Knoidal bølge - Cnoidal wave

Amerikanske hærs bombefly som flyr over nær periodisk svulmer på grunt vann, nær Panama- kysten (1933). De skarpe kammene og veldig flate trauene er karakteristiske for knust bølger.

I fluiddynamikk , en cnoidal bølge er en ikke-lineær og nøyaktig periodisk bølge oppløsning av den Korteweg-de Vries ligning . Disse løsningene er i form av Jacobi elliptiske funksjoner cn , det er derfor de er laget cn oidal bølger. De brukes til å beskrive tyngdekraftsbølger på overflaten med ganske lang bølgelengde , sammenlignet med vanndypet.

Knoidale bølgeløsninger ble avledet av Korteweg og de Vries , i deres papir fra 1895, hvor de også foreslår sin spredte langbølge-ligning, nå kjent som Korteweg – de Vries-ligningen. I grensen for uendelig bølgelengde blir knoidalbølgen en ensom bølge .

Den Benjamin-Bona-Mahonys ligning har forbedret kort- bølgelengde oppførsel, sammenlignet med den Korteweg-de Vries ligning, og er en annen enveis bølgeligning med cnoidal bølge løsninger. Videre, siden Korteweg – de Vries-ligningen er en tilnærming til Boussinesq-ligningene for tilfelle av enveis bølgeforplantning , er knoide bølger omtrentlige løsninger på Boussinesq-ligningene.

Knoidale bølgeløsninger kan også vises i andre bruksområder enn overflategravitasjonsbølger, for eksempel for å beskrive ionakustiske bølger i plasmafysikk .

En cnoidal bølge, preget av skarpere kamper og flatere kummer enn i en sinusbølge . For det viste tilfellet er den elliptiske parameteren m  = 0,9.
Kryssing av sveller , bestående av nesten knoformede bølgetog. Foto tatt fra Phares des Baleines ( hvalfyret) på det vestlige punktet av Île de Ré (Isle of Rhé), Frankrike, i Atlanterhavet .

Bakgrunn

Korteweg – de Vries, og Benjamin – Bona – Mahony ligninger

Gyldigheten av flere teorier for periodiske vannbølger, ifølge Le Méhauté (1976). Det lyseblå området gir gyldighetsområdet for cnoidal wave theory; lysegul for Airy wave theory ; og de stiplete blå linjene avgrenser mellom den nødvendige rekkefølgen i Stokes bølgeteori . Den lysegrå skyggen gir rekkeviddeutvidelsen ved numeriske tilnærminger ved bruk av femte-ordens strømfunksjonsteori for høye bølger ( H  > ¼ H- brudd ).

Den Korteweg-de Vries ligning (KdV ligning) kan brukes for å beskrive den uni-retningsforplantning av svakt ikke-lineært og lange bølger-der i langbølge midler: og som har lange bølgelengder sammenlignet med den midlere vanndybde-overflategravitasjonsbølger på en væske lag. KdV-ligningen er en dispersiv bølgeligning, inkludert både frekvensdispersjon og amplitudespredningseffekter . I sin klassiske anvendelse er KdV-ligningen anvendbar for bølgelengder λ som overstiger omtrent fem ganger den gjennomsnittlige vanndybden h , så for λ  > 5  h ; og for perioden τ større enn med g styrken av gravitasjonsakselerasjonen . For å se for seg posisjonen til KdV-ligningen innenfor omfanget av klassiske bølgetilnærminger, skiller den seg ut på følgende måter:

  • Korteweg – de Vries-ligning - beskriver fremdrift av svakt ikke-lineære og spredte bølger, for lange bølger med λ  > 7  timer .
  • Grunnvannsligninger - er også ikke-lineære og har amplitudedispersjon, men ingen frekvensdispersjon; de er gyldige for veldig lange bølger, λ  > 20  timer .
  • Boussinesq-ligninger - har samme gyldighetsområde som KdV-ligningen (i sin klassiske form), men tillater bølgeforplantning i vilkårlige retninger, så ikke bare foroverforplantende bølger. Ulempen er at Boussinesq-ligningene ofte er vanskeligere å løse enn KdV-ligningen; og i mange applikasjoner er bølgerefleksjoner små og kan bli neglisjert.
  • Luftig bølgeteori - har full frekvensdispersjon, så gyldig for vilkårlig dybde og bølgelengde, men er en lineær teori uten amplitudedispersjon, begrenset til lavamplitudebølger.
  • Stokes bølgeteori - en tilnærming til forstyrrelsesserien til beskrivelsen av svakt ikke-lineære og spredte bølger, spesielt vellykket på dypere vann for relativt korte bølgelengder, sammenlignet med vanndypet. For lange bølger foretrekkes imidlertid ofte Boussinesq-tilnærmingen - slik den også brukes i KdV-ligningen. Dette er fordi på Stoke 'forstyrrelseserie på grunt vann trenger mange termer før konvergens mot løsningen, på grunn av toppene på toppene og lange flate kummer av de ikke-lineære bølgene. Mens KdV- eller Boussinesq-modellene gir gode tilnærminger for disse lange ikke-lineære bølgene.

KdV-ligningen kan være avledet fra Boussinesq-ligningene, men det er behov for ytterligere forutsetninger for å være i stand til å splitte av foroverbølgeutbredelsen. For praktiske anvendelser er Benjamin-Bona-Mahony-ligningen (BBM-ligning) å foretrekke fremfor KdV-ligningen, en fremoverforplantende modell som ligner på KdV, men med mye bedre frekvensdispersjonsadferd ved kortere bølgelengder. Ytterligere forbedringer i kortbølgeytelse kan oppnås ved å begynne å utlede en enveis bølgeligning fra en moderne forbedret Boussinesq-modell, gyldig for enda kortere bølgelengder.

Knoidale bølger

Knoidale bølgeprofiler for tre verdier av den elliptiske parameteren m .
blå : m = 0,
rød : m = 0,9 og
svart : m = 0,99999.

KnV-bølgeløsningene til KdV-ligningen ble presentert av Korteweg og de Vries i deres artikkel fra 1895, hvilken artikkel er basert på doktorgradsavhandlingen av de Vries i 1894. Solitære bølgeløsninger for ikke-lineære og dispersive lange bølger hadde blitt funnet tidligere av Boussinesq i 1872 og Rayleigh i 1876. Søket etter disse løsningene ble utløst av observasjonene av denne ensomme bølgen (eller "bølge av oversettelse") av Russell , både i naturen og i laboratorieeksperimenter. Knoidale bølgeløsninger av KdV-ligningen er stabile med hensyn til små forstyrrelser.

Overflatehøyden η ( x , t ), som en funksjon av horisontal posisjon x og tid t , for en cnoidal bølge er gitt av:

hvor H er den bølgehøyde , λ er bølgelengden , c er fasehastigheten og η 2 er det trau høyde. Videre er cn en av Jacobi elliptiske funksjoner og K ( m ) er den komplette elliptiske integralen av den første typen ; begge er avhengige av den elliptiske parameteren m . Sistnevnte, m , bestemmer formen på den knuste bølgen. For m lik null den cnoidal bølgen blir en cosinus- funksjon, mens for verdier i nærheten av en av cnoidal bølge får spisse topper og (veldig) flate trau. For verdier på m mindre enn 0,95 kan den knoformede funksjonen tilnærmes med trigonometriske funksjoner.

En viktig dimensjonsløs parameter for ikke-lineære lange bølger ( λ  ≫  h ) er Ursell-parameteren :

For små verdier av U , si U  <5, kan en lineær teori brukes, og ved høyere verdier må ikke-lineære teorier brukes, som cnoidal wave theory. Avgrensningssonen mellom — tredje eller femte orden — Stokes ’og cnoidal bølgeteorier ligger i området 10–25 av Ursell-parameteren. Som det kan sees fra formelen for Ursell-parameteren, vokser Ursell-parameteren - og dermed også ikke-lineariteten - for en gitt relativ bølgehøyde H / h raskt med økende relativ bølgelengde λ / h .

Basert på analysen av det fulle ikke-lineære problemet med overflategravitasjonsbølger innen potensiell strømningsteori , kan de ovennevnte cnoidale bølgene betraktes som den laveste orden i en forstyrrelsesserie. Høyere orden cnoidal bølgeteorier forblir gyldige for kortere og mer ikke-lineære bølger. En femte-ordens cnoidal bølge teori ble utviklet av Fenton i 1979. En detaljert beskrivelse og sammenligning av femte-ordens Stokes og femte-ordens cnoidal bølge teorier er gitt i gjennomgangsartikkelen av Fenton.

Knoidale bølgebeskrivelser, gjennom en renormalisering, er også godt egnet for bølger på dypt vann, til og med uendelig vanndyp; som funnet av Clamond. En beskrivelse av samspillet mellom knoformede bølger på grunt vann, som finnes i ekte hav, ble gitt av Osborne i 1994.

Overflatespenning

I tilfelle overflatespenningseffekter er (også) viktige, kan disse inkluderes i knoidale bølgeløsninger for lange bølger.

Periodiske bølgeløsninger

Korteweg – de Vries-ligning

Den Korteweg-de Vries ligning (ligning KdV), som benyttes for vannbølger og i dimensjonal form, er:

hvor

η : Overflate høyde , er en funksjon av x og t , med den positive retning oppover (motstående tyngdekraft),
x : horisontal koordinat,
t : tid,
g : verdien av jordens tyngdekraft ,
h : gjennomsnittlig vanndyp, og
x og ∂ t : delvis avledede operatører med hensyn til x og t .
  Detaljer om avledningen
Ikke-dimensjonalisering

Alle mengder kan gjøres dimensjonsløse ved å bruke tyngdeakselerasjonen g og vanndybden h :

    og  

Den resulterende ikke-dimensjonale formen for KdV-ligningen er

I resten vil tildene bli droppet for å gjøre det lettere å notere.

Forhold til et standard skjema

Formen

oppnås gjennom transformasjonen

    og  

men dette skjemaet vil ikke bli brukt lenger i denne avledningen.

Fortplantningsbølger i fast form

Periodiske bølgeløsninger, som reiser med fasehastighet c , blir søkt. Disse permanente bølgene må være av følgende:

 med den bølge fase : 

Følgelig blir delderivatene med hensyn til rom og tid:

  og  

hvor η ' betegner det ordinære derivatet av η ( ξ ) med hensyn til argumentet ξ .

Ved å bruke disse i KdV-ligningen oppnås følgende ordens vanlige differensialligning av tredje ordens :

Integrering til en ordens ordinære differensialligning

Dette kan integreres en gang for å oppnå:

med r en integrasjonskonstant . Etter å ha multiplisert med 4  η ' , og integrert igjen

Kubikkpolynom f (η) som man opplever i periodiske bølgeløsninger av Korteweg – de Vries-ligningen og Benjamin – Bona – Mahony-ligningen .

med s en annen integrasjonskonstant. Dette er skrevet i skjemaet

  med  

 

 

 

 

( A )

Det kubiske polynomet f ( η ) blir negativt for store positive verdier av η , og positivt for store negative verdier av η . Siden overflatehøyde η er virkelig verdsatt , er også integrasjonskonstantene r og s reelle. Polynomet f kan uttrykkes i form av røttene η 1 , η 2 og η 3 :

 

 

 

 

( B )

Fordi f ( η ) er virkelig verdsatt, er de tre røttene η 1 , η 2 og η 3 enten alle tre reelle, ellers er en reell, og de resterende to er et par komplekse konjugater . I sistnevnte tilfelle, med bare en virkelig verdsatt rot, er det bare en høyde η der f ( η ) er null. Og følgelig også kun en høyde ved hvilken overflaten skråningen η' er null. Imidlertid ser vi etter bølgelignende løsninger, med to høyder - bølgetopp og trau (fysikk) - der overflatehellingen er null. Konklusjonen er at alle tre røttene til f ( η ) må verdsettes reelt.

Uten tap av generalitet antas det at de tre virkelige røttene er ordnet som:

Løsning av førsteordens ordinær differensialligning

Fra ligning ( A ) kan det nå sees at bare reelle verdier for skråningen eksisterer hvis f ( η ) er positiv. Dette tilsvarer η 2  ≤  η ≤  η 1 , som derfor er området mellom hvilket overflatehøyde svinger, se også grafen til f ( η ). Denne tilstanden er oppfylt med følgende fremstilling av høyden η ( ξ ):

 

 

 

 

( C )

i samsvar med den periodiske karakteren til de søkte bølgeløsninger og med ψ ( ξ ) fasen til de trigonometriske funksjonene sin og cos. Fra dette skjemaet kan følgende beskrivelser av forskjellige begreper i ligning ( A ) og ( B ) fås:

Ved å bruke disse i ligningene ( A ) og ( B ), oppnås følgende ordinære differensialligning relatert ψ og ξ , etter noen manipulasjoner:

med høyre side fortsatt positiv, siden η 1  -  η 3  ≥  η 1  -  η 2 . Uten tap av generalitet kan vi anta at ψ ( ξ ) er en monotone funksjon, siden f ( η ) ikke har noen nuller i intervallet η 2  <  η  <  η 1 . Så den ovennevnte vanlige differensiallikningen kan også løses i form av at ξ ( ψ ) er en funksjon av ψ :

med:

  og  

hvor m er den såkalte elliptiske parameteren, og tilfredsstiller 0  ≤  m  ≤ 1 (fordi η 3  ≤  η 2  ≤  η 1 ). Hvis ξ  = 0 er valgt ved bølgetopp η (0) =  η 1 gir integrasjon

 

 

 

 

( D )

med F ( ψ | m ) den ufullstendige elliptiske integralen av den første typen . De Jacobi elliptiske funksjoner cn og sn er inverse F ( Y | m ) gitt ved

  og  

Ved bruk av ligning ( C ), er den resulterende cnoidal-wave-løsningen av KdV-ligningen funnet

Det som gjenstår er å bestemme parametrene: η 1 , η 2 , Δ og m .

Forholdet mellom cnoidal-wave parametere

For det første, siden η 1 er topphøyden og η 2 er trauhøyden, er det praktisk å introdusere bølgehøyden , definert som H  =  η 1  -  η 2 . Følgelig finner vi for m og for Δ :

 og så    

Den knoformede bølgeløsningen kan skrives som:

For det andre, er trauet plassert på ψ  = ½  π , slik at avstanden mellom ξ  = 0 og ξ  = ½  λ er, med λ den bølgelengden , fra ligning ( D ):

  gir  

hvor K ( m ) er den komplette elliptiske integralen av den første typen . For det tredje, siden bølgen svinger rundt gjennomsnittlig vanndyp, må gjennomsnittsverdien av η ( ξ ) være null. Så

hvor E ( m ) er den komplette elliptiske integralen av den andre typen . Følgende uttrykk for η 1 , η 2 og η 3 som en funksjon av den elliptiske parameteren m og bølgehøyde H- resultatet:

    og  

For det fjerde, fra ligningene ( A ) og ( B ) kan det opprettes et forhold mellom fasehastigheten c og røttene η 1 , η 2 og η 3 :

De relative endringene i fasehastigheten er vist i figuren nedenfor. Som man kan se, for m  > 0,96 (så i 1 -  m  <0,04) fasehastigheten øker med økende bølgehøyde H . Dette samsvarer med de lengre og mer ikke-lineære bølgene. Den ikke-lineære endring i fasehastighet, for fast m , er proporsjonal med bølgehøyden H . Merk at fasehastigheten c er relatert til bølgelengden λ og perioden τ som:

Resumé av løsningen

Alle mengder her vil bli gitt i dimensjonale former, som gjelder for tyngdekraftsbølgeroverflaten før ikke-dimensjonalisering .

Relativ fasehastighet økning av cnoidal bølge løsninger for Korteweg-de Vries ligning som en funksjon av 1- m , med m elliptiske parameter.
Den horisontale aksen er på en logaritmisk skala , fra 10 −6 til 10 0 = 1.
Figuren er for ikke-dimensjonale størrelser, dvs. fasehastigheten c gjøres dimensjonsløs med den lave vannfasehastigheten , og bølgehøyden H blir dimensjonsløs med den gjennomsnittlige vanndypet h .

Knoidal-bølgeløsningen til KdV-ligningen er:

med Hbølgehøyden -den forskjell mellom bølgetopp og trau høyde, n 2 trauet høyde, m elliptiske parameter, c den fasehastigheten og cn en av Jacobi elliptiske funksjoner . Bunnnivået η 2 og bredde-parameteren Δ kan uttrykkes i form av H , h og m :

  og  

med K ( m ) den komplette elliptiske integralen av den første typen og E ( m ) den komplette elliptiske integralen av den andre typen . Merk at K ( m ) og E ( m ) her er betegnet som en funksjon av den elliptiske parameteren m og ikke som en funksjon av den elliptiske modulen k , med m  =  k 2 .

Den bølgelengde λ , fasehastighet c og bølgeperiode τ er relatert til H , t og m av:

    og  

med g av jordens gravitasjon .

Oftest er de kjente bølgeparametrene bølgehøyden H , gjennomsnittlig vanndybde h , gravitasjonsakselerasjon g , og enten bølgelengden λ eller ellers perioden τ . Deretter brukes de ovennevnte relasjonene for λ , c og τ for å finne den elliptiske parameteren m . Dette krever numerisk løsning ved hjelp av en iterativ metode .

Benjamin – Bona – Mahony-ligning

Den Benjamin-Bona-Mahonys ligning (ligning BBM), eller ordnet langbølge (RLW) ligning, er dimensjons formen gitt ved:

Alle mengder har samme betydning som for KdV-ligningen. BBM-ligningen foretrekkes ofte fremfor KdV-ligningen fordi den har en bedre kortbølgeatferd.

  Detaljer om avledningen
Derivasjon

Derivasjonen er analog med den for KdV-ligningen. Den dimensjonsløse BBM ligning er, ikke-dimensionalised ved hjelp av midlere vanndybde h og gravitasjonsakselerasjon g :

Dette kan bringes inn i standardskjemaet

gjennom transformasjonen:

    og  

men dette standardskjemaet vil ikke bli brukt her.

Analogt med avledningen av den knoformede bølgeløsningen for KdV-ligningen, blir periodiske bølgeløsninger η ( ξ ), med ξ  =  x - ct betraktet. Da blir BBM-ligningen en tredje ordens ordinær differensialligning, som kan integreres to ganger, for å skaffe seg:

  med  

Som bare skiller seg fra ligningen for KdV-ligningen gjennom faktoren c foran ( η ′ ) 2 på venstre side. Gjennom en koordinatransformasjon kan β  =  ξ  /  faktor c fjernes, noe som resulterer i samme førsteordens ordinære differensialligning for både KdV- og BBM-ligningen. Her brukes imidlertid skjemaet gitt i forrige ligning. Dette resulterer i en annen formulering for Δ som funnet for KdV-ligningen:

Forholdet mellom bølgelengden λ , som en funksjon av H og m , påvirkes av denne endringen i

For resten er avledningen analog med den for KdV-ligningen, og vil ikke gjentas her.

Gjenoppta

Resultatene presenteres i dimensjonal form for vannbølger på et flytende lag med dybde h .

Den knoformede bølgeløsningen til BBM-ligningen, sammen med de tilknyttede forholdene for parametrene, er:

Den eneste forskjellen med den knoidale bølgeløsningen til KdV-ligningen er i ligningen for bølgelengden λ . For praktiske bruksområder, vanligvis vanndypen h , bølgehøyde H , gravitasjonsakselerasjon g , og enten bølgelengden λ , eller — oftest — perioden (fysikk) τ er gitt. Deretter må den elliptiske parameteren m bestemmes ut fra forholdene ovenfor for λ , c og τ gjennom noen iterativ metode .

Eksempel

Parameterrelasjoner for knoformede bølgeløsninger i Korteweg – de Vries-ligningen. Vist er −log 10  (1− m ), med m den elliptiske parameteren for de komplette elliptiske integralene , som en funksjon av dimensjonsløs periode τ  g / t og relativ bølgehøyde H  /  h . Verdiene langs konturlinjene er −log 10  (1− m ), så en verdi 1 tilsvarer m  = 1 - 10 −1  = 0,9 og en verdi 40 med m  = 1 - 10 −40 .

I dette eksemplet blir en cnoidal bølge ifølge Korteweg – de Vries (KdV) ligningen vurdert. Følgende parametere for bølgen er gitt:

I stedet for perioden τ kan bølgelengden λ forekomme som en på forhånd kjent størrelse.

For det første beregnes den dimensjonsløse perioden:

som er større enn syv, så lenge nok til at knoidal teori er gyldig. Det viktigste ukjente er den elliptiske parameteren m . Dette må bestemmes på en slik måte at bølgetiden τ , beregnet fra cnoidal bølgeteori for KdV-ligningen:

    og  

er i samsvar med den gitte verdien av τ ; her er λ bølgelengden og c er bølgeens fasehastighet. Videre er K ( m ) og E ( m ) komplette elliptiske integraler av henholdsvis den første og den andre typen. Søking etter den elliptiske parameteren m kan gjøres ved prøving og feiling , eller ved bruk av en numerisk rotfinningsalgoritme . I dette tilfellet, med utgangspunkt i en innledende gjetning m init  = 0,99, ved å prøve og feile svaret

er funnet. Innen prosessen er bølgelengden λ og fasehastigheten c beregnet:

  • bølgelengde λ = 50,8 m (167 ft), og
  • fasehastighet c = 7,26 m / s (23,8 ft / s).

Fasehastigheten c kan sammenlignes med verdien i henhold til grunnvannligningene :

viser en 3,8% økning på grunn av virkningen av ikke-lineær amplitude dispersjon , som vinner i dette tilfelle fra reduksjon av fasehastigheten av frekvens dispersjon.

Nå er bølgelengden kjent, Ursell-tallet kan også beregnes:

som ikke er liten, så lineær bølgeteori er ikke aktuelt, men cnoidal bølgeteori er det. Til slutt er forholdet mellom bølgelengde og dybde λ  /  h  = 10,2> 7, noe som igjen indikerer at denne bølgen er lang nok til å bli betraktet som en cnoidal bølge.

Ensom-bølge grense

For veldig lange ikke-lineære bølger, med parameteren m nær en, m  → 1, kan Jacobi elliptisk funksjon cn tilnærmes med

  med  

Her er sinh, cosh, tanh og sech hyperbolske funksjoner . I grensen m  = 1:

med sech ( z ) = 1 / cosh ( z ).

Videre, for samme grense på m  → 1, går den komplette elliptiske integralen av den første typen K ( m ) til uendelig, mens den komplette elliptiske integralen av den andre typen E ( m ) går til en. Dette innebærer at grenseverdiene for fasehastigheten c og minimumsutviklingen η 2 blir:

  og  

Følgelig, når det gjelder bredde-parameteren Δ , er den ensomme bølgeløsningen til både KdV- og BBM-ligningen:

Breddeparameteren, slik den er funnet for de knoformede bølgene og nå i grensen m  → 1, er forskjellig for KdV- og BBM-ligningen:

  : KdV-ligning, og
  : BBM-ligning.

Men fasehastigheten til den ensomme bølgen i begge ligninger er den samme, for en viss kombinasjon av høyde H og dybde h .

Grense for uendelig liten bølgehøyde

For uendelig liten bølgehøyde forventes resultatene av cnoidal bølge teori å konvergere mot de av Airy wave theory for grensen for lange bølger λ  ≫  h . Først vil overflatehøyden, og deretter fasehastigheten, til de knoformede bølgene undersøkes for uendelig liten bølgehøyde.

Overflatehøyde

  Detaljer om avledningen

Den Jacobi elliptiske funksjoner CN kan utvides inn i et Fourier-serie

K ' ( m ) er kjent som den imaginære kvartalsperioden, mens K ( m ) også kalles den virkelige kvartalsperioden til Jacobi elliptisk funksjon. De er beslektet gjennom: K ' ( m ) =  K (1− m )

Siden interessen her er i liten bølgehøyde, tilsvarende liten parameter m  ≪ 1, er det praktisk å vurdere Maclaurin-serien for de relevante parametrene, for å starte med de komplette elliptiske integralene K og E :

Deretter kan de hyperbolske-cosinusuttrykkene, som vises i Fourier-serien, utvides for små m  ≪ 1 som følger:

 med nomenet q gitt av 

Nome q har følgende oppførsel for små m :

Følgelig er amplitudene til de første begrepene i Fourier-serien:

:  
:  
:  

Så for m  ≪ 1 har Jacobi elliptisk funksjon de første Fourier-serietermene:

  med  

Og firkanten er

Den frie overflaten η ( x , t ) til knoidalbølgen vil bli uttrykt i sin Fourier-serie, for små verdier av den elliptiske parameteren m . Vær først oppmerksom på at argumentet til cn-funksjonen er ξ / Δ , og at bølgelengden λ  = 2  Δ  K ( m ), så:

 

Videre er den gjennomsnittlige høyde for fri overflate null. Derfor er overflatehøyde for små amplitudebølger

Også bølgelengden λ kan utvides til en Maclaurin-serie av den elliptiske parameteren m , annerledes for KdV og BBM-ligningen, men dette er ikke nødvendig for det nåværende formål.

Merk : Den begrensende atferden for null m - i uendelig liten bølgehøyde - kan også sees fra:
 
men den høyere ordens termen proporsjonal med m i denne tilnærmingen inneholder en sekulær term på grunn av uoverensstemmelsen mellom perioden av cn ( z | m ), som er 4  K ( m ), og perioden 2 π for cosinus cos ( z ). Ovennevnte Fourier-serier for små m har ikke denne ulempen, og er i samsvar med former slik de ble funnet ved bruk av Lindstedt – Poincaré-metoden i forstyrrelsesteori .

For uendelig liten bølgehøyde, i grensen m  → 0, blir den frie overflatehøyde:

  med  

bølgeamplituden er ½ H , halv bølgehøyde . Dette er av samme form som studert i Airy wave theory , men merk at cnoidal wave theory bare er gyldig for lange bølger med bølgelengden mye lenger enn den gjennomsnittlige vanndypet.

Fasehastighet

  Detaljer om avledningen

Fasehastigheten til en cnoidal bølge, både for KdV- og BBM-ligningen, er gitt av:

I denne formuleringen er fasehastigheten en funksjon av bølgehøyde H og parameter m . For å bestemme bølgeforplantning for bølger av uendelig høyde er det imidlertid nødvendig å bestemme oppførselen til fasehastigheten ved konstant bølgelengde λ i grensen at parameteren m nærmer seg null. Dette kan gjøres ved å bruke ligningen for bølgelengden, som er forskjellig for KdV- og BBM-ligningen:

KdV:  
BBM:  

Vi presenterer det relative bølgetallet κh :

og ved å bruke de ovennevnte ligningene for fasehastighet og bølgelengde, kan faktoren H  /  m i fasehastigheten erstattes av Kh og m . De resulterende fasehastighetene er:

KdV:  
BBM:
 

Den begrensende oppførselen for liten m kan analyseres ved bruk av Maclaurin-serien for K ( m ) og E ( m ), noe som resulterer i følgende uttrykk for den vanlige faktoren i begge formler for c :

så i grensen m  → 0, faktoren γ  → - 16 . Grenseverdien for fasehastigheten for m  ≪ 1 blir direkte resultat.

De fasehastigheter for uendelig liten bølgehøyde, i henhold til de cnoidal bølge teorier for KdV likning og BBM ligning, er

KdV :  
BBM :

med κ  = 2 π  /  λ den bølgetall og κh den relative bølgetallet. Disse fasehastighetene stemmer overens med resultatet oppnådd ved direkte søk etter sinusbølgeløsninger av de lineære KdV- og BBM-ligningene. Som det fremgår av disse ligningene, har den lineære BBM-ligningen en positiv fasehastighet for alle Kh . På den annen side endrer fasehastigheten til den lineære KdV-ligningen tegnet for korte bølger med κh  >  . Dette er i konflikt med avledningen av KdV-ligningen som en enveis bølgeligning.

Direkte avledning fra de fulle inviscid-flow ligningene

Uformet hull og hvalper nær munningen av Araguari-elven i det nordøstlige Brasil. Utsikten er skrå mot munnen fra flyet i omtrent 30 fot høyde.

Knoidale bølger kan avledes direkte fra de usynlige , irrotasjonelle og komprimerbare strømningslikningene, og uttrykkes i form av tre invarianter av strømmen, som vist av Benjamin & Lighthill (1954) i deres forskning på undulære boringer . I en referanseramme beveger seg sammen med fasehastighet , i hvilken referansehelbildet strømningen blir en jevn strøm , kan de cnoidal bølge oppløsninger direkte relateres til massefluks , momentum flux og energi leder av strømmen. Etter Benjamin & Lighthill (1954) - ved hjelp av en strømfunksjonsbeskrivelse av denne ukomprimerbare strømmen - er de horisontale og vertikale komponentene i strømningshastigheten de romlige derivatene av strømfunksjonen Ψ ( ξ , z ): + z Ψ og - ξ Ψ , i henholdsvis ξ og z retning ( ξ  =  x - ct ). Den vertikale koordinaten z er positiv i retning oppover, motsatt retning gravitasjonsakselerasjonen, og nullnivået på z er ved den ugjennomtrengelige nedre grensen for fluiddomenet. Mens den frie overflaten er på z  =  ζ ( ξ ); legg merke til at ζ er lokal vanndyp, relatert til overflatehøyde η ( ξ ) som ζ  =  h  +  η med h den gjennomsnittlige vanndypet.

I denne jevne strømmen er utslippet Q gjennom hvert vertikale tverrsnitt konstant uavhengig av ξ , og på grunn av det horisontale sjiktet bevares også den horisontale momentstrømmen S , delt på densiteten ρ , gjennom hvert vertikale tverrsnitt. Videre, for denne uskyldige og irrotasjonsstrømmen, kan Bernoullis prinsipp brukes og har den samme Bernoulli-konstante R overalt i strømningsdomenet. De er definert som:

For ganske lange bølger, forutsatt at vanndypet ζ er liten sammenlignet med bølgelengden λ , oppnås følgende forhold mellom vanndypet ζ ( ξ ) og de tre invarianterne Q , R og S :

 

 

 

 

( E )

Denne ikke-lineære og første ordens ordinære differensialligning har knoide bølgeløsninger.

For veldig lange bølger av uendelig minimal amplitude på en væske med dybde h og med en jevn strømningshastighet v , er strømningskonstantene i henhold til de grunne vannligningene :

    og  

Ligning ( E ) kan bringes til ikke-dimensjonal form ved bruk av utslipp Q og gravitasjonsakselerasjon g , og definere den kritiske dybden h c :

knyttet til den kritiske strømningsavgrensningen mellom subkritisk flyt og superkritisk flyt (se også Froude-nummer ). Følgelig er ligningens ikke-dimensjonale form

med

      og  

Derivasjon

Fjern først trykket p fra momentumfluxen S ved å bruke Bernoulli-ligningen:

Strømfunksjonen Ψ utvides som en Maclaurin-serie rundt sengen ved z  = 0, og ved bruk av at den ugjennomtrengelige sengen er en strømlinjeforming og irrotasjonaliteten til strømmen: Ψ  = 0 og ∂ z 2 Ψ  = 0 ved z  = 0:

med u b den horisontale hastighets ved sjikt z  = 0. Fordi bølgene er lange, h  »  λ , bare betingelser inntil z 3 og ζ 3 , beholdt i tilnærmelser til Q og S . Momentumstrømmen S blir da:

Utslippet Q blir, siden det er verdien av strømfunksjonen Ψ på den frie overflaten z  =  ζ :

Som det fremgår er utslippet Q en O ( ζ ) -mengde. Fra dette ses senghastigheten å være

Vær oppmerksom på at Q  /  ζ er en bestillingsantall. Dette forhold vil bli brukt til å erstatte sjiktet hastigheten u b ved Q og ζ i momentum flux S . Følgende termer kan avledes av det:

Følgelig blir momentumstrømmen S , og beholder igjen bare vilkår opp til proporsjonal med ζ 3 :

Som direkte kan omarbeides i form av ligning ( E ).

Potensiell energi

Den potensielle energitettheten

med ρ fluidtettheten , er en av de uendelig antall invarianter av KdV ligningen. Dette kan sees ved å multiplisere KdV-ligningen med overflatehøyde η ( x , t ); etter gjentatt bruk av kjederegelen er resultatet:

som er i bevaringsform, og er en invariant etter integrering over periodicitetsintervallet - bølgelengden for en cnoidal bølge. Den potensielle energien er ikke en invariant av BBM-ligningen, men ½ ρg  [ η 2  +  16  h 2  ( x  η ) 2 ] er.

Først beregnes variansen av overflatehøyde i en cnoidal bølge. Merk at η 2  = - (1 / λ0λ  H  cn 2 ( ξ / Δ | m) d x , cn ( ξ / Δ | m) = cos  ψ ( ξ ) og λ  = 2  Δ  K ( m ) , så

Den potensielle energien, både for KdV og BBM-ligningen, blir senere funnet å være

Den uendelige minimale bølgehøyde-grensen ( m  → 0) for den potensielle energien er E pot  =  116  ρ  g  H 2 , som er i samsvar med Airy wave theory . Bølgehøyden er to ganger amplituden, H  = 2- en , i det infinitesimale bølge grense.

Se også

Merknader og referanser

Merknader

Referanser

Videre lesning