Kompleks konjugat - Complex conjugate

I matematikk er det komplekse konjugatet av et komplekst tall tallet med en lik reell del og en imaginær del like stor, men motsatt i tegnet . Det vil si at (hvis og er ekte, så) er det komplekse konjugatet av lik Det komplekse konjugatet av er ofte betegnet som${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a+bi}$${\ displaystyle a-bi.}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ overline {z}}.}$

I polar form , den konjugerte av er kan dette bli vist ved hjelp av Eulers formel . ${\ displaystyle re^{i \ varphi}}$${\ displaystyle re^{-i \ varphi}.}$

Produktet av et komplekst tall og dets konjugat er et reelt tall:  (eller  i polære koordinater ). ${\ displaystyle a^{2}+b^{2}}$${\ displaystyle r^{2}}$

Hvis en rot til et univariat polynom med reelle koeffisienter er kompleks, så er dets komplekse konjugat også en rot .

Notasjon

Det komplekse konjugatet til et komplekst tall er skrevet som eller Den første notasjonen, et vinculum , unngår forvirring med notasjonen for konjugerte transponering av en matrise , som kan tenkes som en generalisering av det komplekse konjugatet. Den andre er foretrukket i fysikk , der dolk (†) brukes for konjugattransponering, samt elektroteknikk og datateknikk , der stavnotasjon kan forveksles med det logiske negasjonen ("IKKE") booleske algebra -symbolet, mens linjen notasjon er mer vanlig i ren matematikk . Hvis et komplekst tall er representert som en matrise , er notasjonene identiske. ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ overline {z}}}$${\ displaystyle z^{*}.}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$

Egenskaper

Følgende egenskaper gjelder for alle komplekse tall og med mindre annet er angitt, og kan bevises ved å skrive og i skjemaet${\ displaystyle z}$${\ displaystyle w,}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle a+bi.}$

For to komplekse tall er konjugering fordelende over addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon:

Et komplekst tall er lik dets komplekse konjugat hvis den imaginære delen er null, eller tilsvarende, hvis tallet er reelt. Med andre ord er reelle tall de eneste faste konjugasjonspunktene.

Bøyning endrer ikke modulen til et komplekst tall: ${\ displaystyle \ left | {\ overline {z}} \ right | = | z |.}$

Konjugasjon er en involusjon , det vil si at konjugatet til konjugatet av et komplekst tall er I symboler,${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z.}$${\ displaystyle {\ overline {\ overline {z}}} = z.}$

Produktet av et komplekst tall med dets konjugat er lik kvadratet til tallets modul. Dette tillater enkel beregning av multiplikativ invers av et komplekst tall gitt i rektangulære koordinater.

Konjugering er kommutativ under sammensetning med eksponentiering til heltallsmakter, med eksponensiell funksjon og med den naturlige logaritmen for argumenter uten null:

${\ displaystyle {\ overline {z^{n}}} = \ left ({\ overline {z}} \ right)^{n}, \ quad {\ text {for all}} n \ in \ mathbb {Z }}$

${\ displaystyle \ exp \ left ({\ overline {z}} \ right) = {\ overline {\ exp (z)}}}}$

${\ displaystyle \ ln \ left ({\ overline {z}} \ right) = {\ overline {\ ln (z)}} {\ text {if}} z {\ text {er ikke-null}}}$

If er et polynom med reelle koeffisienter og så også. Dermed forekommer ikke-virkelige røtter av ekte polynomer i komplekse konjugerte par ( se Kompleks konjugatrotteorem ). ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p (z) = 0,}$${\ displaystyle p \ left ({\ overline {z}} \ right) = 0}$

Generelt, hvis er en holomorf funksjon hvis begrensning til de reelle tallene er reelle verdier, og og er definert, da ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi (z)}$${\ displaystyle \ varphi ({\ overline {z}})}$

Kartet fra til er en homomorfisme (der topologien på er standard topologi) og antilinjær , hvis man ser på det som et komplekst vektorrom over seg selv. Selv om det ser ut til å være en veloppdragen funksjon, er det ikke holomorft ; det reverserer orientering mens holomorfe funksjoner lokalt bevarer orientering. Det er bijective og kompatibel med de regneoperasjonene, og dermed er en felt automorphism . Ettersom den holder de reelle tallene faste, er den et element i Galois -gruppen i feltutvidelsen. Denne Galois -gruppen har bare to elementer: og identiteten på Dermed er de eneste to feltautomorfismene som lar de reelle tallene faste er identitetskartet og kompleks bøyning. ${\ displaystyle \ sigma (z) = {\ overline {z}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} /\ mathbb {R}.}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Bruk som variabel

Når et komplekst tall eller er gitt, er dets konjugat tilstrekkelig til å gjengi de delene av -variable: ${\ displaystyle z = x+yi}$${\ displaystyle z = re^{i \ theta}}$${\ displaystyle z}$

• Virkelig del: ${\ displaystyle x = \ operatorname {Re} (z) = {\ dfrac {z+{\ overline {z}}} {2}}}$
• Imaginær del: ${\ displaystyle y = \ operatorname {Im} (z) = {\ dfrac {z-{\ overline {z}}} {2i}}}$
• Modul (eller absolutt verdi) :${\ displaystyle r = \ left | z \ right | = {\ sqrt {z {\ overline {z}}}}}$
• Argument : så${\ displaystyle e^{i \ theta} = e^{i \ arg z} = {\ sqrt {\ dfrac {z} {\ overline {z}}}},}$${\ displaystyle \ theta = \ arg z = {\ dfrac {1} {i}} \ ln {\ sqrt {\ frac {z} {\ overline {z}}}} = {\ dfrac {\ ln z- \ ln {\ overline {z}}} {2i}}}$

Videre kan den brukes til å spesifisere linjer i planet: settet ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$

er en linje gjennom opprinnelsen og vinkelrett på siden den virkelige delen av er null bare når cosinus for vinkelen mellom og er null. Tilsvarende for en fast kompleks enhet ligningen ${\ displaystyle {r},}$${\ displaystyle z \ cdot {\ overline {r}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {r}}$${\ displaystyle u = e^{ib},}$ bestemmer linjen parallelt med linjen gjennom 0 og${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle u.}$

Disse bruksområdene av konjugatet som en variabel er illustrert i Frank Morleys bok Inversive Geometry (1933), skrevet med sønnen Frank Vigor Morley. ${\ displaystyle z}$

Generaliseringer

De andre plane reelle algebraene, doble tall og delt-komplekse tall blir også analysert ved hjelp av kompleks konjugasjon.

For matriser med komplekse tall, hvor representerer element-for-element-konjugering av Kontrast dette til egenskapen der representerer konjugerte transponering av${\ textstyle {\ overline {\ mathbf {AB}}} = \ left ({\ overline {\ mathbf {A}}} \ right) \ left ({\ overline {\ mathbf {B}}} \ right), }$${\ textstyle {\ overline {\ mathbf {A}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}.}$${\ textstyle \ left (\ mathbf {AB} \ right) ^{*} = \ mathbf {B} ^{*} \ mathbf {A} ^{*},}$${\ textstyle \ mathbf {A} ^{*}}$${\ textstyle \ mathbf {A}.}$

Ved å ta konjugatet (eller adjoint) av komplekse matriser generaliseres kompleks konjugasjon. Enda mer generelt er begrepet adjoint operator for operatører på (muligens uendelig dimensjonale) komplekse Hilbert-rom . Alt dette er underlagt *-operasjonene til C *-algebraer .

Man kan også definere en konjugering for quaternions og split-quaternions : konjugatet av er${\ textstyle a+bi+cj+dk}$${\ textstyle a-bi-cj-dk.}$

Alle disse generaliseringene er bare multiplikative hvis faktorene er reversert:

Siden multiplikasjonen av plane virkelige algebraer er kommutativ , er ikke denne reverseringen nødvendig der.

Det er også en abstrakt forestilling om konjugering for vektorrom over de komplekse tallene . I denne sammenhengen alle antilinære kart som tilfredsstiller ${\ textstyle V}$ ${\ textstyle \ varphi: V \ til V}$

1. ${\ displaystyle \ varphi ^{2} = \ operatorname {id} _ {V} \ ,,}$hvor og er identitetskartet på${\ displaystyle \ varphi ^{2} = \ varphi \ circ \ varphi}$${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {V}}$${\ displaystyle V,}$
2. ${\ displaystyle \ varphi (zv) = {\ overline {z}} \ varphi (v)}$for alle og${\ displaystyle v \ in V, z \ in \ mathbb {C},}$
3. ${\ displaystyle \ varphi \ left (v_ {1}+v_ {2} \ right) = \ varphi \ left (v_ {1} \ right)+\ varphi \ left (v_ {2} \ right) \,}$ for alle ${\ displaystyle v_ {1} v_ {2}, \ i V,}$

kalles en kompleks bøyning , eller en ekte struktur . Siden involusjonen er lineær , kan den ikke være identitetskartet på${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle V.}$

Selvfølgelig er en lineær transformasjon av hvis man merker at hvert komplekse rom har en reell form oppnådd ved å ta de samme vektorene som i det opprinnelige rommet og begrense skalarene til å være reelle. Egenskapene ovenfor definerer faktisk en reell struktur på det komplekse vektorrommet${\ textstyle \ varphi}$${\ textstyle \ mathbb {R}}$${\ textstyle V,}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V.}$

Et eksempel på denne oppfatningen er den konjugerte transponeringsoperasjonen til komplekse matriser definert ovenfor. På generiske komplekse vektorrom er det imidlertid ingen kanonisk forestilling om kompleks konjugasjon.

Se også

• Absolutt firkant
• Kompleks konjugert linje
• Kompleks konjugert representasjon
• Kompleks konjugert vektorrom
• Sammensetningsalgebra  - Type algebraer, muligens ikke assosiative
• Konjugat (kvadratrøtter)
• Hermitisk funksjon  -1 = kompleks funksjon f (x) slik at f (-x) = f*(x)
• Wirtinger -derivater

Referanser

Bibliografi

• Budinich, P. og Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-19078-3 . (lineære kart er omtalt i avsnitt 3.3).