Chapman – Jouguet tilstand - Chapman–Jouguet condition

Den Chapman-Jouguet tilstand holder omtrent i detonasjon bølger i høyeksplosiver . Den sier at detonasjonen forplanter seg med en hastighet der de reagerende gassene bare når lydhastighet (i rammen av den ledende sjokkbølgen ) når reaksjonen opphører.

David Chapman og Émile Jouguet uttalte opprinnelig (ca. 1900) tilstanden for en uendelig tynn detonasjon. En fysisk tolkning av tilstanden er vanligvis basert på den senere modelleringen (ca. 1943) av Yakov Borisovich Zel'dovich , John von Neumann og Werner Döring (den såkalte ZND-detonasjonsmodellen ).

Mer detaljert (i ZND-modellen) i rammen av det ledende sjokket i detonasjonsbølgen, kommer gasser inn i supersonisk hastighet og komprimeres gjennom sjokket til en subsonisk strøm med høy tetthet. Denne plutselige trykkendringen initierer den kjemiske (eller noen ganger, som i dampeksplosjoner , fysiske) energiutslipp. Energifrigjøringen akselererer strømmen tilbake til lokal lydhastighet. Det kan vises ganske enkelt, fra de endimensjonale gassligningene for jevn strømning, at reaksjonen må opphøre ved sonisk ("CJ") plan, ellers ville det være diskontinuerlig store trykkgradienter på det tidspunktet.

Sonic-planet danner et såkalt choke-punkt som gjør det mulig for blysjokket og reaksjonssonen å bevege seg med konstant hastighet, uforstyrret av ekspansjonen av gasser i den sjeldne regionen utenfor CJ-planet.

Denne enkle endimensjonale modellen er ganske vellykket i å forklare detonasjoner. Imidlertid viser observasjoner av strukturen til virkelige kjemiske detonasjoner en kompleks tredimensjonal struktur, med deler av bølgen som går raskere enn gjennomsnittet, og andre langsommere. Slike bølger slukkes faktisk når strukturen deres blir ødelagt. Wood-Kirkwood-detonasjonsteorien kan korrigere for noen av disse begrensningene.

Matematisk beskrivelse

Den Rayleigh linje ligning og Hugoniot kurve ligning oppnådd fra de Rankine-Hugoniot relasjoner for en ideell gass , med den forutsetning av konstant spesifikk varme og konstant molekylvekt, henholdsvis er

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {{\ tilde {p}} - 1} {{\ tilde {v}} - 1}} & = - \ mu \\ {\ tilde {p}} & = {\ frac {[2 \ alpha + (\ gamma +1) / (\ gamma -1)] - {\ tilde {v}}} {[(\ gamma +1) / (\ gamma -1)] { \ tilde {v}} - 1}}, \ end {align}}}$

hvor er det spesifikke varmeforholdet og ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}}, \ quad {\ tilde {v}} = {\ frac {\ rho _ {1}} { \ rho _ {2}}}, \ quad \ alpha = {\ frac {q \ rho _ {1}} {p_ {1}}}, \ quad \ mu = {\ frac {m ^ {2}} { p_ {1} \ rho _ {1}}}.}$

Her identifiserer tegnet 1 og 2 flytegenskaper (trykk , tetthet ) oppstrøms og nedstrøms for bølgen og er den konstante massestrømmen og er varmen som frigjøres i bølgen. Skråningene til Rayleigh-linjen og Hugoniot-kurven er ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d {\ tilde {p}}} {d {\ tilde {v}}}} & = {\ frac {{\ tilde {p}} - 1} { {\ tilde {v}} - 1}}, \\ [3pt] {\ frac {d {\ tilde {p}}} {d {\ tilde {v}}}} & = - {\ frac {[(( \ gamma +1) / (\ gamma -1)] {\ tilde {p}} + 1} {[(\ gamma +1) / (\ gamma -1)] {\ tilde {v}} - 1}} . \ end {align}}}$ ⋅

På Chapman-Jouguet-punktet er begge bakkene like, noe som fører til at

${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {\ tilde {v}} {(\ gamma +1) {\ tilde {v}} - \ gamma}}.}$

Ved å erstatte dette tilbake i Rayleigh-ligningen, finner vi

${\ displaystyle \ mu = \ gamma {\ frac {\ tilde {p}} {\ tilde {v}}}.}$

Ved å bruke definisjonen av massestrøm , der betegner strømningshastigheten, finner vi ${\ displaystyle m \ equiv \ rho _ {1} u_ {1} = \ rho _ {2} u_ {2}}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle M_ {2} = {\ frac {u_ {2}} {c_ {2}}} = 1}$

hvor er Mach-tallet og er lydens hastighet , med andre ord er strømmen nedstrøms lyd med hensyn til Chapman-Jouguet-bølgen. Eksplisitt uttrykk for variablene kan utledes, ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {p}} _ {\ pm} & = 1+ \ alpha (\ gamma -1) \ left \ {1 \ pm \ left [1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ right)}} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ right \}, \\ {\ tilde {v}} _ {\ pm} & = 1 + {\ frac {\ alpha \ left (\ gamma -1 \ right)} {\ gamma}} \ left \ {1 \ mp \ left [1 + {\ frac {2 \ gamma } {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ right)}} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ right \}, \\\ mu _ {\ pm} & = \ gamma + \ alpha (\ gamma ^ {2} -1) \ left \ {1 \ pm \ left [1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ høyre)}} \ høyre] ^ {\ frac {1} {2}} \ høyre \}. \ slutt {justert}}}$

Det øvre tegnet gjelder for det øvre Chapman-Jouguet- punktet ( detonasjon ) og det nedre tegnet gjelder det nedre Chapman-Jouguet- punktet ( deflagrering ). Tilsvarende oppstrøms Mach-nummer kan bli funnet fra

${\ displaystyle M_ {1 \ pm} = \ left [1 + {\ frac {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ right)} {2 \ gamma}} \ right] ^ {\ frac { 1} {2}} \ pm \ left [{\ frac {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ right)} {2 \ gamma}} \ right] ^ {\ frac {1} {2 }}}$

og temperaturforholdet kan bli funnet fra forholdet . ${\ displaystyle {\ tilde {T}} = T_ {2} / T_ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {T}} = {\ tilde {p}} {\ tilde {v}}}$

Referanser

Videre lesning

• Bowen, EJ (1958). "David Leonard Chapman 1869–1958" . Biografiske erindringer fra stipendiater fra Royal Society . 4 : 34–44. doi : 10.1098 / rsbm.1958.0004 .
• Jacques Charles Emile Jouguet (1871–1943) (på fransk), annales.org
• Ginzburg, VL (1994). "Yakov Borissovich Zel'dovich. 8. mars 1914 - 2. desember 1987" . Biografiske erindringer fra stipendiater fra Royal Society . 40 : 430–441. doi : 10.1098 / rsbm.1994.0049 .