Koordinatsystem - Coordinate system

Det sfæriske koordinatsystemet brukes ofte i fysikk . Den tildeler tre tall (kjent som koordinater) til hvert punkt i det euklidiske rommet: radial avstand r , polar vinkel θ ( theta ) og azimutal vinkel φ ( phi ). Symbolet ρ ( rho ) brukes ofte i stedet for r .

I geometri er et koordinatsystem et system som bruker ett eller flere tall , eller koordinater , for å unikt bestemme posisjonen til punktene eller andre geometriske elementer på en mangfold slik som det euklidiske rommet . Koordinatenes rekkefølge er betydelig, og de blir noen ganger identifisert av deres posisjon i en ordnet tupel og noen ganger med en bokstav, som i " x -koordinaten". Koordinatene antas å være reelle tall i elementær matematikk , men kan være komplekse tall eller elementer i et mer abstrakt system, for eksempel en kommutativ ring . Bruken av et koordinatsystem gjør at problemer i geometri kan oversettes til problemer om tall og omvendt ; dette er grunnlaget for analytisk geometri .

Felles koordinatsystemer

Nummer linje

Det enkleste eksemplet på et koordinatsystem er identifisering av punkter på en linje med reelle tall ved hjelp av tallinjen . I dette systemet velges et vilkårlig punkt O ( opprinnelsen ) på en gitt linje. Koordinaten til et punkt P er definert som den signerte avstanden fra O til P , hvor den signerte avstanden er avstanden som er tatt som positiv eller negativ avhengig av hvilken side av linjen P ligger. Hvert punkt får en unik koordinat og hvert reelt tall er koordinaten til et unikt punkt.

Tallinjen

Kartesisk koordinatsystem

Det prototypiske eksemplet på et koordinatsystem er det kartesiske koordinatsystemet . I flyet velges to vinkelrette linjer og koordinatene til et punkt er de signerte avstandene til linjene.

Rektangulære koordinater.svg

I tre dimensjoner velges tre gjensidig ortogonale plan og de tre koordinatene til et punkt er de signerte avstandene til hvert av flyene. Dette kan generaliseres for å lage n koordinater for ethvert punkt i n -dimensjonalt euklidisk rom.

Avhengig av koordinataksenes retning og rekkefølge, kan det tredimensjonale systemet være et høyrehendt eller et venstrehendt system. Dette er et av mange koordinatsystemer.

Polar koordinatsystem

Et annet vanlig koordinatsystem for flyet er det polare koordinatsystemet . Et punkt er valgt som polen og en stråle fra dette punktet er tatt som polaraksen . For en gitt vinkel θ er det en enkelt linje gjennom polen hvis vinkel med polaraksen er θ (målt mot klokken fra aksen til linjen). Så er det et unikt punkt på denne linjen hvis signerte avstand fra opprinnelsen er r for gitt tall r . For et gitt par koordinater ( r , θ) er det et enkelt punkt, men et hvilket som helst punkt representeres av mange koordinatpar. For eksempel er ( r , θ), ( r , θ+2π) og ( - r , θ+π) alle polare koordinater for det samme punktet. Stangen er representert med (0, θ) for en hvilken som helst verdi på θ.

Sylindriske og sfæriske koordinatsystemer

Sylindrisk koordinatsystem

Det er to vanlige metoder for å utvide det polære koordinatsystemet til tre dimensjoner. I det sylindriske koordinatsystemet legges et z -koordinat med samme betydning som i kartesiske koordinater til r- og θ polare koordinater som gir en trippel ( rθz ). Sfæriske koordinater tar dette et skritt videre ved å konvertere paret sylindriske koordinater ( rz ) til polare koordinater ( ρφ ) som gir en trippel ( ρθφ ).

Homogent koordinatsystem

Et punkt i planet kan representeres i homogene koordinater med en trippel ( xyz ) der x / z og y / z er de kartesiske koordinatene til punktet. Dette introduserer en "ekstra" koordinat siden det bare trengs to for å spesifisere et punkt på planet, men dette systemet er nyttig ved at det representerer et hvilket som helst punkt på det projektive planet uten bruk av uendelig . Generelt er et homogent koordinatsystem et der bare forholdene mellom koordinatene er signifikante og ikke de faktiske verdiene.

Andre ofte brukte systemer

Noen andre vanlige koordinatsystemer er følgende:

Det er måter å beskrive kurver uten koordinater ved å bruke innebygde ligninger som bruker uforanderlige størrelser som krumning og buelengde . Disse inkluderer:

Koordinater for geometriske objekter

Koordinatsystemer brukes ofte til å spesifisere posisjonen til et punkt, men de kan også brukes til å spesifisere posisjonen til mer komplekse figurer som linjer, fly, sirkler eller sfærer . For eksempel brukes Plücker -koordinater for å bestemme posisjonen til en linje i rommet. Når det er behov, brukes typen figur som beskrives for å skille typen koordinatsystem, for eksempel brukes begrepet linjekoordinater for ethvert koordinatsystem som angir posisjonen til en linje.

Det kan forekomme at koordinatsystemer for to forskjellige sett med geometriske figurer er likeverdige når det gjelder analysen. Et eksempel på dette er systemene med homogene koordinater for punkter og linjer i det projektive planet. De to systemene i en sak som denne sies å være dualistiske . Dualistiske systemer har den egenskapen at resultatene fra det ene systemet kan overføres til det andre siden disse resultatene bare er forskjellige tolkninger av det samme analytiske resultatet; dette er kjent som den prinsipp for tosidigheten .

Transformasjoner

Fordi det ofte er mange forskjellige mulige koordinatsystemer for å beskrive geometriske figurer, er det viktig å forstå hvordan de er relatert. Slike relasjoner beskrives ved koordinattransformasjoner som gir formler for koordinatene i ett system når det gjelder koordinatene i et annet system. For eksempel i planet, hvis kartesiske koordinater ( xy ) og polare koordinater ( rθ ) har samme opprinnelse, og polaraksen er den positive x -aksen, blir koordinatomdannelsen fra polare til kartesiske koordinater gitt av x  =  r  cos θ og y  =  r  sin θ .

Med hver sammenføyning fra rommet til seg selv kan to koordinattransformasjoner være assosiert:

  • slik at de nye koordinatene til bildet til hvert punkt er de samme som de gamle koordinatene til det opprinnelige punktet (formlene for kartleggingen er de inverse av de for koordinattransformasjonen)
  • slik at de gamle koordinatene til bildet til hvert punkt er de samme som de nye koordinatene til det opprinnelige punktet (formlene for kartleggingen er de samme som for koordinattransformasjonen)

For eksempel, i 1D , hvis kartleggingen er en oversettelse av 3 til høyre, flytter den første opprinnelsen fra 0 til 3, slik at koordinaten til hvert punkt blir 3 mindre, mens den andre flytter opprinnelsen fra 0 til −3 , slik at koordinaten til hvert punkt blir 3 mer.

Koordinere linjer/kurver og fly/overflater

I to dimensjoner, hvis en av koordinatene i et punktkoordinatsystem holdes konstant og den andre koordinaten får variere, kalles den resulterende kurven en koordinatkurve . I det kartesiske koordinatsystemet er koordinatkurvene faktisk rette linjer , og dermed koordinatlinjer . Spesielt er de linjene parallelle med en av koordinataksene. For andre koordinatsystemer kan koordinatkurvene være generelle kurver. For eksempel er koordinatkurvene i polære koordinater oppnådd ved å holde r konstant sirklene med sentrum ved opprinnelsen. Et koordinatsystem som noen koordinatkurver ikke er linjer for, kalles et krumlinjet koordinatsystem . Denne prosedyren gir ikke alltid mening, for eksempel er det ingen koordinatkurver i et homogent koordinatsystem .

Koordinere overflater av de tredimensjonale paraboloidale koordinatene.

I et tredimensjonalt rom, hvis en koordinat holdes konstant og de to andre får variere, kalles den resulterende overflaten en koordinatoverflate . For eksempel er koordinatflatene oppnådd ved å holde ρ konstant i det sfæriske koordinatsystemet sfærene med sentrum ved opprinnelsen. I det tredimensjonale rommet er skjæringspunktet mellom to koordinatflater en koordinatkurve. I det kartesiske koordinatsystemet kan vi snakke om koordinatplan .

Tilsvarende koordinere hypersurfaces er de ( n - 1) -dimensjonale rom som følge av å feste en enkelt koordinat av et n -dimensjonale koordinatsystem.

Koordinere kart

Konseptet med et koordinatkart , eller koordinatdiagram, er sentralt i teorien om mangfold. Et koordinatkart er i hovedsak et koordinatsystem for et delsett av et gitt rom med egenskapen at hvert punkt har nøyaktig ett sett med koordinater. Mer presist er et koordinatkart en homeomorfisme fra et åpent delsett av et mellomrom X til et åpent delsett av R n . Det er ofte ikke mulig å tilby ett konsistent koordinatsystem for et helt rom. I dette tilfellet blir en samling koordinatkart satt sammen for å danne et atlas som dekker rommet. Et rom utstyrt med et slikt atlas kalles en manifold og tilleggsstruktur kan defineres på en manifold hvis strukturen er konsistent der koordinatkartene overlapper hverandre. For eksempel er en differensierbar manifold en manifold der endringen av koordinater fra ett koordinatkart til et annet alltid er en differensierbar funksjon.

Orienteringsbaserte koordinater

I geometri og kinematikk brukes koordinatsystemer for å beskrive punktets (lineære) posisjon og vinkelposisjonen til akser, fly og stive legemer . I sistnevnte tilfelle er orienteringen til et andre (vanligvis referert til som "lokalt") koordinatsystem, festet til noden, definert basert på det første (vanligvis referert til som "globalt" eller "verdens" koordinatsystem). For eksempel, kan orienteringen av et stivt legeme være representert ved en orientering matrise , som omfatter, i sine tre kolonner, de kartesiske koordinater i tre punkter. Disse punktene brukes til å definere orienteringen til aksene til det lokale systemet; de er spissene til tre enhetsvektorer på linje med disse aksene.

Se også

Relativistiske koordinatsystemer

Referanser

Sitater

Kilder

Eksterne linker