BIBO-stabilitet - BIBO stability

I signalbehandling , spesifikt kontrollteori , er begrenset inngang, begrenset utgang (BIBO) stabilitet en form for stabilitet for lineære signaler og systemer som tar innganger. Hvis et system er BIBO-stabilt, vil utgangen være avgrenset for hver inngang til systemet som er avgrenset.

Et signal er avgrenset hvis det er en endelig verdi slik at signalstørrelsen aldri overskrider , det vil si ${\ displaystyle B> 0}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ | y [n] | \ leq B \ quad \ forall n \ in \ mathbb {Z}}$ for signaler om diskret tid, eller

${\ displaystyle \ | y (t) | \ leq B \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R}}$ for signaler med kontinuerlig tid.

Tid-domenetilstand for lineære tidsinvariante systemer

Kontinuerlig tid nødvendig og tilstrekkelig tilstand

For et kontinuerlig tidslinjært tidsinvariant (LTI) -system er betingelsen for BIBO-stabilitet at impulsresponsen er absolutt integrerbar , dvs. at dens L ^1- norm eksisterer.

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h (t) \ høyre | \, {\ mathord {\ operatorname {d}}} t = \ | h \ | _ {1} <\ infty}$

Diskret tid tilstrekkelig

For et diskret LTI-system er betingelsen for BIBO-stabilitet at impulsresponsen er absolutt summerbar , dvs. at dens norm eksisterer. ${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$

${\ displaystyle \ \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | h [n] | = \ | h \ | _ {1} <\ infty}$

Bevis på tilstrekkelighet

Gitt en diskret tid LTI-system med impulsrespons forholdet mellom inngangen og utgangen er ${\ displaystyle \ h [n]}$${\ displaystyle \ x [n]}$${\ displaystyle \ y [n]}$

${\ displaystyle \ y [n] = h [n] * x [n]}$

hvor betegner konvolusjon . Deretter følger det av definisjonen av konvolusjon ${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle \ y [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h [k] x [nk]}$

La være den maksimale verdien av , dvs., -normen . ${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty}}$${\ displaystyle \ | x [n] |}$${\ displaystyle L _ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ venstre | y [n] \ høyre | = \ venstre | \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h [nk] x [k] \ høyre |}$

${\ displaystyle \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h [nk] \ høyre | \ venstre | x [k] \ høyre |}$(ved trekanten ulikhet )

${\ displaystyle {\ begynne {linje} & \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [nk] \ høyre | \ | x \ | _ {\ infty} \\ & = \ | x \ | _ {\ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h [nk] \ høyre | \\ & = \ | x \ | _ {\ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h [k] \ høyre | \ slutt {justert}}}$

Hvis er absolutt summable, da og ${\ displaystyle h [n]}$${\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h [k] \ right |} = \ | h \ | _ {1} <\ infty}$

${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [k] \ høyre | = \ | x \ | _ {\ infty} \ | h \ | _ {1}}$

Så hvis det er absolutt summert og er avgrenset, så er det også begrenset fordi${\ displaystyle h [n]}$${\ displaystyle \ left | x [n] \ høyre |}$${\ displaystyle \ left | y [n] \ right |}$${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} \ | h \ | _ {1} <\ infty.}$

Beviset for kontinuerlig tid følger de samme argumentene.

Frekvens-domenetilstand for lineære tidsinvariante systemer

Kontinuerlige signaler

For en rasjonell og kontinuerlig tid system , tilstanden for stabilitet er at det område av konvergens (ROC) av Laplace trans omfatter imaginær akse . Når systemet er årsakssammenheng , er ROC det åpne området til høyre for en vertikal linje hvis abscissa er den virkelige delen av den "største polen", eller den polen som har den største virkelige delen av en hvilken som helst pol i systemet. Den virkelige delen av den største polen som definerer ROC kalles konvergensens abscissa . Derfor må alle polene i systemet befinne seg i den strenge venstre halvdelen av s-planet for BIBO-stabilitet.

Denne stabilitetsbetingelsen kan avledes fra ovennevnte tidsdomene-tilstand som følger:

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h (t) \ høyre | \, dt & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h (t) \ høyre | \ venstre | e ^ {- j \ omega t} \ høyre | \, dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h (t ) (1 \ cdot e) ^ {- j \ omega t} \ høyre | \, dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h (t) (e ^ {\ sigma + j \ omega}) ^ {- t} \ høyre | \, dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h (t) e ^ {- st} \ høyre | \, dt \ end {innrettet}}}$

hvor og${\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} (s) = \ sigma = 0.}$

Den region av konvergens må derfor inneholde den imaginære akse .

Diskret-tid signaler

For et rasjonelt og diskret tidssystem er betingelsen for stabilitet at konvergensregionen (ROC) til z-transformen inkluderer enhetssirkelen . Når systemet er årsakssammenheng , er ROC det åpne området utenfor en sirkel hvis radius er størrelsen på polen med størst styrke. Derfor må alle polene i systemet være inne i enhetssirkelen i z-planet for BIBO-stabilitet.

Denne stabilitetsbetingelsen kan avledes på lignende måte som den kontinuerlige tidsavledningen:

${\ displaystyle {\ begynne {linje} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h [n] \ høyre | & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } \ venstre | h [n] \ høyre | \ venstre | e ^ {- j \ omega n} \ høyre | \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h [ n] (1 \ cdot e) ^ {- j \ omega n} \ høyre | \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | h [n] (re ^ {j \ omega}) ^ {- n} \ høyre | \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [n] z ^ {- n} \ høyre | \ end { justert}}}$

hvor og . ${\ displaystyle z = re ^ {j \ omega}}$${\ displaystyle r = | z | = 1}$

Den region av konvergens må derfor inneholde enhetssirkelen .

Se også

• LTI systemteori
• Endelig impulsrespons (FIR) filter
• Uendelig impulsrespons (IIR) filter
• Nyquist-tomten
• Routh – Hurwitz stabilitetskriterium
• Bode-tomten
• Fasemargin
• Root locus-metoden

Videre lesning

referanser