Brownsk bevegelse - Brownian motion

2-dimensjonal tilfeldig gang av et sølvadatom på en Ag (111) overflate
Dette er en simulering av den brune bevegelsen av 5 partikler (gul) som kolliderer med et stort sett på 800 partikler. De gule partiklene etterlater 5 blå spor av (pseudo) tilfeldig bevegelse, og en av dem har en rød hastighetsvektor.
Dette er en simulering av den brune bevegelsen til en stor partikkel (støvpartikkel) som kolliderer med et stort sett med mindre partikler (molekyler av en gass) som beveger seg med forskjellige hastigheter i forskjellige tilfeldige retninger.

Brownsk bevegelse , eller pedese (fra eldgammel gresk : πήδησις / pɛ̌ːdɛːsis / "sprang"), er tilfeldig bevegelse av partikler suspendert i et medium (en væske eller en gass ).

Dette bevegelsesmønsteret består vanligvis av tilfeldige svingninger i en partikkels posisjon inne i et flytende underdomene, etterfulgt av en flytting til et annet underdomene. Hver flytting etterfølges av flere svingninger i det nye lukkede volumet. Dette mønsteret beskriver en væske ved termisk likevekt , definert av en gitt temperatur . I en slik væske eksisterer det ingen foretrukket strømningsretning (som i transportfenomener ). Nærmere bestemt forblir væskens samlede lineære og vinkelmoment null over tid. De kinetiske energiene til de molekylære browniske bevegelsene, sammen med de for molekylære rotasjoner og vibrasjoner, summerer til kalorikomponenten i en væskes indre energi ( Equipartition -setningen ).

Denne bevegelsen er oppkalt etter botanikeren Robert Brown , som først beskrev fenomenet i 1827, mens han så gjennom et mikroskop på pollen av planten Clarkia pulchella nedsenket i vann. I 1905, nesten åtti år senere, publiserte teoretisk fysiker Albert Einstein et papir der han modellerte bevegelsen til pollenpartiklene som beveget seg av individuelle vannmolekyler , noe som ga et av hans første store vitenskapelige bidrag. Retningen for atombombardementskraften endres stadig, og på forskjellige tidspunkter blir partikkelen truffet mer på den ene siden enn den andre, noe som fører til den tilsynelatende tilfeldige naturen til bevegelsen. Denne forklaringen på brunsk bevegelse tjente som overbevisende bevis på at atomer og molekyler eksisterer og ble ytterligere verifisert eksperimentelt av Jean Perrin i 1908. Perrin ble tildelt Nobelprisen i fysikk i 1926 "for sitt arbeid med materiens diskontinuerlige struktur".

De mange kroppsinteraksjonene som gir det browniske mønsteret, kan ikke løses av en modell som redegjør for hvert involvert molekyl. Følgelig kan bare probabilistiske modeller som brukes på molekylære populasjoner brukes til å beskrive det. To slike modeller av den statistiske mekanikken , på grunn av Einstein og Smoluchowski, presenteres nedenfor. En annen, ren sannsynlighetsklasse av modeller er klassen av de stokastiske prosessmodellene . Det finnes sekvenser av både enklere og mer kompliserte stokastiske prosesser som konvergerer (i grensen ) til brunsk bevegelse (se tilfeldig tur og Donskers teorem ).

Historie

Gjengitt fra boken til Jean Baptiste Perrin , Les Atomes , vises tre spor av bevegelsen av kolloidale partikler med radius 0,53 µm, sett under mikroskopet. Suksessive posisjoner hvert 30. sekund er forbundet med rette linjesegmenter (maskestørrelsen er 3,2 um).

Den romerske filosof-dikteren Lucretius 'vitenskapelige dikt " On the Nature of Things " (ca. 60 f.Kr.) har en bemerkelsesverdig beskrivelse av bevegelsen av støvpartikler i vers 113–140 fra bok II. Han bruker dette som et bevis på eksistensen av atomer:

Legg merke til hva som skjer når solstråler slippes inn i en bygning og belyser dens skyggefulle steder. Du vil se et mangfold av små partikler som blander seg på en rekke måter ... dansen deres er en faktisk indikasjon på underliggende bevegelser av materie som er skjult for vårt syn ... Den stammer fra atomer som beveger seg av seg selv (dvs. spontant) ]. Deretter blir de små sammensatte legemene som er minst fjernet fra atomenes drivkraft satt i gang av virkningen av deres usynlige slag og igjen kanoner mot litt større kropper. Så bevegelsen går opp fra atomene og kommer gradvis til nivået på sansene våre, slik at kroppene er i bevegelse som vi ser i solstråler, beveget av slag som forblir usynlige.

Selv om blandingen av støvpartikler hovedsakelig skyldes luftstrømmer, skyldes den glitrende, tumlende bevegelsen til små støvpartikler hovedsakelig den sanne brunanske dynamikken; Lucretius "beskriver og forklarer perfekt den brune bevegelsen med et feil eksempel".

Mens Jan Ingenhousz beskrevet uregelmessig bevegelse av kullstøvpartikler på overflaten av alkohol i 1785, er oppdagelsen av dette fenomen ofte kreditert til den botanikeren Robert Brown i 1827. Brown studerte pollenkorn ved anlegget Clarkia pulchella suspenderes i vann under en mikroskop da han observerte små partikler, kastet ut av pollenkornene og utførte en nervøs bevegelse. Ved å gjenta eksperimentet med partikler av uorganisk materiale kunne han utelukke at bevegelsen var livsrelatert, selv om opprinnelsen ennå ikke var forklart.

Den første personen som beskrev matematikken bak brunsk bevegelse var Thorvald N. Thiele i et papir om metoden for minst firkanter publisert i 1880. Dette ble fulgt uavhengig av Louis Bachelier i 1900 i sin doktoravhandling "The theory of speculation", der han presenterte en stokastisk analyse av aksje- og opsjonsmarkedene. Den browniske bevegelsesmodellen for aksjemarkedet blir ofte sitert, men Benoit Mandelbrot avviste dets anvendelse på aksjekursbevegelser delvis fordi disse er diskontinuerlige.

Albert Einstein (i en av hans artikler fra 1905 ) og Marian Smoluchowski (1906) gjorde fysikerne oppmerksom på løsningen på problemet og presenterte det som en måte å indirekte bekrefte eksistensen av atomer og molekyler. Ligningene deres som beskriver brownian bevegelse ble deretter bekreftet av det eksperimentelle arbeidet til Jean Baptiste Perrin i 1908.

Statistiske mekanikkteorier

Einsteins teori

Det er to deler til Einsteins teori: den første delen består i formuleringen av en diffusjonsligning for brune partikler, der diffusjonskoeffisienten er relatert til den gjennomsnittlige kvadratiske forskyvningen av en brun partikkel, mens den andre delen består i å relatere diffusjonskoeffisienten til målbare fysiske mengder. På denne måten var Einstein i stand til å bestemme størrelsen på atomer, og hvor mange atomer det er i en føflekk, eller molekylvekten i gram, av en gass. I samsvar med Avogadros lov er dette volumet det samme for alle ideelle gasser, som er 22,414 liter ved standard temperatur og trykk. Antallet atomer i dette volumet blir referert til som Avogadro -tallet , og bestemmelsen av dette tallet er lik kunnskapen om atomets masse, siden sistnevnte oppnås ved å dele massen til en mol av gassen med den Avogadros konstant .

De karakteristiske klokkeformede kurvene for diffusjon av brune partikler. Fordelingen begynner som en Dirac delta-funksjon , noe som indikerer at alle partiklene befinner seg ved opprinnelsen på tidspunktet t = 0. Etter hvert som t øker, flater fordelingen ut (selv om den forblir klokkeformet), og blir til slutt ensartet i grensen som tiden går til uendelig.

Den første delen av Einsteins argument var å bestemme hvor langt en brun partikkel reiser i et gitt tidsintervall. Klassisk mekanikk klarer ikke å bestemme denne avstanden på grunn av det enorme antallet bombardementer en brownisk partikkel vil gjennomgå, omtrent i størrelsesorden 10 14 kollisjoner per sekund.

Han betraktet økningen av partikkelposisjoner i tid i et endimensjonalt ( x ) rom (med koordinatene valgt slik at opprinnelsen ligger ved partikkelens utgangsposisjon) som en tilfeldig variabel ( ) med en sannsynlighetstetthetsfunksjon (dvs. er sannsynlighetstettheten for et hopp av størrelse , dvs. sannsynlighetstettheten til partikkelen som øker posisjonen fra til i tidsintervallet ). Videre, forutsatt bevaring av partikkelenummer, utvidet han tettheten (antall partikler per volumenhet) til tider i en Taylor -serie ,

hvor den andre likestillingen i den første linjen er per definisjon av . Den integrert i den første periode er lik en av definisjonen av sannsynlighet, og den andre og andre og med betingelser (dvs. første og det andre merke øyeblikk ) forsvinne på grunn av plass symmetri. Det som er igjen gir opphav til følgende forhold:

Hvor koeffisienten etter Laplacian , det andre øyeblikket for sannsynlighet for forskyvning , tolkes som massediffusivitet D :

Da tilfredsstiller tettheten av brune partikler ρ ved punkt x på tidspunktet t diffusjonsligningen :

Forutsatt at N -partikler starter fra opprinnelsen ved den første tiden t = 0, har diffusjonsligningen løsningen

Dette uttrykket (som er en normalfordeling med gjennomsnittet og variansen som vanligvis kalles brunsk bevegelse ) tillot Einstein å beregne øyeblikkene direkte. Det første øyeblikket ser ut til å forsvinne, noe som betyr at den brune partikkelen er like sannsynlig å bevege seg til venstre som det er å bevege seg til høyre. Det andre øyeblikket er imidlertid ikke-forsvinnende, gitt av

Denne ligningen uttrykker den gjennomsnittlige kvadratiske forskyvningen når det gjelder tiden som har gått og diffusiviteten. Fra dette uttrykket argumenterte Einstein for at forskyvningen av en brun partikkel ikke er proporsjonal med den forløpte tiden, men snarere til kvadratroten. Argumentet hans er basert på en konseptuell bytte fra "ensemblet" av brune partikler til "enkelt" brune partikkel: vi kan snakke om det relative antallet partikler på et enkelt øyeblikk like godt som om tiden det tar en brun partikkel å nå et gitt punkt.

Den andre delen av Einsteins teori relaterer diffusjonskonstanten til fysisk målbare størrelser, for eksempel gjennomsnittlig kvadratforskyvning av en partikkel i et gitt tidsintervall. Dette resultatet muliggjør eksperimentell bestemmelse av Avogadros tall og derfor størrelsen på molekyler. Einstein analyserte en dynamisk likevekt mellom motstridende krefter. Det fine med argumentet hans er at det endelige resultatet ikke avhenger av hvilke krefter som er involvert i å sette opp den dynamiske likevekten.

I sin opprinnelige behandling vurderte Einstein et osmotisk trykkeksperiment, men den samme konklusjonen kan nås på andre måter.

Tenk for eksempel på partikler suspendert i en viskøs væske i et gravitasjonsfelt. Tyngdekraften har en tendens til å få partiklene til å sette seg, mens diffusjon virker for å homogenisere dem og føre dem inn i områder med mindre konsentrasjon. Under virkningen av tyngdekraften får en partikkel en nedadgående hastighet på v = μmg , hvor m er massen til partikkelen, g er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften, og μ er partikkelens mobilitet i væsken. George Stokes hadde vist at mobiliteten for en sfærisk partikkel med radius r er , hvor η er væskens dynamiske viskositet . I en tilstand av dynamisk likevekt, og under hypotesen om isotermisk væske, fordeles partiklene i henhold til den barometriske fordelingen

hvor ρ - ρ o er forskjellen i tetthet av partikler atskilt med en høydeforskjell, av , k B er Boltzmann -konstanten (forholdet mellom den universelle gasskonstanten , R , til Avogadro -konstanten, N A ), og T er absolutt temperatur .

Likevektsfordelingen for partikler av gamboge viser tendensen til at granulat beveger seg til områder med lavere konsentrasjon når de påvirkes av tyngdekraften.

Dynamisk likevekt er etablert fordi jo mer partikler blir trukket ned av tyngdekraften , jo større tendens er det for at partiklene vandrer til områder med lavere konsentrasjon. Fluksen er gitt av Ficks lov ,

hvor J = ρv . Vi presenterer formelen for ρ , finner vi at

I en tilstand av dynamisk likevekt må denne hastigheten også være lik v = μmg . Begge uttrykkene for v er proporsjonale med mg , noe som gjenspeiler at avledningen er uavhengig av hvilken type krefter som vurderes. På samme måte kan man utlede en ekvivalent formel for identiske ladede partikler av ladning q i et jevnt elektrisk felt med størrelse E , hvor mg erstattes med den elektrostatiske kraften qE . Å sammenligne disse to uttrykkene gir en formel for diffusivitet, uavhengig av mg eller qE eller andre slike krefter:

Her følger den første likestillingen fra den første delen av Einsteins teori, den tredje likestillingen følger av definisjonen av Boltzmanns konstant som k B = R / N A , og den fjerde likestillingen følger av Stokes formel for mobiliteten. Ved å måle den gjennomsnittlige kvadratforskyvningen over et tidsintervall sammen med den universelle gasskonstanten R , temperaturen T , viskositeten η og partikkelradius r , kan Avogadro -konstanten N A bestemmes.

Typen dynamisk likevekt foreslått av Einstein var ikke ny. Det hadde tidligere blitt påpekt av JJ Thomson i sin forelesningsserie ved Yale University i mai 1903 at den dynamiske likevekten mellom hastigheten generert av en konsentrasjonsgradient gitt av Ficks lov og hastigheten på grunn av variasjonen i det delvise trykket som ble forårsaket når ioner blir satt i gang "gir oss en metode for å bestemme Avogadros konstant som er uavhengig av en hypotese om formen eller størrelsen på molekyler, eller måten de virker på hverandre på".

Et identisk uttrykk for Einsteins formel for diffusjonskoeffisienten ble også funnet av Walther Nernst i 1888 der han uttrykte diffusjonskoeffisienten som forholdet mellom det osmotiske trykket og forholdet mellom friksjonskraften og hastigheten den gir opphav til. Førstnevnte ble likestilt med loven til van 't Hoff mens sistnevnte ble gitt av Stokes lov . Han skriver for diffusjonskoeffisienten k ' , hvor er det osmotiske trykket og k er forholdet mellom friksjonskraften og molekylviskositeten som han antar er gitt av Stokes formel for viskositeten. Ved å introdusere den ideelle gassloven per volumenhet for det osmotiske trykket, blir formelen identisk med Einsteins. Bruken av Stokes lov i Nernsts tilfelle, så vel som i Einstein og Smoluchowski, er ikke strengt anvendelig siden den ikke gjelder for tilfelle der radiusen til sfæren er liten i forhold til den gjennomsnittlige frie banen .

Først ble spådommene til Einsteins formel tilsynelatende tilbakevist av en serie eksperimenter av Svedberg i 1906 og 1907, som ga forskyvning av partiklene 4 til 6 ganger den forutsagte verdien, og av Henri i 1908 som fant forskyvninger 3 ganger større enn Einsteins formel forutsagt. Men Einsteins spådommer ble endelig bekreftet i en serie eksperimenter utført av Chaudesaigues i 1908 og Perrin i 1909. Bekreftelsen av Einsteins teori utgjorde empirisk fremgang for den kinetiske teorien om varme . I hovedsak viste Einstein at bevegelsen kan forutsies direkte fra den kinetiske modellen for termisk likevekt . Viktigheten av teorien lå i det faktum at den bekreftet den kinetiske teoriens beretning om termodynamikkens andre lov som en hovedsakelig statistisk lov.

Brownsk bevegelsesmodell av banen til en partikkel med fargestoff i vann.

Smoluchowski -modell

Smoluchowskis teori om brunsk bevegelse starter fra samme forutsetning som Einsteins og utleder den samme sannsynlighetsfordelingen ρ ( x , t ) for forskyvningen av en brun partikkel langs x i tiden t . Han får derfor samme uttrykk for den gjennomsnittlige kvadrerte forskyvning: . Imidlertid, når han relaterer det til en partikkel med masse m som beveger seg med en hastighet som er et resultat av en friksjonskraft styrt av Stokes lov, finner han

hvor μ er viskositetskoeffisienten, og er radius av partikkelen. Når den kinetiske energien assosieres med den termiske energien RT / N , er uttrykket for den gjennomsnittlige kvadratforskyvningen 64/27 ganger den funnet av Einstein. Fraksjonen 27/64 ble kommentert av Arnold Sommerfeld i sin nekrologi om Smoluchowski: "Den numeriske koeffisienten til Einstein, som skiller seg fra Smoluchowski innen 27/64, kan bare settes i tvil."

Smoluchowski prøver å svare på spørsmålet om hvorfor en brun partikkel skal forskyves av bombardementer av mindre partikler når sannsynligheten for å slå den i for- og bakretninger er lik. Hvis sannsynligheten for m gevinster og n  -  m tap følger en binomial fordeling ,

med like a priori sannsynligheter på 1/2, er gjennomsnittlig total gevinst

Hvis n er stor nok til at Stirlings tilnærming kan brukes i skjemaet

da vil den forventede totale gevinsten være

viser at den øker som kvadratroten til den totale befolkningen.

Anta at en brun partikkel med masse M er omgitt av lettere partikler med masse m som beveger seg med en hastighet u . Deretter grunner Smoluchowski, i en hvilken som helst kollisjon mellom et området og Brownske partikler, den hastighet som overføres til den sistnevnte vil være mu / M . Dette forholdet er i størrelsesorden 10–7  cm/s. Men vi må også ta i betraktning at i en gass vil det være mer enn 10 16 kollisjoner på et sekund, og enda større i en væske der vi forventer at det vil være 10 20 kollisjoner på ett sekund. Noen av disse kollisjonene vil ha en tendens til å akselerere den brune partikkelen; andre har en tendens til å bremse det. Hvis det er en middelverdi over en type av kollisjon eller den andre for å være av størrelsesorden 10 8 til 10 10 kollisjoner i ett sekund, og hastigheten av den Brownske partikkel kan være hvor som helst mellom 10 og 1000 cm / s. Selv om det er like sannsynligheter for kollisjoner fremover og bakover, vil det derfor være en nettotendens til å holde den brune partikkelen i bevegelse, akkurat som stemmesatsen forutsier.

Disse størrelsesordene er ikke eksakte fordi de ikke tar hensyn til hastigheten til den brune partikkelen, U , som avhenger av kollisjonene som har en tendens til å akselerere og bremse den. Jo større U er, desto større vil kollisjonene som vil forsinke den slik at hastigheten til en brun partikkel aldri kan øke uten grenser. Kunne en slik prosess skje, ville det være lik en evigvarende bevegelse av den andre typen. Og siden equipartition av energi gjelder, den kinetiske energi av den brownske partikkel, vil være lik, i gjennomsnitt, til den kinetiske energi av det omgivende fluid partikkel, .

I 1906 publiserte Smoluchowski en endimensjonal modell for å beskrive en partikkel som gjennomgår brunsk bevegelse. Modellen antar kollisjoner med M  »  m hvor M er testpartikkelens masse og m massen av en av de individuelle partikler som utgjør fluidet. Det antas at partikkelkollisjonene er begrenset til én dimensjon og at det er like sannsynlig at testpartikkelen treffes fra venstre som fra høyre. Det er også antatt at hver kollisjon alltid formidler det samme omfanget av Δ V . Hvis N R er antall kollisjoner fra høyre og N L antall kollisjoner fra venstre, vil partikkelhastigheten etter N -kollisjoner ha endret seg med Δ V (2 N R  -  N ). Den mangfold er da rett og slett gitt ved:

og det totale antall mulige tilstander er gitt ved 2- N . Derfor er sannsynligheten for at partikkelen treffes fra høyre N R -tider:

Som et resultat av sin enkelhet kan Smoluchowskis 1D -modell bare kvalitativt beskrive brunsk bevegelse. For en realistisk partikkel som gjennomgår brunsk bevegelse i en væske, gjelder mange av forutsetningene ikke. For eksempel faller antagelsen om at gjennomsnittlig like mange kollisjoner fra høyre som fra venstre faller fra hverandre når partikkelen er i bevegelse. Det ville også være en fordeling av forskjellige mulige Δ Vs i stedet for alltid bare en i en realistisk situasjon.

Andre fysikkmodeller som bruker partielle differensialligninger

Den diffusjonsligningen gir en tilnærmelse av den tid utviklingen av sannsynlighetstetthetsfunksjonen er knyttet til posisjonen av partikkelen gå under en Brownsk bevegelse under fysikalske avgrensninger. Tilnærmingen er gyldig på korte tidsfrister.

Tidsutviklingen av posisjonen til selve den brune partikkelen beskrives best ved bruk av Langevin -ligningen , en ligning som involverer et tilfeldig kraftfelt som representerer effekten av termiske svingninger i løsningsmidlet på partikkelen.

Forskyvningen av en partikkel som gjennomgår Brownsk bevegelse oppnås ved å løse diffusjonsligningen under passende grensebetingelser og finne rms av løsningen. Dette viser at forskyvningen varierer som datidens kvadratrot (ikke lineært), noe som forklarer hvorfor tidligere eksperimentelle resultater angående hastigheten til browniske partikler ga useriøse resultater. En lineær tidsavhengighet ble feil antatt.

På veldig korte tidsskalaer er imidlertid bevegelsen til en partikkel dominert av dens treghet og dens forskyvning vil være lineært avhengig av tid: Δ x = v Δ t . Så den øyeblikkelige hastigheten til den brune bevegelsen kan måles som v = Δ xt , når Δ t << τ , hvor τ er momentumavslappingstiden. I 2010 ble øyeblikkshastigheten til en brun partikkel (en glassmikrosfære fanget i luften med optisk pinsett ) målt med hell. Hastighetsdataene bekreftet Maxwell - Boltzmann hastighetsfordelingen og utvekslingssetningen for en brun partikkel.

Astrofysikk: stjernebevegelse i galakser

I stjernedynamikk kan en massiv kropp (stjerne, svart hull , etc.) oppleve brunsk bevegelse når den reagerer på gravitasjonskrefter fra stjernene rundt. Rms -hastigheten V til det massive objektet, med masse M , er relatert til rms -hastigheten til bakgrunnsstjernene av

hvor er massen av bakgrunnsstjernene. Gravitasjonskraften fra den massive objektet fører til nærliggende stjerner for å bevege seg raskere enn de ellers ville gjort, øker både og V . Den brune hastigheten til Sgr A* , det supermassive sorte hullet i sentrum av Melkeveien , er spådd fra denne formelen til å være mindre enn 1 km s -1 .

Matematikk

Et animert eksempel på en brunsk bevegelseslignende tilfeldig tur på en torus . I skaleringsgrensen nærmer tilfeldig gange Wiener -prosessen i henhold til Donskers teorem .

I matematikk beskrives brunsk bevegelse av Wiener-prosessen , en stokastisk prosess med kontinuerlig tid oppkalt til ære for Norbert Wiener . Det er en av de mest kjente Lévy -prosessene ( càdlàg stokastiske prosesser med stasjonære uavhengige trinn ) og forekommer ofte i ren og anvendt matematikk, økonomi og fysikk .

En enkelt realisering av tredimensjonal brunsk bevegelse for tider 0 ≤  t  ≤ 2

Wiener -prosessen W t er preget av fire fakta:

  1. W 0 = 0
  2. W t er nesten helt sikkert kontinuerlig
  3. W t har uavhengige trinn
  4. (for ).

betegner normalfordelingen med forventet verdi μ og varians σ 2 . Betingelsen for at den har uavhengige trinn betyr at hvis da og er uavhengige tilfeldige variabler.

En alternativ karakterisering av Wiener-prosessen er den såkalte Lévy-karakteriseringen som sier at Wiener-prosessen er en nesten sikkert kontinuerlig martingale med W 0 = 0 og kvadratisk variasjon .

En tredje karakterisering er at Wiener -prosessen har en spektral representasjon som en sinusserie hvis koeffisienter er uavhengige tilfeldige variabler. Denne representasjonen kan fås ved bruk av Karhunen - Loève -setningen .

Wiener-prosessen kan konstrueres som skaleringsgrensen for en tilfeldig spasertur , eller andre diskrete tidstokastiske prosesser med stasjonære uavhengige trinn. Dette er kjent som Donskers teorem . I likhet med den tilfeldige turen er Wiener -prosessen tilbakevendende i en eller to dimensjoner (noe som betyr at den nesten sikkert kommer tilbake til et fast nabolag med opprinnelse uendelig ofte), mens den ikke er tilbakevendende i dimensjoner tre og høyere. I motsetning til den tilfeldige turen, er den skalainvariant .

Tidsutviklingen av posisjonen til selve den brune partikkelen kan beskrives omtrent ved en Langevin -ligning , en ligning som involverer et tilfeldig kraftfelt som representerer effekten av termiske svingninger i løsningsmidlet på den brune partikkelen. På lange tidsskalaer er den matematiske browniske bevegelsen godt beskrevet av en Langevin -ligning. På små tidsskalaer er treghetseffekter utbredt i Langevin -ligningen. Den matematiske browniske bevegelsen er imidlertid unntatt fra slike treghetseffekter. Treghetseffekter må vurderes i Langevin -ligningen, ellers blir ligningen entall. slik at det å bare fjerne treghetsbegrepet fra denne ligningen ikke ville gi en eksakt beskrivelse, men snarere en entydig oppførsel der partikkelen ikke beveger seg i det hele tatt.

Statistikk

Den brune bevegelsen kan modelleres av en tilfeldig spasertur. Tilfeldige vandringer i porøse medier eller fraktaler er unormale.

I det generelle tilfellet er brunsk bevegelse en ikke-Markov tilfeldig prosess og beskrevet av stokastiske integrelle ligninger .

Lévy karakterisering

Den franske matematikeren Paul Lévy beviste følgende teorem, som gir en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at en kontinuerlig R n -verdsatt stokastisk prosess X faktisk kan være n -dimensjonal brunsk bevegelse. Derfor kan Lévys tilstand faktisk brukes som en alternativ definisjon av brunsk bevegelse.

La X  = ( X 1 , ...,  X n ) være en kontinuerlig stokastisk prosess på et sannsynlighetsrom (Ω, Σ,  P ) som tar verdier i R n . Da er følgende ekvivalente:

  1. X er en brunisk bevegelse med hensyn til P , det vil si at loven til X med hensyn til P er den samme som loven i en n -dimensjonal brunsk bevegelse, dvs. at fremover -tiltaket X ( P ) er et klassisk WienermålC- 0 ([0, + ∞); R n ).
  2. både
    1. X er en martingale med hensyn til P (og sin egen naturlige filtrering ); og
    2. for alle 1 ≤  ij  ≤  n , X i ( t ) X j ( t ) - δ ij t er en martingale med hensyn til P (og sin egen naturlige filtrering ), hvor δ ij betegner Kronecker -deltaet .

Spektralt innhold

Spektralinnholdet i en stokastisk prosess kan bli funnet fra effektspektraltettheten , formelt definert som

,

hvor står for forventet verdi . Det er funnet at effektspektraltettheten til brun bevegelse er

.

der er diffusjonskoeffisienten av . For naturlig forekommende signaler kan spektralinnholdet bli funnet fra effektspektraltettheten til en enkelt realisering, med begrenset tilgjengelig tid, dvs.

,

som for en individuell realisering av en brunsk bevegelsesbane, er funnet å ha forventet verdi

og varians

.

For tilstrekkelig lange realiseringstider konvergerer den forventede verdien av effektspekteret til en enkelt bane til den formelt definerte effektspektraltettheten , men dens variasjonskoeffisient har en tendens til . Dette innebærer at fordelingen av er bred selv i den uendelige tidsgrensen.

Riemannian manifold

Brownsk bevegelse på en kule

Den uendelige generatoren (og dermed den karakteristiske operatoren) til en brunsk bevegelse på R n er lett beregnet til å være ½Δ, hvor Δ betegner Laplace -operatøren . I bildebehandling og datasyn har Laplacian -operatøren blitt brukt til forskjellige oppgaver som blob og kantdeteksjon . Denne observasjonen er nyttig for å definere brunsk bevegelse på en m -dimensjonal Riemannian manifold ( Mg ): en Brownian -bevegelse på M er definert som en diffusjon på M hvis karakteristiske operatør i lokale koordinater x i , 1 ≤  i  ≤  m , er gitt av ½Δ LB , hvor Δ LB er Laplace - Beltrami -operatøren gitt i lokale koordinater av

hvor [ g ij ] = [ g ij ] −1 i betydningen invers av en kvadratisk matrise .

Smal flukt

Det smale fluktproblemet er et allestedsnærværende problem innen biologi, biofysikk og cellulær biologi som har følgende formulering: en brun partikkel ( ion , molekyl eller protein ) er begrenset til et avgrenset område (et rom eller en celle) av en reflekterende grense, bortsett fra et lite vindu som det kan slippe ut av. Det smale rømningsproblemet er å beregne gjennomsnittlig rømningstid. Denne gangen divergerer når vinduet krymper, og gjør dermed beregningen til et enkelt forstyrrelsesproblem .

Se også

Referanser

Videre lesning

Eksterne linker