Additiv invers - Additive inverse

"motsatt tall" omdirigerer her. For annen bruk, se analog og motpart .

I matematikk er additiv invers av et tall a tallet som, når det legges til a , gir null . Dette tallet er også kjent som det motsatte (tall), endring av tegn og negasjon . For et reelt tall reverserer det tegnet : additiv invers (motsatt tall) for et positivt tall er negativt, og additiv invers av et negativt tall er positivt. Null er additiv invers av seg selv.

Additiv invers av a er betegnet med unary minus : - a (se også § Forhold til subtraksjon nedenfor). For eksempel er additiv invers av 7 −7, fordi 7 + (−7) = 0 , og additive inverse på −0.3 er 0,3, fordi −0,3 + 0,3 = 0 .

Tilsvarende additivet inverse av en - b er - ( en - b ) som kan forenkles til b - en . Additiv invers av 2 x - 3 er 3 - 2 x , fordi 2 x - 3 + 3 - 2 x = 0 .

Additiv invers er definert som dens inverse element under binær operasjon av addisjon (se også § Formell definisjon nedenfor), som tillater en bred generalisering til andre matematiske objekter enn tall. Som for enhver invers operasjon har dobbel additiv invers ingen nettoeffekt : - ( - x ) = x .

Disse komplekse tallene, to av åtte verdier på 8 √ 1 , er gjensidig motsatte

Vanlige eksempler

For et tall (og mer generelt i en hvilken som helst ring ) kan additiv invers beregnes ved å multiplisere med −1 ; det vil si - n = −1 ×  n . Eksempler på tallringer er heltall , rasjonelle tall , reelle tall og komplekse tall .

Forholdet til subtraksjon

Additiv invers er nært knyttet til subtraksjon , som kan sees på som et tillegg av det motsatte:

a - b  =  a + ( - b ) .

Omvendt kan additiv omvendt betraktes som subtraksjon fra null:

- a  = 0 - a .

Derfor kan unary minustegn betraktes som en forkortelse for subtraksjon (med "0" -symbolet utelatt), selv om det i en korrekt typografi ikke bør være mellomrom etter unary " -".

Andre eiendommer

I tillegg til identitetene som er oppført ovenfor, har negasjon følgende algebraiske egenskaper:

  • - ( - a ) = a , det er en Involution -operasjon
  • - ( a + b ) = ( - a ) + ( - b )
  • - ( a - b ) = b - a
  • a - ( - b ) = a + b
  • ( - a ) ×  b = a  × ( - b ) = - ( a  ×  b )
  • ( - a ) × ( - b ) = a × b
    spesielt ( - a ) 2 = a 2

Formell definisjon

Notasjonen + er vanligvis reservert for kommutative binære operasjoner (operasjoner der x + y = y + x for alle x ,  y ). Hvis en slik operasjon innrømmer et identitetselement o (slik at x + o (= o + x  ) = x for alle x ), så er dette elementet unikt ( o ′ = o ′ + o = o ). For et gitt x , hvis det eksisterer x ′ slik at x + x ′ (= x ′ + x  ) = o , så kalles x ′ en additiv invers av x .

Hvis + er assosiativ , dvs. ( x  +  y ) + z = x + ( y  +  z ) for alle x ,  y ,  z , så er en additiv invers unik. For å se dette, la x ′ og x ″ hver være additive inverser av x ; deretter

x ′ = x ′ + o = x ′ + ( x + x ″ ) = ( x ′ + x ) + x ″ = o + x ″ = x ″ .

Siden for eksempel tilføyelse av reelle tall er assosiativ, har hvert reelt tall en unik additiv invers.

Andre eksempler

Alle følgende eksempler er faktisk abelske grupper :

  • Komplekse tall : - ( a + bi ) = ( - a ) + ( - b ) i . På det komplekse planet roterer denne operasjonen et komplekst tall 180 grader rundt opprinnelsen (se bildet ovenfor ).
  • Tilsetning av real- og kompleksverdige funksjoner: her, den additive inverse av en funksjon f er funksjonen - f definert ved (- f  ) ( x ) = - f  ( x ) , for alle x , slik at f + (- f  ) = o , nullfunksjonen ( o ( x ) = 0 for alle x ).
  • Mer generelt gjelder det som foregår for alle funksjoner med verdier i en abelsk gruppe ('null' som betyr identiteten til denne gruppen):
  • Sekvenser , matriser og garn er også spesielle typer funksjoner.
  • I et vektorrom kalles additivet invers - v ofte den motsatte vektoren til v ; den har samme størrelse som den opprinnelige og motsatte retningen. Additiv inversjon tilsvarer skalarmultiplikasjon med -1. For det euklidiske rommet er det punktrefleksjon i opprinnelsen. Vektorer i nøyaktig motsatte retninger (multiplisert med negative tall) blir noen ganger referert til som antiparallell .
    • vektrom plass -verdsatte funksjoner (ikke nødvendigvis lineær),
  • I modulær aritmetikk er den modulære additive inverse av x også definert: det er tallet a slik at a + x ≡ 0 (mod n ) . Denne additive inversen eksisterer alltid. For eksempel er inversen av 3 modulo 11 8 fordi den er løsningen på 3 + x ≡ 0 (mod 11) .

Ikke-eksempler

Naturlige tall , kardinalnumre og ordinale tall har ikke additive inverser innenfor sine respektive sett . Dermed kan man si, for eksempel at naturlige tall har har additive inverser, men fordi disse additive inverser ikke selv naturlige tall, er det sett av naturlige tall ikke stengt etter å ta additive inverser.

Se også

Notater og referanser