Arf invariant - Arf invariant

Arf og en formel for Arf invariant vises på baksiden av den tyrkiske 10 lira -sedelen i 2009

I matematikk ble Arf invarianten av en ikke -singulær kvadratisk form over et felt med karakteristikk 2 definert av den tyrkiske matematikeren Cahit Arf  ( 1941 ) da han startet den systematiske studien av kvadratiske former over vilkårlige felt med karakteristisk 2. Arf invarianten er erstatningen, i karakteristikk 2, for diskriminanten for kvadratiske former i karakteristiske ikke 2. Arf brukte blant annet sin invariant i sitt forsøk på å klassifisere kvadratiske former i karakteristikk 2.

I det spesielle tilfellet med 2-elementers feltet F 2 kan Arf invarianten beskrives som elementet i F 2 som oftest forekommer blant formens verdier. To ikke -singulære kvadratiske former over F 2 er isomorfe hvis og bare hvis de har samme dimensjon og samme Arf -invariant. Dette faktum var hovedsakelig kjent for Leonard Dickson  ( 1901 ), selv for ethvert begrenset felt av karakteristisk 2, og Arf beviste det for et vilkårlig perfekt felt .

Den Arf invariant er spesielt anvendt i geometrisk topologi , hvor det først og fremst brukes for å definere en invariant av (4- k + 2) -dimensjonale manifolder ( enkeltvis og med dimensjonale manifolder : flater (2-manifolder), 6-manifolder, 10-manifolder , etc.) med en viss tilleggsstruktur som kalles en innramming , og dermed Arf - Kervaire invariant og Arf invariant av en knute . Arf invarianten er analog med signaturen til en manifold , som er definert for 4 k -dimensjonale manifolder ( dobbelt jevn -dimensjonal); denne fire ganger periodisiteten tilsvarer den fire ganger periodisiteten til L-teori . Arf invarianten kan også defineres mer generelt for visse 2 k -dimensjonale manifolder.

Definisjoner

Arf invarianten er definert for en kvadratisk form q over et felt K med karakteristikk 2 slik at q er ikke -singular, i den forstand at den assosierte bilinære formen er ikke -generert . Skjemaet er vekslende ettersom K har de karakteristiske 2; det følger at en ikke -singulær kvadratisk form i karakteristikk 2 må ha en jevn dimensjon. Enhver binær (2-dimensjonal) nonsingular kvadratisk form over K er ekvivalent til en form med i K . Arf invarianten er definert som produktet . Dersom formen er tilsvarende til , deretter produktene og skiller seg ved et element av formen med i K . Disse elementer danner en additiv undergruppe U i K . Derfor er coset av modulo U en invariant av , noe som betyr at den ikke endres når den erstattes av en tilsvarende form.

Hver ikke -singulær kvadratisk form over K tilsvarer en direkte sum av ikke -singulære binære former. Dette ble vist av Arf, men det hadde blitt observert tidligere av Dickson i tilfelle av begrensede felt av karakteristisk 2. Arf invariant Arf ( ) er definert til å være summen av Arf invariants av . Per definisjon er det en Coset av K modulo U . Arf viste at det faktisk ikke endres hvis det erstattes av en ekvivalent kvadratisk form, det vil si at det er en invariant av .

Arf invarianten er additiv; med andre ord, Arf invarianten av en ortogonal sum av to kvadratiske former er summen av deres Arf invarianter.

For et felt K av karakteristiske 2, artin-Schreier teori identifiserer kvotienten gruppe K med undergruppen U ovenfor med Galois cohomology gruppe H 1 ( K , F 2 ). Med andre ord, de ikke-null elementer av K / U er i en-til-en korrespondanse med de adskillbare kvadratiske forlengelsesfelt K . Så Arf invariant av en nonsingular kvadratisk form i løpet av K er enten null eller det beskriver en delbar forlengelse kvadratisk felt av K . Dette er analogt med diskriminanten av en ikke -singulær kvadratisk form over et felt F med karakteristikk ikke 2. I så fall tar diskriminanten verdier i F * /( F * ) 2 , som kan identifiseres med H 1 ( F , F 2 ) av Kummer -teorien .

Arfs hovedresultater

Hvis feltet K er perfekt, bestemmes hver enkelt ikke -kvadratiske form over K unikt (opp til ekvivalens) av dens dimensjon og dens Arf -invariant. Spesielt gjelder dette feltet F 2 . I dette tilfellet er undergruppen U over null, og derfor er Arf -invarianten et element i grunnfeltet F 2 ; det er enten 0 eller 1.

Hvis feltet K for karakteristisk 2 ikke er perfekt (det vil si at K er forskjellig fra underfeltet K 2 av firkanter), er Clifford -algebra en annen viktig invariant av en kvadratisk form. En korrigert versjon av Arfs opprinnelige utsagn er at hvis graden [ K : K 2 ] er høyst 2, så er hver kvadratisk form over K fullstendig preget av dens dimensjon, dens Arf -invariant og Clifford -algebra. Eksempler på slike felt er funksjonsfelt (eller power series -felt ) til en variabel over perfekte grunnfelt.

Kvadratiske former over F 2

Over F 2 er Arf -invarianten 0 hvis den kvadratiske formen tilsvarer en direkte sum av kopier av den binære formen , og det er 1 hvis skjemaet er en direkte sum av med et antall kopier av .

William Browder har kalt Arf invarianten den demokratiske invarianten fordi det er verdien som oftest antas av den kvadratiske formen. En annen karakterisering: q har Arf invariant 0 hvis og bare hvis det underliggende 2 k -dimensjonale vektorrommet over feltet F 2 har et k -dimensjonalt underrom som q er identisk 0 -det vil si et totalt isotropt underrom av halve dimensjonen. Med andre ord har en ikke -singulær kvadratisk form av dimensjon 2 k Arf invariant 0 hvis og bare hvis isotropiindeksen er k (dette er den maksimale dimensjonen til et totalt isotropisk underrom av en ikke -singular form).

Arf -invarianten i topologi

La M være en kompakt , tilkoblet 2 k -dimensjonal manifold med en grense slik at de induserte morfismene i -koeffektiv homologi

er begge null (f.eks. hvis den er lukket). Den kryss skjema

er ikke entall. (Topologer skriver vanligvis F 2 som .) En kvadratisk forfining for er en funksjon som tilfredsstiller

La være et hvilket som helst 2-dimensjonalt underrom av , slik at . Da er det to muligheter. Enten er alle 1, eller også er bare ett av dem 1, og de to andre er 0. Ring det første tilfellet og det andre tilfellet . Siden hver form tilsvarer en symplektisk form, kan vi alltid finne underrom med x og y som er -dual. Vi kan derfor dele opp i en direkte sum av underrom isomorfe til enten eller . Videre, ved en smart grunnendring, definerer vi derfor Arf -invarianten

Eksempler

  • La være en kompakt, tilkoblet, orientert 2-dimensjonal manifold , dvs. en overflate , av slekten slik at grensen enten er tom eller er tilkoblet. Bygg inn , hvor . Velge en innramming av M , som er en trivialisering av den normale ( m  - 2) -planet vektor bunt . (Dette er mulig for , så det er absolutt mulig for ). Velg et symplektisk grunnlag for . Hvert basiselement er representert av en innebygd sirkel . Den normale ( m  - 1) -planet vektor bunt av har to trivializations, én bestemt ved en standard utforming av en standard innstøping og en bestemt av utformingen av M , som adskiller seg ved et kart dvs. et element av for . Dette kan også sees på som den innrammede kobordismeklassen med denne innrammingen i den 1-dimensjonale innrammede kobordismegruppen , som genereres av sirkelen med Lie-gruppen. Isomorfismen her er via Pontrjagin-Thom-konstruksjonen . Definer å være dette elementet. Arf invarianten til den innrammede overflaten er nå definert
Vær oppmerksom på at så vi måtte stabilisere, med å være minst 4, for å få et element av . Saken er også tillatt så lenge vi tar restmodulen 2 av rammen.
  • Arf-invarianten til en innrammet overflate oppdager om det er en 3-manifold hvis grense er den gitte overflaten som strekker den gitte innrammingen. Dette er fordi det ikke er bundet. representerer en torus med en trivialisering på begge generatorene som vrir seg et oddetall ganger. Nøkkelfakta er at det frem til homotopi er to valg for trivialisering av et trivielt 3-plan bunt over en sirkel, tilsvarende de to elementene i . Et uvanlig antall vendinger, kjent som Lie -gruppens innramming, strekker seg ikke over en plate, mens et like antall vendinger gjør det. (Legg merke til at dette svarer til å sette et spinn struktur på overflaten.) Pontrjagin brukt Arf invariant av innrammede flater for å beregne to-dimensjonal ramme cobordism gruppe , som er generert av den torus med Lie-gruppen innramming. Isomorfismen her er via Pontrjagin-Thom-konstruksjonen .
  • La det være en Seifert -overflate for en knute , som kan representeres som en plate med bånd festet. Båndene vil vanligvis være vridd og knytt. Hvert bånd tilsvarer en generator . kan representeres av en sirkel som krysser et av båndene. Definer til å være antall hele vendinger i båndet modulo 2. Anta at vi lar binde og skyve Seifert -overflaten inn , slik at grensen fortsatt ligger i . Rundt hvilken som helst generator har vi nå en triviell normal 3-plan vektorpakke. Trivialiser den ved å bruke den trivielle innrammingen av den normale bunten til innebygging for 2 av seksjonene som kreves. For den tredje, velg en seksjon som forblir normal for , mens den alltid forblir tangent til . Denne trivialiseringen bestemmer igjen et element av , som vi tar for å være . Vær oppmerksom på at dette sammenfaller med den forrige definisjonen av .
  • Den Arf invariant av en knute er definert via sin Seifert overflate. Det er uavhengig av valget av Seifert-overflate (Den grunnleggende kirurgiske endringen av S-ekvivalens, tilføyelse/fjerning av et rør, legger til/sletter en direkte summen), og det er en knute invariant . Det er additiv under tilkoblet sum , og forsvinner på skiveknuter , så er en konkuranse invariant.
  • Den kryss formen(2 k + 1) -dimensjonal -coefficient homologi av en ramme (4- k + 2) -dimensjonal manifolden M har en kvadratisk avgrensning , som avhenger av rammen. For og representert ved en innebygging er verdien 0 eller 1, i henhold til den normale bunten er triviell eller ikke. Den Kervaire invariant av den innrammede (4- k + 2) -dimensjonal manifold M er Arf invariant av den kvadratiske raffinement på . Kervaire invariant er en homomorfisme på (4 k + 2) dimensjonal stabil homotopigruppe av sfærer. Kervaire invarianten kan også defineres for en (4 k + 2) dimensjonal manifold M som er innrammet bortsett fra på et punkt.
  • I kirurgi teorien , for noen dimensjonale normal kartet er det definert en nonsingular kvadratisk form på -coefficient homologi kernel
foredling av det homologiske skjæringsskjemaet . Arf invarianten av denne formen er Kervaire invarianten til ( f , b ). I spesielle tilfelle dette er Kervaire invariant av M . Kervaire invariant trekker i klassifiseringen av eksotiske sfærer av Michel Kervaire og John Milnor , og mer generelt i klassifiseringen av manifolder ved kirurgisk teori . William Browder definert ved hjelp av funksjonelle Steenrod -firkanter og CTC Wall definert ved hjelp av innrammede nedsenkninger . Den kvadratiske forbedringen gir avgjørende mer informasjon enn  : det er mulig å drepe x ved kirurgi hvis og bare hvis . Den tilsvarende Kervaire invariant oppdager operasjonsobstruksjonen i L-gruppen .

Se også

  • de Rham invariant , en mod 2 invariant av -dimensjonale manifolder

Merknader

Referanser

  • Se Lickorish (1997) for forholdet mellom Arf invarianten og Jones -polynomet .
  • Se kapittel 3 i Carters bok for en annen tilsvarende definisjon av Arf-invarianten når det gjelder selvskjæringer mellom plater i 4-dimensjonalt rom.
  • Arf, Cahit (1941), "Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2, I", J. Reine Angew. Matte. , 183 : 148–167
  • Glen Bredon : Topologi og geometri , 1993, ISBN  0-387-97926-3 .
  • Browder, William (1972), Surgery on simply-connected manifolds , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR  0358813
  • J. Scott Carter: How Surfaces Intersect in Space , Series on Knots and Everything, 1993, ISBN  981-02-1050-7 .
  • AV Chernavskii (2001) [1994], "Arf invariant" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  • Dickson, Leonard Eugene (1901), Lineære grupper: Med en utstilling av Galois -feltteorien , New York: Dover Publications, MR  0104735
  • Kirby, Robion (1989), The topology of 4-manifolds , Lecture Notes in Mathematics, 1374 , Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN 0-387-51148-2, MR  1001966
  • WB Raymond Lickorish , An Introduction to Knot Theory , Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1997, ISBN  0-387-98254-X
  • Martino, J .; Priddy, S. (2003), "Group Extensions And Automorphism Group Rings", Homology, Homotopy and Applications , 5 (1): 53–70, arXiv : 0711.1536 , doi : 10.4310/hha.2003.v5.n1.a3
  • Lev Pontryagin , Smooth manifolds and their applications in homotopy theory American Mathematical Society Translations, Ser. 2, bind. 11, s. 1–114 (1959)

Videre lesning