utgave). Arlington, Virginia : Actuarial Society for ulykker . ISBN 0-9624762-2-6. LCCN 2001088378 .
- "Historien om det aktuariske yrket" . Fakultet og institutt for aktuarer. 2004-01-13. Arkivert fra originalen 2008-04-04 . Hentet 26.09.2010 .
- Frees, Edward W. (januar 1990). "Stokastiske livsbetingelser med solvenshensyn" (PDF) . Transaksjoner fra Society of Actuaries . XLII : 91–148. Arkivert fra originalen (PDF) 2006-01-03 . Hentet 2006-06-28 .
- Halley, Edmond (1693). "Et estimat over menneskehetens dødelighet, hentet fra nysgjerrige tabeller over fødsler og begravelser i byen Breslaw; med et forsøk på å fastslå prisen på livrenter ved liv" (PDF) . Filosofiske transaksjoner fra Royal Society of London . 17 (192–206): 596–610. doi : 10.1098 / rstl.1693.0007 . ISSN 0260-7085 . S2CID 186214203 . Hentet 2006-06-21 .
- Harcourt, Bernard E. (2003). "The Shaping of Chance: Actuarial Models and Criminal Profiling at the Turn of the Twenty-First Century" (PDF) . University of Chicago Law Review . University of Chicago Law Review, Vol. 70, nr. 1. 70 (105): 105–128. doi : 10.2307 / 1600548 . ISSN 0041-9494 . JSTOR 1600548 . Hentet 02.10.2018 .
- Hickman, James (2004). "History of Actuarial Profession" (PDF) . Encyclopedia of Actuarial Science . John Wiley & Sons, Ltd. s. 4. Arkivert fra originalen (PDF) 2006-07-24 . Hentet 2006-06-28 .
- Hsiao, William C. (august 2001). "Kommentar: Bak ideologien og teorien: Hva er empirisk bevis for medisinsk sparekonto?" (PDF) . Journal of Health Politics, Policy and Law . 26 (4): 733–737. doi : 10.1215 / 03616878-26-4-733 . PMID 11523960 . S2CID 37841066 . Hentet 2006-07-01 .
- Hsiao, William C (2004). "Harvard School of Public Health" . Arkivert fra originalen (PDF) 2007-03-27 . Hentet 27.09.2010 .
-
Johnston, Harold Whetstone (1932) [1903]. "Gravplasser og begravelsesseremonier" . Romernes privatliv . Revidert av Mary Johnston. Chicago, Atlanta: Scott, Foresman and Company. s. §475 – §476. LCCN 32007692 . Hentet 2006-06-26 .
Tidlig i imperiet ble det opprettet foreninger med det formål å møte begravelseskostnadene til medlemmene, enten restene skulle begraves eller kremeres, eller med det formål å bygge columbāria, eller for begge ... Hvis medlemmene hadde sørget for steder for avhending av kroppene sine etter døden, sørget de nå for de nødvendige begravelsesutgiftene ved å betale til det vanlige fondet ukentlig en liten fast sum, lett innenfor rekkevidden til de fattigste av dem. Da et medlem døde, ble en oppgitt sum trukket fra statskassen for begravelsen hans ... Hvis formålet med samfunnet var å bygge et columbārium, ble kostnaden først bestemt og summen fordelt på det vi skulle kalle aksjer ( sortēs virīlēs), hvert medlem tar så mange som han hadde råd til og betalte sin verdi i statskassen.
- Lewin, Chris (14. juni 2007). "Aktuarhistorie" . Institutt og fakultet for aktuarer . Arkivert fra originalen 20. oktober 2011 . Hentet 27. februar 2012 .
- Loan, Albert (vinter 1992). "Institutional Bases of the Spontaneous Order: Kaution and Assurance" . Humane Studies Review . 7 (1): 538. Arkivert fra originalen 2006-06-14 . Hentet 2006-06-26 .
- MacGinnitie, James (november 1980). "Aktuar og hans yrke: vekst, utvikling, løfte" (PDF) . Fremgangsmåten fra Casualty Actuarial Society . LXVII (127): 49–56 . Hentet 2006-06-28 .
- Michelbacher, Gustav F. (1920). "Teknikken med rate Making som illustrert av 1920 National Revision of Workmen's Compensations Insurance Rates" (PDF) . Fremgangsmåten fra Casualty Actuarial Society . VI (14): 201–249 . Hentet 2006-06-28 .
- Moriarty, Charlene (2006). "Aktuarens nye klær, et kanadisk perspektiv på den økonomiske økonomidebatten" . American Academy of Actuaries, Betingede juli / august . Arkivert fra originalen (PDF) 2006-09-23 . Hentet 2006-06-28 .
- Needleman, Sarah E. (5. januar 2010). "De beste og verste jobbene" . The Wall Street Journal . Hentet 07.07.2010 .
- Nemko, Marty (2006). "Beste karrierer 2007" . US News & World Report . Arkivert fra originalen 18. november 2007 . Hentet 14/09/2008 .
- Nieto, Marcus; David, Jung (august 2006). "Impact of Residency Restrictions on Sex Offenders and Correctional Management Practices: A Literature Review" (PDF) . California Research Bureau, California State Library . Hentet 2006-09-18 .
- Ogborn, ME (desember 1956). "Profesjonelt navn på aktuar" (PDF) . Journal of Institute of Actuaries . Fakultet og institutt for aktuarer. 82 (2): 233-246. doi : 10.1017 / S0020268100046424 . Arkivert fra originalen (PDF) 20. mars 2012 . Hentet 27. april 2011 .
- Perkins, Judith (25. august 1995). Det lidende selvet; Smerte og narrativ representasjon i den tidlige kristne epoken . London: Routledge . ISBN 0-415-11363-6. LCCN 94042650 .
- Sølv, Eric; Chow-Martin, Lynette (oktober 2002). "A Multiple Models Approach to Assessing Recidivism Risk: Implications for Judicial Decision Making". Strafferet og rettferdighet . 29 (5): 538–568. doi : 10.1177 / 009385402236732 . ISSN 0093-8548 . S2CID 144800554 .
-
Slud, Eric V. (2006) [2001]. "6: Kommuteringsfunksjoner, reserver og dødelighet" (PDF) . Aktuarmatematikk og livstabellstatistikk (PDF) . s. 149–150 . Hentet 2006-06-28 .
Kommutasjonsfunksjonene er en beregningsenhet for å sikre at netto enkeltpremier ... alle kan oppnås fra en enkelt tabelloppslag. Historisk sett har denne ideen vært veldig viktig for å spare kalkulasjonsarbeid når du kommer til premiumkurser. Selv nå ... selskapets ansatte uten kvantitativ opplæring kunne beregne premier i et regnearkformat ved hjelp av et livstabell.
-
Thucydides (1994–2009) [c. 431 fvt]. "VI - Funeral Oration of Pericles" . Historien om den peloponnesiske krigen . Oversatt av Richard Crawley . Hellas . Hentet 2006-06-27 .
Min oppgave er nå fullført ... de som er her begravet har allerede mottatt en del av æresbevisningen, og for resten vil barna deres bli oppdratt til manndom på offentlig bekostning: staten tilbyr dermed en verdifull premie, som krans av seier i dette tapperhetsløpet, til belønning både for de som har falt og deres overlevende.
- Tong, Vinnee (19. juni 2006). "Amerikanernes donasjoner til veldedighet nær rekord" . Chicago Sun-Times . Digital Chicago Inc . Hentet 2006-06-21 .
- Whelan, Shane (desember 2002). "Aktuariernes bidrag til finansiell økonomi" (PDF) . Aktuar . Staple Inn Actuarial Society. s. 34–35. Arkivert fra originalen (PDF) 2006-07-24 . Hentet 2006-06-28 .
Bibliografi
- Charles L. Trowbridge (1989). "Fundamental Concepts of Actuarial Science" (PDF) . Revidert utgave. Aktuarisk utdannings- og forskningsfond. Arkivert fra originalen (PDF) 2006-06-29 . Hentet 2006-06-28 .