Bohr – Van Leeuwen teorem - Bohr–Van Leeuwen theorem

Den Bohr-Van Leeuwen teorem angir at når statistisk mekanikk og klassisk mekanikk anvendes konsistent, den termiske gjennomsnitt av magnetiseringen er alltid null. Dette gjør magnetisme i faste stoffer utelukkende til en kvantemekanisk effekt og betyr at klassisk fysikk ikke kan stå for paramagnetisme , diamagnetisme og ferromagnetisme . Den klassiske fysikkens manglende evne til å forklare triboelektrisitet stammer også fra Bohr -Van Leeuwen -teoremet.

Historie

Det som i dag er kjent som Bohr – Van Leeuwen -teoremet ble oppdaget av Niels Bohr i 1911 i doktorgradsavhandlingen og ble senere gjenoppdaget av Hendrika Johanna van Leeuwen i doktoravhandlingen i 1919. I 1932 formaliserte Van Vleck og utvidet Bohrs første teorem i en bok han skrev om elektriske og magnetiske følsomheter.

Betydningen av denne oppdagelsen er at klassisk fysikk ikke tillater ting som paramagnetisme , diamagnetisme og ferromagnetisme og dermed er kvantefysikk nødvendig for å forklare de magnetiske hendelsene. Dette resultatet, "kanskje den mest deflasjonære publikasjonen noensinne", kan ha bidratt til Bohrs utvikling av en kvasi-klassisk teori om hydrogenatomet i 1913.

Bevis

Statistisk mekanikk
Termodynamikk Kinetisk teori
Partikkelstatistikk Spinn -statistikk -teorem Identiske partikler Maxwell - Boltzmann Bose - Einstein Fermi – Dirac Parastatistikk Anyonic statistikk Flettestatistikk
Termodynamiske ensembler NVE mikrokanonisk NVT Canonical µVT Grand canonical NPH isoenthalpisk -isobarisk PT Isotermisk -isobarisk
Modeller Debye Einstein Jeg synger Potts
Potensialer Indre energi Enthalpy Helmholtz gratis energi Gibbs gratis energi Stort potensial / Landau -fri energi
Forskere Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Bose
v t e

Et intuitivt bevis

Bohr – Van Leeuwen -teoremet gjelder for et isolert system som ikke kan rotere. Hvis det isolerte systemet får rotere som svar på et eksternt påført magnetfelt, gjelder ikke dette teoremet. Hvis det i tillegg bare er en tilstand av termisk likevekt i en gitt temperatur og et felt, og systemet får tid til å gå tilbake til likevekt etter at et felt er påført, vil det ikke være noen magnetisering.

Sannsynligheten for at systemet vil være i en gitt bevegelsestilstand, forutsies av Maxwell - Boltzmann -statistikk å være proporsjonal med , hvor er energien i systemet, er Boltzmann -konstanten , og er den absolutte temperaturen . Denne energien er lik summen av den kinetiske energien ( for en partikkel med masse og hastighet ) og den potensielle energien . ${\ displaystyle \ exp (-U/k _ {\ text {B}} T)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle k _ {\ tekst {B}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle mv^{2}/2}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

Magnetfeltet bidrar ikke til den potensielle energien. Den Lorentz-kraft på en partikkel med ladning og hastighet er${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left (\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right),}$

hvor er det elektriske feltet og er magnetisk fluks tetthet . Satsen for arbeid gjort er og ikke er avhengig av . Derfor er energien ikke avhengig av magnetfeltet, så fordelingen av bevegelser er ikke avhengig av magnetfeltet. ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = q \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

I nullfelt vil det ikke være noen netto bevegelse av ladede partikler fordi systemet ikke er i stand til å rotere. Det vil derfor være et gjennomsnittlig magnetisk øyeblikk på null. Siden fordelingen av bevegelser ikke er avhengig av magnetfeltet, forblir øyeblikket i termisk likevekt null i ethvert magnetfelt.

Et mer formelt bevis

For å redusere kompleksiteten til beviset, vil et system med elektroner bli brukt. ${\ displaystyle N}$

Dette er passende, siden det meste av magnetismen i et fast stoff bæres av elektroner, og beviset lett generaliseres til mer enn én type ladede partikler.

Hvert elektron har en negativ ladning og masse . ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$

Hvis posisjonen er og hastigheten er , produserer den en strøm og et magnetisk øyeblikk${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} = e \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = {\ frac {1} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {j} = {\ frac {e} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}.}$

Ovenstående ligning viser at det magnetiske øyeblikket er en lineær funksjon av hastighetskoordinatene, så det totale magnetiske momentet i en gitt retning må være en lineær funksjon av formen

${\ displaystyle \ mu = \ sum _ {i = 1}^{N} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i},}$

hvor prikken representerer en tidsderivat og er vektorkoeffisienter avhengig av posisjonskoordinatene . ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$${\ displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {i}, i = 1 \ ldots N \}}$

Maxwell – Boltzmann statistikk gir sannsynligheten for at den nte partikkelen har momentum og koordinat som${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {n}}$

${\ displaystyle dP \ propto \ exp {\ left [-{\ frac {{\ mathcal {H}} (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N})} {k _ {\ text {B}} T}} \ høyre]} d \ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {p} _ {N} d \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {r} _ {N},}$

hvor er Hamiltonian , den totale energien i systemet. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Det termiske gjennomsnittet for en hvilken som helst funksjon av disse generaliserte koordinatene er da${\ displaystyle f (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N} )}$

${\ displaystyle \ langle f \ rangle = {\ frac {\ int fdP} {\ int dP}}.}$

I nærvær av et magnetfelt,

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2m _ {\ text {e}}}} \ sum _ {i = 1}^{N} \ venstre (\ mathbf {p} _ { i}-{\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i} \ right)^{2}+e \ phi (\ mathbf {q}),}$

hvor er det magnetiske vektorpotensialet og er det elektriske skalarpotensialet . For hver partikkel er komponentene i momentum og posisjon relatert til ligningene til hamiltonske mekanikk :${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i}}$${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} & =-\ partial {\ mathcal {H}}/\ partial \ mathbf {r} _ {i} \\ {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} & = \ partiell {\ mathcal {H}}/\ partiell \ mathbf {p} _ {i}. \ end {align}}}$

Derfor,

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} \ propto \ mathbf {p} _ {i}-{\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i}, }$

så øyeblikket er en lineær funksjon av momenta . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Det termisk gjennomsnittlige øyeblikket,

${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = {\ frac {\ int \ mu dP} {\ int dP}},}$

er summen av termer som er proporsjonale med integraler av skjemaet

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} (\ mathbf {p} _ {i}-{\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i}) dP,}$

hvor representerer en av øyeblikkskoordinatene. ${\ displaystyle p}$

Integranden er en merkelig funksjon av , så den forsvinner. ${\ displaystyle p}$

Derfor . ${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = 0}$

applikasjoner

Bohr -Van Leeuwen -teoremet er nyttig i flere applikasjoner, inkludert plasmafysikk : "Alle disse referansene baserer sin diskusjon av Bohr -Van Leeuwen -teoremet på Niels Bohrs fysiske modell, der perfekt reflekterende vegger er nødvendige for å gi strømene som avbryter nettet bidrag fra det indre av et element av plasma, og resultere i null netto diamagnetisme for plasmaelementet. "

Diamagnetisme av ren klassisk natur forekommer i plasma, men er en konsekvens av termisk ubalanse, for eksempel en gradient i plasmatetthet. Elektromekanikk og elektroteknikk ser også praktisk fordel av Bohr -Van Leeuwen -setningen.

Se også

• Liste over plasma (fysikk) artikler

Referanser

Eksterne linker

• Tidlig på 1900 -tallet: Relativitet og kvantemekanikk gir endelig forståelse