Atom (ordensteori) - Atom (order theory)

I den matematiske feltet av orden teori , et element en av et delvis ordnet sett med minst element 0 er et atom hvis 0 < en og det er ingen x slik at 0 < x < en .

Tilsvarende kan man definere et atom til å være et element som er minimalt blant elementene som ikke er null, eller alternativt et element som dekker det minste elementet 0 .

Atomiske bestillinger

Fig. 2 : Gitteret til delere på 4, med rekkefølgen " er divisor av ", er atomisk, hvor 2 er det eneste atomet og belegget. Det er ikke atomistisk, siden 4 ikke kan oppnås som minst vanlig multiplum av atomer.
Fig. 1 : Kraftsettet til settet { x , y , z } med rekkefølgen " er delsett av " er et atomistisk delvis ordnet sett: hvert medlemssett kan oppnås som foreningen av alle singletonsett under det.

La <: angi dekkforholdet i et delvis ordnet sett.

Et delvis ordnet sett med minst element 0 er atomisk hvis hvert element b  >  0 har et atom a under seg, det vil si at det er et slikt som b  ≥  a  :>  0 . Hvert begrenset delvis ordnet sett med 0 er atom, men settet med ikke -negative reelle tall (ordnet på vanlig måte) er ikke atom (og har faktisk ingen atomer).

Et delvis ordnet sett er relativt atomisk (eller sterkt atomisk ) hvis det for alle a  <  b er et element c slik at a  <:  c  ≤  b eller, tilsvarende, hvis hvert intervall [ a ,  b ] er atom. Hvert relativt atomisk ordnet sett med minst element er atom. Hver endelige poset er relativt atomisk.

Et delvis ordnet sett med minst element 0 kalles atomistisk (for ikke å forveksle med atom ) hvis hvert element er den minste øvre grensen for et sett med atomer. Den lineære rekkefølgen med tre elementer er ikke atomistisk (se fig. 2).

Atomer i delvis ordnede sett er abstrakte generaliseringer av singletoner i settteori (se figur 1). Atomicitet (egenskapen til å være atomisk) gir en abstrakt generalisering i sammenheng med ordensteori om evnen til å velge et element fra et ikke-tomt sett.

Coatoms

Begrepene coatom , coatomic og coatomistic defineres dualt. Således, i et delvis ordnet sett med største element 1 , sier man det

  • et frakk er et element som dekkes av 1 ,
  • settet er coatomisk hvis hver b  <  1 har et coatom c over seg, og
  • settet er coatomistisk hvis hvert element er den største nedre grensen for et sett med belegger.

Referanser

  • Davey, BA; Priestley, HA (2002), Introduction to Lattices and Order , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1

Eksterne linker