Blattners formodning - Blattner's conjecture
I matematikk er Blattners formodning eller Blattners formel en beskrivelse av de diskrete serierepresentasjonene til en generell halvenkel gruppe G når det gjelder deres begrensede representasjoner til en maksimal kompakt undergruppe K (deres såkalte K -typer). Det er oppkalt etter Robert James Blattner , til tross for at det ikke er formulert som en formodning av ham.
Uttalelse
Blattners formel sier at hvis en diskret serierepresentasjon med uendelig karakter λ er begrenset til en maksimal kompakt undergruppe K , forekommer representasjonen av K med høyeste vekt μ med multiplisitet
hvor
- Q er antall måter en vektor kan skrives som en sum av ikke-kompakte positive røtter
- W K er Weyl -gruppen til K
- ρ c er halve summen av de kompakte røttene
- ρ n er halve summen av de ikke-kompakte røttene
- ε er tegnet karakter W K .
Blattners formel er det man får ved å formelt begrense Harish-Chandra-karakterformelen for en diskret serierepresentasjon til maksimal torus for en maksimal kompakt gruppe. Problemet med å bevise Blattner -formelen er at dette bare gir karakteren på de vanlige elementene i maksimal torus, og man må også kontrollere dens oppførsel på entallelementene. For ikke-diskrete ikke-reduserbare representasjoner trenger den formelle begrensningen av Harish-Chandras karakterformel ikke å gi dekomponeringen under den maksimale kompakte undergruppen: for eksempel for hovedseriens representasjoner av SL 2 er tegnet identisk null på ikke-entallelementene i maksimal kompakt undergruppe, men representasjonen er ikke null for denne undergruppen. I dette tilfellet er karakteren en fordeling på den maksimale kompakte undergruppen med støtte på entallelementene.
Historie
Harish-Chandra tilskrev muntlig formodningen til Robert James Blattner som et spørsmål Blattner reiste, ikke en formodning laget av Blattner. Blattner publiserte det ikke i noen form. Det dukket først opp på trykk i Schmid (1968 , teorem 2), hvor det først ble referert til som "Blattners formodning", til tross for at resultatene av det papiret var innhentet uten kunnskap om Blattners spørsmål og til tross for at Blattner ikke hadde kommet med en slik formodning. Okamoto & Ozeki (1967) nevnte et spesielt tilfelle av det litt tidligere.
Schmid (1972) beviste Blattners formel i noen spesielle tilfeller. Schmid (1975a) viste at Blattners formel ga en øvre grense for mangfoldighetene av K -representasjoner, Schmid (1975b) beviste Blattners formodning for grupper hvis symmetriske rom er hermitisk, og Hecht & Schmid (1975) beviste Blattners formodning for lineære semisimple grupper. Blattners formodning (formel) ble også bevist av Enright (1979) ved uendelige metoder som var totalt nye og helt forskjellige fra Hecht og Schmid (1975). En del av drivkraften for Enrights papir (1979) kom fra flere kilder: fra Enright og Varadarajan (1975) , Wallach (1976) , Enright og Wallach (1978) . I Enright (1979) er multiplisitetsformler gitt for de såkalte mock-diskrete serierepresentasjonene også. Enright (1978) brukte ideene sine for å oppnå resultater om konstruksjon og klassifisering av ureduserbare Harish-Chandra-moduler i en ekte semisimple Lie-algebra.
Referanser
- Enright, Thomas J; Varadarajan, VS (1975), "On an infinitesimal characterization of the discrete series.", Annals of Mathematics , 102 (1): 1–15, doi : 10.2307/1970970 , JSTOR 1970970 , MR 0476921
- Enright, Thomas J; Wallach, Nolan R (1978), "The fundamental series of representations of a real semisimple Lie algebra", Acta Mathematica , 140 (1–2): 1–32, doi : 10.1007/bf02392301 , MR 0476814
- Enright, Thomas J (1978), "Om den algebraiske konstruksjonen og klassifiseringen av Harish-Chandra-moduler", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 75 (3): 1063–1065, Bibcode : 1978PNAS. .75.1063E , doi : 10.1073/pnas.75.3.1063 , MR 0480871 , PMC 411407 , PMID 16592507
- Enright, Thomas J (1979), "On the fundamental series of a real semisimple Lie algebra: their irreducibility, resolutions and multiplicity formles", Annals of Mathematics , 110 (1): 1–82, doi : 10.2307/1971244 , JSTOR 1971244 , MR 0541329
- Hecht, Henryk; Schmid, Wilfried (1975), "A proof of Blattners formodning", Inventiones Mathematicae , 31 (2): 129–154, doi : 10.1007/BF01404112 , ISSN 0020-9910 , MR 0396855 , S2CID 123048659
- Okamoto, Kiyosato; Ozeki, Hideki (1967), "On square- integreble ∂ -cohomology spaces attached to hermitian symmetric spaces" , Osaka Journal of Mathematics , 4 : 95–110, ISSN 0030-6126 , MR 0229260
- Schmid, Wilfried (1968), "Homogene komplekse manifolder og representasjoner av semisimple Lie -grupper", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 59 (1): 56–59, Bibcode : 1968PNAS ... 59. ..56S , doi : 10.1073/pnas.59.1.56 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 58599 , MR 0225930 , PMC 286000 , PMID 16591593
- Schmid, Wilfried (1970), "On realization of the discrete series of a semisimple Lie group.", Rice University Studies , 56 (2): 99–108, ISSN 0035-4996 , MR 0277668
- Schmid, Wilfried (1975a), "Noen egenskaper ved kvadratintegrerbare representasjoner av semisimple Lie-grupper", Annals of Mathematics , Second Series, 102 (3): 535–564, doi : 10.2307/1971043 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971043 , MR 0579165
- Schmid, Wilfried (1975b), "On the characters of the discrete series. The Hermitian symmetric case", Inventiones Mathematicae , 30 (1): 47–144, Bibcode : 1975InMat..30 ... 47S , doi : 10.1007/BF01389847 , ISSN 0020-9910 , MR 0396854 , S2CID 120935812
- Wallach, Nolan R (1976), "On the Enright-Varadarajan modules: a construction of the discrete series", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4 (1): 81–101, doi : 10.24033/asens.1304 , MR 0422518