Adiabatisk invariant - Adiabatic invariant

En egenskap til et fysisk system , som entropien til en gass, som holder seg omtrent konstant når endringer skjer sakte, kalles en adiabatisk invariant . Med dette menes det at hvis et system varieres mellom to sluttpunkter, ettersom tiden for variasjonen mellom sluttpunktene økes til uendelig, går variasjonen av en adiabatisk invariant mellom de to sluttpunktene til null.

I termodynamikk er en adiabatisk prosess en endring som skjer uten varmestrøm; det kan være tregt eller raskt. En reversibel adiabatisk prosess er en adiabatisk prosess som skjer sakte sammenlignet med tiden for å nå likevekt. I en reversibel adiabatisk prosess er systemet i likevekt i alle ledd og entropien er konstant. I første halvdel av det 20. århundre brukte forskerne som arbeidet med kvantefysikk begrepet "adiabatisk" for reversible adiabatiske prosesser og senere for gradvis endrede forhold som tillater systemet å tilpasse konfigurasjonen. Den kvantemekaniske definisjonen er nærmere det termodynamiske begrepet en kvasistatisk prosess , og har ingen direkte sammenheng med adiabatiske prosesser i termodynamikken.

I mekanikk er en adiabatisk endring en langsom deformasjon av Hamiltonian , der brøkens endringshastighet for energien er mye langsommere enn banefrekvensen. Området som er omsluttet av de forskjellige bevegelsene i faseområdet er de adiabatiske invarianterne .

I kvantemekanikk er en adiabatisk endring en som skjer med en hastighet mye langsommere enn forskjellen i frekvens mellom energistatene. I dette tilfellet gjør ikke energitilstandene i systemet overganger, slik at kvantetallet er en adiabatisk invariant.

Den gamle kvanteteorien ble formulert ved å ligne kvantetallet til et system med dets klassiske adiabatiske invariant. Dette bestemte formen for kvantiseringsregelen Bohr – Sommerfeld : kvantetallet er området i faseområdet til den klassiske banen.

Termodynamikk

I termodynamikk er adiabatiske endringer de som ikke øker entropien. De forekommer sakte i forhold til de andre karakteristiske tidsplanene for systemet av interesse, og tillater bare varmestrømning mellom objekter ved samme temperatur. For isolerte systemer, gjør det mulig for en adiabatisk forandring ingen varme å strømme inn eller ut.

Adiabatisk utvidelse av en ideell gass

Hvis en beholder med en ideell gass utvides øyeblikkelig, endres ikke gassens temperatur i det hele tatt, fordi ingen av molekylene bremser. Molekylene beholder sin kinetiske energi, men nå opptar gassen et større volum. Hvis beholderen utvides sakte, men slik at den ideelle gasstrykkloven holder når som helst, mister gassmolekyler energi i den hastigheten de gjør på den ekspanderende veggen. Mengden arbeid de gjør er trykket ganger veggenes areal ganger forskyvningen utover, som er trykket ganger endringen i volumet av gassen:

Hvis ingen varme kommer inn i gassen, reduseres energien i gassmolekylene med samme mengde. Per definisjon er en gass ideell når temperaturen bare er en funksjon av den indre energien per partikkel, ikke volumet. Så

Hvor er den spesifikke varmen ved konstant volum. Når endringen i energi utelukkende skyldes arbeid på veggen, blir temperaturendringen gitt av:

Dette gir et differensialforhold mellom endringene i temperatur og volum, som kan integreres for å finne invarianten. Konstanten er bare en enhet omregningsfaktor , som kan settes lik en:

er en adiabatisk invariant, som er relatert til entropien

Så entropi er en adiabatisk invariant. Den N  log ( N ) sikt gjør det entropi additiv, slik at entropien til to volumer av gass er summen av entropiene av hver av dem.

I en molekylær tolkning, S er logaritmen til faserommet volumet av alle gasstilstander med energi E ( T ) og volum V .

For en monatomisk ideell gass kan dette lett sees ved å skrive ned energien,

De forskjellige indre bevegelsene til gassen med total energi E definerer en kule, overflaten av en 3 N- dimensjonal kule med radius . Kulevolumet er

,

hvor er Gamma-funksjonen .

Siden hver gassmolekyl kan være hvor som helst inne i volumet V , er volumet i faserommet som opptas av gass tilstander med energi E er

.

Siden N -gassmolekylene ikke skiller seg ut, deles faseplassvolumet med antall permutasjoner av N- molekyler.

Ved å bruke Stirlings tilnærming for gammafunksjonen, og ignorere faktorer som forsvinner i logaritmen etter å ha tatt N large,

Siden den spesifikke varmen til en monatomergass er 3/2, er dette det samme som den termodynamiske formelen for entropien.

Wiens lov - adiabatisk utvidelse av en lysboks

For en boks av stråling, ignorerer kvantemekanikken, er energien for en klassisk felt i termisk likevekt uendelig , ettersom equipartition krever at hvert felt modus har en lik energi i gjennomsnitt, og det finnes uendelig mange moduser. Dette er fysisk latterlig, siden det betyr at all energi lekker inn i høyfrekvente elektromagnetiske bølger over tid.

Uten kvantemekanikk er det likevel noen ting som kan sies om likevektsfordelingen fra termodynamikk alene, fordi det fremdeles er en forestilling om adiabatisk invarians som relaterer bokser av forskjellig størrelse.

Når en boks sakte utvides, kan frekvensen av lyset som trekker seg tilbake fra veggen beregnes fra Doppler-skiftet . Hvis veggen ikke beveger seg, trekker lyset tilbake med samme frekvens. Hvis veggen beveger seg sakte, er rekylfrekvensen bare lik i rammen der veggen er stasjonær. I rammen der veggen beveger seg bort fra lyset, er lyset som kommer inn blåere enn lyset som kommer ut med to ganger Doppler-skiftfaktoren v / c .

På den annen side reduseres også energien i lyset når veggen beveger seg bort, fordi lyset gjør arbeid på veggen ved strålingstrykk. Fordi lyset reflekteres, er trykket lik det dobbelte momentet som bæres av lys, som er E / c . Hastigheten som trykket virker på veggen blir funnet ved å multiplisere med hastigheten:

Dette betyr at endringen i lysfrekvens er lik arbeidet som utføres på veggen av strålingstrykket. Lyset som reflekteres endres både i frekvens og i energi med samme mengde:

Siden bevegelse av veggen sakte skal holde en termisk fordeling fast, må sannsynligheten for at lyset har energi E ved frekvens f bare være en funksjon av E / f .

Denne funksjonen kan ikke bestemmes ut fra termodynamisk resonnement alene, og Wien gjettet på skjemaet som var gyldig med høy frekvens. Han antok at den gjennomsnittlige energien i høyfrekvente moduser ble undertrykt av en Boltzmann-lignende faktor. Dette er ikke den forventede klassiske energien i modusen, som er ved deling, men en ny og uberettiget antagelse som passer til høyfrekvente data.

Når forventningsverdien legges til over alle moduser i et hulrom, er dette Wien's fordeling , og den beskriver den termodynamiske fordelingen av energi i en klassisk gass av fotoner. Wiens lov antar implisitt at lys er statistisk sammensatt av pakker som endrer energi og frekvens på samme måte. Entropien til en Wien-gass skalerer seg som volum til kraften N , der N er antall pakker. Dette førte til at Einstein antydet at lys er sammensatt av lokaliserbare partikler med energi proporsjonal med frekvensen. Deretter kan entropien til Wien-gassen gis en statistisk tolkning som antall mulige posisjoner som fotonene kan være i.

Klassisk mekanikk - handlingsvariabler

Tvunget pendel
Pendel med ekstra liten vibrasjon hvor og

Anta at en Hamiltonian sakte varierer i tid, for eksempel en endimensjonal harmonisk oscillator med skiftende frekvens.

Den handling J av en klassisk bane er det område som omsluttes av den bane i faserommet.

Siden J er en integral over en hel periode, er den bare en funksjon av energien. Når Hamiltonian er konstant i tid og J er konstant i tid, øker den kanonisk konjugerte variabelen i tid med jevn hastighet.

Så konstant kan brukes til å skifte tidsderiverte langs den bane til partielle deriverte med hensyn på ved konstant J . Å differensiere integralet for J med hensyn til J gir en identitet som løser seg

Integranden er Poisson-braketten x og p . Poisson-braketten med to kanonisk konjugerte størrelser som x og p er lik 1 i ethvert kanonisk koordinatsystem. Så

og er den omvendte perioden. Variabelen øker med like mye i hver periode for alle verdier av J - det er en vinkelvariabel.

Adiabatisk invarians av J

Hamiltonian er bare en funksjon av J , og i det enkle tilfellet av den harmoniske oscillatoren.

Når H ikke har tidsavhengighet, er J konstant. Når H sakte varierer tid, kan endringshastigheten til J beregnes ved å uttrykke integralen for J på nytt

Tidsderivatet til denne mengden er

Erstatte tidsderivater med theta-derivater, bruke og sette uten tap av generalitet ( være en global multiplikasjonskonstant i det resulterende tidsderivatet av handlingen), gir

Så lenge koordinatene J , ikke merkbart i løpet av en periode, kan dette uttrykket integreres med deler for å gi null. Dette betyr at for langsomme variasjoner er det ingen laveste ordreendring i området som er omsluttet av bane. Dette er den adiabatiske invarianssetningen - handlingsvariablene er adiabatiske invarianter.

For en harmonisk oscillator er området i faseområdet til en bane ved energi E området av ellipsen til konstant energi,

Den x -radius av denne ellipse er , mens den p -radius på ellipsen er . Multipliserende er området . Så hvis et pendel trekkes sakte inn, slik at frekvensen endres, endres energien proporsjonalt.

Gammel kvanteteori

Etter at Planck identifiserte at Wiens lov kan utvides til alle frekvenser, til og med veldig lave, ved å interpolere med den klassiske ekvipartisjonsloven for stråling, ønsket fysikere å forstå kvantumatferden til andre systemer.

Planck-strålingsloven kvantifiserte bevegelsen til feltoscillatorene i enheter av energi proporsjonal med frekvensen:

Kvanten kan bare avhenge av energien / frekvensen ved adiabatisk invarians, og siden energien må være additiv når du setter bokser fra ende til slutt, må nivåene være like fordelt.

Einstein, etterfulgt av Debye, utvidet kvantemekanikkens domene ved å vurdere lydmodusene i et fast stoff som kvantiserte oscillatorer . Denne modellen forklarte hvorfor den spesifikke varmen av faste stoffer nærmet seg null ved lave temperaturer, i stedet for å holde seg fast som forutsagt av klassisk ekvipasjon .

Solvay-konferansen ble spørsmålet om å kvantifisere andre bevegelser reist, og Lorentz påpekte et problem, kjent som pendelen Rayleigh – Lorentz . Hvis du vurderer et kvantependel hvor strengen forkortes veldig sakte, kan ikke kvantetallet til pendelen endres fordi det på intet tidspunkt er en høy nok frekvens til å forårsake en overgang mellom tilstandene. Men frekvensen til pendelen endres når strengen er kortere, så kvantetilstandene endrer energi.

Einstein svarte at for sakte trekking endres pendulens frekvens og energi, men forholdet forblir fast. Dette er analogt med Wiens observasjon at under sakte bevegelse av veggen er forholdet mellom energi og frekvens av reflekterte bølger konstant. Konklusjonen var at mengdene som skal kvantiseres, må være adiabatiske invarianter.

Denne argumentasjonslinjen ble utvidet av Sommerfeld til en generell teori: kvantetallet til et vilkårlig mekanisk system er gitt av den adiabatiske handlingsvariabelen. Siden handlingsvariabelen i den harmoniske oscillatoren er et helt tall, er den generelle tilstanden:

Denne tilstanden var grunnlaget for den gamle kvanteteorien , som var i stand til å forutsi atomsystemers kvalitative oppførsel. Teorien er unøyaktig for små kvantetall, siden den blander klassiske og kvantebegreper. Men det var et nyttig halvveis skritt til den nye kvanteteorien .

Plasmafysikk

I plasmafysikk er det tre adiabatiske invarianter med ladet partikkelbevegelse.

Den første adiabatiske invarianten, μ

Det magnetiske øyeblikket til en gyrerende partikkel,

er en konstant av bevegelsen til alle ordrer i en utvidelse i , hvor er hastigheten på eventuelle endringer som oppleves av partikkelen, f.eks. på grunn av kollisjoner eller på grunn av tidsmessige eller romlige variasjoner i magnetfeltet. Følgelig forblir magnetmomentet nesten konstant selv for endringer i hastigheter som nærmer seg gyrofrekvensen. Når μ er konstant, er den vinkelrette partikkelenergien proporsjonal med B , slik at partiklene kan varmes opp ved å øke B , men dette er en 'one shot' avtale fordi feltet ikke kan økes på ubestemt tid. Den finner applikasjoner i magnetiske speil og magnetiske flasker .

Det er noen viktige situasjoner der magnetmomentet ikke er uforanderlig:

  • Magnetisk pumping: Hvis kollisjonsfrekvensen er større enn pumpefrekvensen, er μ ikke lenger konservert. Spesielt tillater kollisjoner nettovarme ved å overføre noe av den vinkelrette energien til parallell energi.
  • Syklotronoppvarming: Hvis B svinger ved syklotronfrekvensen, brytes betingelsen for adiabatisk invarians og oppvarming er mulig. Spesielt roterer det induserte elektriske feltet i fase med noen av partiklene og akselererer dem kontinuerlig.
  • Magnetiske cusps: Magnetfeltet i midten av en cusp forsvinner, slik at syklotronfrekvensen automatisk blir mindre enn hastigheten på eventuelle endringer. Dermed blir ikke magnetmomentet konservert, og partikler spres relativt lett i tapskeglen .

Den andre adiabatiske invarianten, J

Den langsgående invarianten til en partikkel fanget i et magnetisk speil ,

der integralet er mellom de to vendepunktene, er også en adiabatisk invariant. Dette garanterer for eksempel at en partikkel i magnetosfæren som beveger seg rundt jorden alltid vender tilbake til samme kraftlinje. Den adiabatiske tilstanden brytes ved magnetisk pumping i transittiden , hvor lengden på et magnetisk speil svinger ved sprettfrekvensen, noe som resulterer i nettovarme.

Den tredje adiabatiske invarianten,

Den totale magnetiske fluksen innelukket av en drivoverflate er den tredje adiabatiske invarianten, assosiert med periodisk bevegelse av speilfangede partikler som driver rundt systemaksen. Fordi denne drivbevegelsen er relativt treg, blir den ofte ikke bevart i praktiske anvendelser.

Referanser

  1. ^ Anosov, DV; Favorskii, AP (1988). "Adiabatic invariant" . I Hazewinkel, Michiel (red.). Encyclopedia of Mathematics . 1 (AB). Reidel, Dordrecht. s. 43–44.
  • Yourgrau, Wolfgang; Stanley Mandelstam (1979). Variasjonsprinsipper i dynamikk og kvanteteori . New York: Dover. ISBN   978-0-486-63773-0 . §10
  • Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (red.). Pauli Forelesninger om fysikk . 4 . Cambridge, messe: MIT Press. ISBN   978-0-262-66035-8 . s. 85–89

Eksterne linker