Sirkulært segment - Circular segment

I geometri er et sirkulært segment (symbol: ⌓ ) et område av en sirkel som er "avskåret" fra resten av sirkelen av en sekant eller et akkord . Mer formelt er et sirkulært segment et område av todimensjonalt rom som er avgrenset av en bue (på mindre enn π radianer ved konvensjon) av en sirkel og av akkordet som forbinder buens endepunkter.

Formler

Et sirkulært segment (i grønt) er omsluttet mellom en sekant/akkord (den stiplede linjen) og buen hvis endepunkter er lik akkordet (buen vist over det grønne området).

La R være den radius av buen som danner en del av omkretsen av segmentet, θ den sentrale vinkelen som er motstående buen i radianer , c den kordelengden , er den buelengde , h den pilhøyde ( høyde ) av segmentet, og en det området av segmentet.

Vanligvis er akkordlengde og høyde gitt eller målt, og noen ganger buelengde som en del av omkretsen, og de ukjente er areal og noen ganger buelengde. Disse kan ikke bare beregnes ut fra akkordlengde og høyde, så to mellomstørrelser, radius og sentralvinkel beregnes vanligvis først.

Radius og sentral vinkel

Radiusen er:

${\ displaystyle R = {\ tfrac {h} {2}}+{\ tfrac {c^{2}} {8h}}}$

Den sentrale vinkelen er

${\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {\ tfrac {c} {2R}}}$

Akkordlengde og høyde

Akkordlengden og -høyden kan beregnes tilbake fra radius og sentral vinkel ved å:

Akkordlengden er

${\ displaystyle c = 2R \ sin {\ tfrac {\ theta} {2}} = R {\ sqrt {2 (1- \ cos \ theta)}}}}$

Sagittaen er

${\ displaystyle h = R (1- \ cos {\ tfrac {\ theta} {2}}) = R \ venstre (1-{\ sqrt {\ tfrac {1+ \ cos \ theta} {2}}} \ Ikke sant)}$

Buelengde og areal

Buelengden, fra den kjente geometrien til en sirkel, er

${\ displaystyle s = {\ theta} R}$

Arealet a av det sirkulære segmentet er lik arealet av den sirkulære sektoren minus arealet til den trekantede delen (ved hjelp av formelen med dobbel vinkel for å få en ligning i form av Θ):

${\ displaystyle a = {\ tfrac {R^{2}} {2}} \ venstre (\ theta -\ sin \ theta \ right)}$

Når det gjelder R og h,

${\ displaystyle a = R^{2} \ arccos \ left (1-{\ frac {h} {R}} \ right)-\ left (Rh \ right) {\ sqrt {R^{2}-\ left (Rh \ høyre)^{2}}}}$

Dessverre er det en transcendental funksjon av og så ingen algebraisk formel når det gjelder disse kan angis. Men hva kan sies er at etter hvert som sentrale vinkelen blir mindre (eller vekselvis radius blir større), området et raskt og asymptotisk nærmer . Hvis er en vesentlig god tilnærming. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} c \ cdot h}$${\ displaystyle \ theta << 1, a = {\ tfrac {2} {3}} c \ cdot h}$

Når den sentrale vinkelen nærmer seg π, konvergerer segmentets område til området i en halvsirkel , så en god tilnærming er en deltaforskyvning fra sistnevnte område: ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi R^{2}} {2}}}$

${\ displaystyle a \ approx {\ tfrac {\ pi R^{2}} {2}}-(R+{\ tfrac {c} {2}}) (Rh)}$for h> .75 R

Etc.

Omkretsen p er arklengden pluss akkordlengden,

${\ displaystyle p = c+s = c+\ theta R}$

Som en andel av hele platens område, har du ${\ displaystyle A = \ pi R^{2}}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {A}} = {\ frac {\ theta -\ sin \ theta} {2 \ pi}}}$

applikasjoner

Arealformelen kan brukes til å beregne volumet til en delvis fylt sylindrisk tank som ligger horisontalt.

Ved utforming av vinduer eller dører med avrundede topper kan c og h være de eneste kjente verdiene og kan brukes til å beregne R for tegnerens kompassinnstilling.

Man kan rekonstruere hele dimensjonene til et komplett sirkulært objekt fra fragmenter ved å måle buelengden og akkordlengden til fragmentet.

For å kontrollere hullposisjoner på et sirkulært mønster. Spesielt nyttig for kvalitetskontroll på bearbeidede produkter.

For å beregne arealet eller midten av en plan form som inneholder sirkulære segmenter.

Se også

• Akkord (geometri)
• Sfærisk hette
• Sirkulær sektor

Referanser

• Weisstein, Eric W. "Sirkulært segment" . MathWorld .

Eksterne linker

• Definisjon av et sirkulært segment Med interaktiv animasjon
• Formler for området i et sirkulært segment Med interaktiv animasjon