Sammensatt interesse - Compound interest

Effektive renter
Effekten av å tjene 20% årlig rente på en første investering på $ 1000 ved forskjellige sammensetningsfrekvenser

Sammensatt rente er tillegg av renter til hovedbeløpet for et lån eller innskudd, eller med andre ord renter på renter. Det er et resultat av reinvestering av renter, i stedet for å betale den ut, slik at renter i neste periode blir opptjent av hovedstolen pluss tidligere akkumulerte renter. Sammensatt interesse er standard innen finans og økonomi .

Sammensatt rente står i motsetning til enkle renter , der tidligere akkumulerte renter ikke legges til hovedbeløpet for den nåværende perioden, så det er ingen sammensetning. Den enkle årlige renten er rentebeløpet per periode, multiplisert med antall perioder per år. Den enkle årlige renten er også kjent som den nominelle renten (ikke å forveksle med renten som ikke er justert for inflasjon , som går under samme navn).

Sammensatt frekvens

Den compounding frekvens er antall ganger per år (eller sjelden, en annen tidsenhet) akkumulerte renter er betalt ut, eller kapitalisert (kreditert kontoen), på en jevnlig basis. Frekvensen kan være årlig, halvårlig, kvartalsvis, månedlig, ukentlig, daglig eller kontinuerlig (eller ikke i det hele tatt til forfall).

For eksempel betyr månedlig kapitalisering med renter uttrykt som en årlig rente at sammensetningsfrekvensen er 12, med tidsperioder målt i måneder.

Effekten av sammensetning avhenger av:

  1. Den nominelle renten som brukes og
  2. Frekvensinteressen er sammensatt.

Årlig tilsvarende rate

Den nominelle renten kan ikke direkte sammenlignes mellom lån med forskjellige sammensatte frekvenser. Både den nominelle renten og sammensetningsfrekvensen kreves for å sammenligne rentebærende finansielle instrumenter.

For å hjelpe forbrukerne å sammenligne detaljhandelsfinansielle produkter mer rettferdig og enkelt, krever mange land at finansinstitusjoner skal opplyse om den årlige renten på innskudd eller forskudd på sammenlignbart grunnlag. Renten på årsbasis kan på forskjellige måter refereres til som effektiv årlig prosentsats (EAPR), årlig ekvivalentrente (AER), effektiv rente , effektiv årlig rente , årlig prosentavkastning og andre vilkår. Den effektive årlige renten er den samlede akkumulerte renten som skal betales fram til slutten av ett år, dividert med hovedstolen.

Det er vanligvis to aspekter ved reglene som definerer disse satsene:

  1. Renten er den årlige sammensatte renten, og
  2. Det kan være andre avgifter enn renter. Effekten av gebyrer eller avgifter som kunden belastes, og som er direkte relatert til produktet, kan være inkludert. Nøyaktig hvilke avgifter og skatter som er inkludert eller ekskludert varierer fra land til land, og kan være sammenlignbare mellom forskjellige jurisdiksjoner, fordi bruken av slike vilkår kan være inkonsekvent og kan variere i henhold til lokal praksis.

Eksempler

  • 1000 brasilianske real (BRL) settes inn på en brasiliansk sparekonto som betaler 20% årlig, årlig. På slutten av ett år krediteres 1000 × 20% = 200 BRL renter til kontoen. Kontoen tjener deretter 1200 × 20% = 240 BRL i det andre året.
  • En rente på 1% per måned tilsvarer en enkel årlig rente (nominell rente) på 12%, men med tanke på effekten av sammensetning er den årlige ekvivalente sammensatte rente 12,68% per år (1,01 12 - 1).
  • Renter på foretaksobligasjoner og statsobligasjoner betales vanligvis to ganger årlig. Mengden renter (hver sjette måned) er den oppgitte renten dividert med to og multiplisert med hovedstolen. Den årlige sammensatte renten er høyere enn den oppgitte prisen.
  • Kanadiske boliglån er vanligvis sammensatt halvårlig med månedlige (eller hyppigere) betalinger.
  • Amerikanske boliglån bruker et amortiserende lån , ikke sammensatte renter. Med disse lånene brukes en amortiseringsplan for å bestemme hvordan betalinger skal brukes mot hovedstol og renter. Renter generert på disse lånene blir ikke lagt til hovedstolen, men betales heller ned månedlig etter hvert som betalingene blir brukt.
  • Det er noen ganger matematisk enklere, for eksempel i verdsettelsen av derivater , å bruke kontinuerlig sammensetning , som er grensen når blandingsperioden nærmer seg null. Kontinuerlig sammensetning i prising av disse instrumentene er en naturlig konsekvens av Itō -beregning , der finansielle derivater verdsettes med stadig økende frekvens, inntil grensen nærmer seg og derivatet verdsettes i kontinuerlig tid.

Rabattinstrumenter

  • Amerikanske og kanadiske T-Bills (kortsiktig statsgjeld) har en annen konvensjon. Renten deres beregnes på rabattbasis som (100 - P )/ Pbnm , hvor P er prisen som er betalt. I stedet for å normalisere den til et år, blir renter proportionert med antall dager t : (365/ t ) × 100. (Se dagtellingskonvensjon ).

Beregning

Periodisk sammensetning

Den totale akkumulerte verdien, inkludert hovedstolen pluss sammensatt rente , er gitt av formelen:

hvor:

  • P er den opprinnelige hovedsummen
  • P ' er den nye hovedsummen
  • r er den nominelle årlige renten
  • n er sammensetningsfrekvensen
  • t er den totale tiden hvor interessen brukes (uttrykt ved bruk av de samme tidsenhetene som r , vanligvis år).

Den samlede genererte renten er sluttverdien minus den opprinnelige hovedstolen:

Eksempel 1

Anta at et hovedbeløp på $ 1500 er satt inn i en bank som betaler en årlig rente på 4,3%, sammensatt kvartalsvis.
Så blir balansen etter 6 år funnet ved å bruke formelen ovenfor, med P = 1500, r = 0,043 (4,3%), n = 4 og t = 6:

Så den nye rektoren etter 6 år er omtrent 1 938,84 dollar.

Ved å trekke den opprinnelige hovedstolen fra dette beløpet gir du mottatt rente:

Eksempel 2

Anta at det samme beløpet på $ 1500 blir toårig (hvert annet år). (Dette er veldig uvanlig i praksis.) Deretter blir saldoen etter 6 år funnet ved å bruke formelen ovenfor, med P = 1500, r = 0,043 (4,3%), n = 1/2 (renten er sammensatt hvert annet år) og t = 6:

Så balansen etter 6 år er omtrent 1 921,24 dollar.

Mengden av mottatt rente kan beregnes ved å trekke hovedstolen fra dette beløpet.

Interessen er mindre sammenlignet med den forrige saken, som et resultat av den lavere blandingsfrekvensen.

Akkumuleringsfunksjon

Siden prinsippet P ganske enkelt er en koeffisient, blir det ofte droppet for enkelhets skyld, og den resulterende akkumuleringsfunksjonen brukes i stedet. Akkumuleringsfunksjonen viser hva $ 1 vokser til etter lengre tid.

Akkumuleringsfunksjoner for enkle og sammensatte renter er

Hvis , så er disse to funksjonene de samme.

Kontinuerlig sammensetning

Ettersom n , antallet sammensetningsperioder per år øker uten grenser, er saken kjent som kontinuerlig sammensetning, i hvilket tilfelle den effektive årlige hastigheten nærmer seg en øvre grense på e r - 1 , hvor e er en matematisk konstant som er basen av den naturlige logaritmen .

Kontinuerlig sammensetning kan tenkes som å gjøre blandingsperioden uendelig liten, oppnådd ved å ta grensen når n går til uendelig . Se definisjoner av den eksponentielle funksjonen for det matematiske beviset på denne grensen. Mengden etter t perioder med kontinuerlig compounding kan uttrykkes i form av den opprinnelige mengde P 0

Interessekraft

Etter hvert som antallet blandingsperioder når uendelig i kontinuerlig sammensetning, blir den kontinuerlige sammensatte renten referert til som rentekraften .

I matematikk uttrykkes akkumuleringsfunksjonene ofte i form av e , grunnlaget for den naturlige logaritmen . Dette letter bruken av beregning for å manipulere renteformler.

For enhver kontinuerlig differensierbar akkumuleringsfunksjon a ( t ), er interessekraften eller mer generelt den logaritmiske eller kontinuerlig sammensatte avkastningen en funksjon av tiden definert som følger:

Dette er det logaritmiske derivatet av akkumuleringsfunksjonen.

Motsatt:

(siden ; dette kan sees på som et bestemt tilfelle av en produktintegral .)

Når formelen ovenfor er skrevet i differensialligningsformat, er interessekraften ganske enkelt koeffisienten for endring:

For sammensatt rente med en konstant årlig rente r , er rentekraften en konstant, og akkumuleringsfunksjonen til rentesammensetning når det gjelder rente er en enkel effekt av e :

eller

Rentekraften er mindre enn den årlige effektive renten, men mer enn den årlige effektive diskonteringsrenten . Det er det gjensidige av e -foldingstiden . Se også notasjon av renter .

En måte å modellere inflasjonskraften på er med Stoodleys formel:  der

p , r og s er estimert.

Sammensatt grunnlag

For å konvertere en rente fra en blandingsbasis til en annen sammensetningsbasis, bruk

hvor r 1 er renten med blandingsfrekvens n 1 , og r 2 er renten med blandingsfrekvens n 2 .

Når renter kontinuerlig økes , bruk

hvor er renten kontinuerlig sammensatt, og

r er den oppgitte renten med en blandingsfrekvens n .

Månedlig amortisert lån eller boliglån

Renter på lån og boliglån som amortiseres - det vil si at de har en jevn månedlig betaling til lånet er betalt - blir ofte sammensatt månedlig. Formelen for betalinger er funnet fra følgende argument.

Nøyaktig formel for månedlig betaling

En eksakt formel for den månedlige betalingen ( ) er

eller tilsvarende

hvor:

  • = månedlig betaling
  • = rektor
  • = månedlig rente
  • = antall betalingsperioder

Dette kan utledes ved å vurdere hvor mye som gjenstår å betale tilbake etter hver måned.
Rektor gjenstår etter den første måneden

det vil si det opprinnelige beløpet pluss renter minus betalingen.
Hvis hele lånet blir nedbetalt etter en måned

Etter at den andre måneden er igjen, så

Hvis hele lånet ble nedbetalt etter to måneder,

Denne ligningen generaliserer for en periode på n måneder . Dette er en

geometrisk serie som har summen
som kan omorganiseres for å gi
Regnearkformel

I regneark brukes funksjonen PMT () . Syntaksen er:

PMT( interest_rate, number_payments, present_value, future_value, [Type] )

Se Excel , Mac Numbers , LibreOffice , Open Office , Google Sheets for mer informasjon.

For eksempel gir en rente på 6% (0,06/12), 25 år * 12 pa, PV på $ 150 000, FV på 0, type 0:

= PMT(0.06/12, 25 * 12, -150000, 0, 0)
= $966.45

Omtrentlig formel for månedlig betaling

En formel som er nøyaktig til noen få prosent kan bli funnet ved å merke seg at for typiske amerikanske notatrater ( og vilkår = 10–30 år), er den månedlige notatsatsen liten sammenlignet med 1: slik at den gir en forenkling slik at

noe som foreslår å definere tilleggsvariabler

Her er den månedlige betalingen som kreves for et lån med nullrente som betales ned i avdrag. Når det gjelder disse variablene, kan tilnærmingen skrives

Funksjonen er til og med:

noe som betyr at den kan utvides med jevne krefter .

Det følger umiddelbart som kan utvides med jevne potensialer pluss det ene uttrykket:

Det vil vise seg praktisk da å definere

så det

som kan utvides:

der ellipsene indikerer termer som er høyere orden i jevne krefter . Utvidelsen

gyldig til bedre enn 1% gitt .

Eksempel på boliglån

For et boliglån på 10 000 dollar med en løpetid på 30 år og en rentesats på 4,5%, som betales årlig, finner vi:

som gir

så det

Det nøyaktige betalingsbeløpet er så tilnærmingen er en overvurdering på omtrent en sjettedel av en prosent.

Investering: månedlige innskudd

Gitt et hovedinnskudd (innledende) innskudd og et tilbakevendende innskudd, kan den totale avkastningen til en investering beregnes via sammensatt rente per tidsenhet. Om nødvendig kan renter på ytterligere engangs- og tilbakevendende innskudd også defineres innenfor samme formel (se nedenfor).

  • = Hovedinnskudd
  • = Avkastning (månedlig)
  • = Månedlig innskudd, og
  • = Tid, i måneder

Sammensatt rente for hvert innskudd er:

og legge til alle tilbakevendende innskudd over den totale perioden t (jeg stjerner på 0 hvis innskudd begynner med investering av hovedstol; i stjerner på 1 hvis innskudd begynner neste måned):
gjenkjenne den geometriske serien : og bruke
formelen med lukket form (fellesforhold:) får vi:

Hvis det oppstår to eller flere typer innskudd (enten tilbakevendende eller ikke-tilbakevendende), kan den oppnådde sammensatte verdien representeres som

hvor C er hver engangsbeløp og k er henholdsvis ikke-månedlige tilbakevendende innskudd, og x og y er forskjellene i tid mellom et nytt innskudd og den totale perioden t er modellering.


Et praktisk estimat for omvendt beregning av avkastningen når den eksakte datoen og beløpet for hvert tilbakevendende innskudd ikke er kjent, en formel som forutsetter et ensartet gjentagende månedlig innskudd over perioden, er:

eller

Historie

Sammensatt rente når de ble belastet av långivere ble en gang sett på som den verste typen åger og ble sterkt fordømt av romersk lov og mange andre landes lover .

Den florentinske kjøpmann Francesco Balducci Pegolotti ga en tabell med rentesats i boken Pratica della mercatura fra ca 1340. Den gir renter på 100 lire, for priser fra 1% til 8%, i opptil 20 år. Den Summa de Arithmetica av Luca Pacioli (1494) gir regel 72 , som sier at for å finne antall år for en investering på rentes rente til å doble, bør man dele renten til 72.

Richard Witts bok Arithmeticall Questions , utgitt i 1613, var et landemerke i historien om sammensatt interesse. Det var helt viet til emnet (tidligere kalt anatosisme ), mens tidligere forfattere vanligvis hadde behandlet sammensatt interesse kort i bare ett kapittel i en matematisk lærebok. Witts bok ga tabeller basert på 10% (den gang høyeste tillatte renten på lån) og på andre renter for forskjellige formål, for eksempel verdsettelse av eiendomsleiekontrakter. Witt var en matematisk utøver i London, og boken hans er kjent for uttrykkets klarhet, dybde i innsikt og nøyaktighet i beregningen, med 124 utarbeidede eksempler.

Jacob Bernoulli oppdaget konstanten i 1683 ved å studere et spørsmål om sammensatt rente.

På 1800 -tallet, og muligens tidligere, brukte persiske kjøpmenn en litt modifisert lineær Taylor -tilnærming til den månedlige betalingsformelen som enkelt kunne beregnes i hodet.

Se også

Referanser