Cutoff frekvens - Cutoff frequency

Størrelsesoverføringsfunksjon for et båndpassfilter med lavere 3 dB cutoff -frekvens f ₁ og øvre 3 dB cutoff -frekvens f ₂

En Bode plott av Butterworth filter 's frekvensrespons , med hjørnefrekvens merket. (Hellingen −20 dB per tiår er også lik −6 dB per oktav .)

I fysikk og elektroteknikk er en grensefrekvens , hjørnefrekvens eller bruddfrekvens en grense i et systems frekvensrespons der energi som strømmer gjennom systemet begynner å bli redusert ( dempet eller reflektert) i stedet for å passere gjennom.

Vanligvis i elektroniske systemer som filtre og kommunikasjonskanaler gjelder grensefrekvensen for en kant i en lavpass , høypass , båndpass eller båndstoppkarakteristikk- en frekvens som kjennetegner en grense mellom et passbånd og et stoppbånd . Det blir noen ganger antatt å være punktet i filterresponsen hvor et overgangsbånd og passbånd møtes, for eksempel definert av et halveffektpunkt (en frekvens som utgangen til kretsen er -3 dB av den nominelle passbåndsverdien ). Alternativt kan en stoppbåndshjørnefrekvens spesifiseres som et punkt der et overgangsbånd og et stoppbånd møtes: en frekvens som dempningen er større enn den nødvendige stoppbåndsdempningen, som for eksempel kan være 30 dB eller 100 dB.

Når det gjelder en bølgeleder eller en antenne , tilsvarer cutoff -frekvensene de nedre og øvre cutoff -bølgelengdene .

Elektronikk

I elektronikk er avbruddsfrekvens eller hjørnefrekvens frekvensen enten over eller under som effekt fra en krets , for eksempel en linje , forsterker eller elektronisk filter, har falt til en gitt andel av effekten i passbåndet . Oftest er denne andelen halvparten av passbåndseffekten, også referert til som 3 dB -punktet siden et fall på 3 dB tilsvarer omtrent halv kraft. Som et spenningsforhold er dette et fall til passbåndsspenningen. Andre forhold utover 3 dB -punktet kan også være relevante, for eksempel se Chebyshev -filtre nedenfor. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {1/2}} \ \ approx \ 0.707}$

Enkeltpolet overføringsfunksjon eksempel

The transfer function for the simplest low-pass filter,

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {1+ \ alpha s}},}

har en enkelt pol ved $s = -1/α$ . Størrelsen på denne funksjonen i $j ω$ -planet er

{\ displaystyle \ left | H (j \ omega) \ right | = \ left | {\ frac {1} {1+ \ alpha j \ omega}} \ right | = {\ sqrt {\ frac {1} {1 +\ alpha ^{2} \ omega ^{2}}}}.}

Ved cutoff

{\ displaystyle \ left | H (j \ omega _ {\ mathrm {c}}) \ right | = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = {\ sqrt {\ frac {1} {1 +\ alpha ^{2} \ omega _ {\ mathrm {c}} ^{2}}}}.}

Derfor er cutoff -frekvensen gitt av

{\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {\ alpha}}.}

Hvor $s$ er den s-planet variable, $ω$ er vinkelfrekvens , og $j$ er den imaginære enhet .

Chebyshev filtre

Noen ganger er andre forhold mer praktiske enn 3 dB -punktet. For eksempel, i tilfelle av Chebyshev -filteret , er det vanlig å definere cutoff -frekvensen som punktet etter den siste toppen i frekvensresponsen der nivået har falt til designverdien til passbåndsrippel. Mengden krusninger i denne filterklassen kan settes av designeren til en hvilken som helst ønsket verdi, og derfor kan forholdet som brukes være hvilken som helst verdi.

Radiokommunikasjon

I radiokommunikasjon er skywave -kommunikasjon en teknikk der radiobølger overføres i en vinkel inn i himmelen og reflekteres tilbake til jorden av lag med ladede partikler i ionosfæren . I denne sammenhengen refererer begrepet cutoff -frekvens til den maksimale brukbare frekvensen betyr frekvensen over hvilken en radiobølge ikke klarer å reflektere utenfor ionosfæren ved forekomstvinkelen som kreves for overføring mellom to spesifiserte punkter ved refleksjon fra laget.

Bølgeledere

Avbruddsfrekvensen til en elektromagnetisk bølgeleder er den laveste frekvensen som en modus vil spre seg i den. I fiberoptikk er det mer vanlig å vurdere cutoff -bølgelengden , den maksimale bølgelengden som vil forplante seg i en optisk fiber eller bølgeleder . Avbruddsfrekvensen er funnet med den karakteristiske ligningen for Helmholtz -ligningen for elektromagnetiske bølger, som er avledet fra den elektromagnetiske bølgelikningen ved å sette det langsgående bølgetallet lik null og løse for frekvensen. Dermed vil enhver spennende frekvens som er lavere enn grensefrekvensen dempe, i stedet for å forplante seg. Følgende avledning antar tapsfrie vegger. Verdien av c, lysets hastighet , skal betraktes som lysets hastighet i det materialet som fyller bølgelederen.

For en rektangulær bølgeleder er cutoff -frekvensen

{\ displaystyle \ omega _ {c} = c {\ sqrt {\ left ({\ frac {n \ pi} {a}} \ right)^{2}+\ left ({\ frac {m \ pi} { b}} \ høyre)^{2}}},}

hvor er modustallene for rektanglets sider av henholdsvis lengde og lengde . For TE -moduser, (men er ikke tillatt), mens for TM -moduser . ${\ displaystyle m, n \ geq 0}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle m, n \ geq 0}$ ${\ displaystyle m = n = 0}$ ${\ displaystyle m, n \ geq 1}$

Cutoff-frekvensen for TM _01- modusen (neste høyere fra dominant-modus TE ₁₁ ) i en bølgeleder med sirkulært tverrsnitt (den tverrmagnetiske modusen uten vinkelavhengighet og laveste radial avhengighet) er gitt av

{\ displaystyle \ omega _ {c} = c {\ frac {\ chi _ {01}} {r}} = c {\ frac {2.4048} {r}},}

hvor er bølgelederens radius, og er den første roten til , Bessel -funksjonen til den første typen orden 1. ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle \ chi _ {01}}$ ${\ displaystyle J_ {0} (r)}$

Den dominerende modus TE ₁₁ cutoff frekvens er gitt av

{\ displaystyle \ omega _ {c} = c {\ frac {\ chi _ {11}} {r}} = c {\ frac {1.8412} {r}}}

Imidlertid kan den dominerende modus cutoff-frekvensen reduseres ved innføring av ledeplate inne i den sirkulære tverrsnittsbølgelederen. For en enkeltmodus optisk fiber er cutoff-bølgelengden bølgelengden der den normaliserte frekvensen er omtrent lik 2.405.

Matematisk analyse

Utgangspunktet er bølgeligningen (som er avledet fra Maxwell -ligningene ),

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^{2}-{\ frac {1} {c ^{2}}} {\ frac {\ partiell ^{2}} {\ delvis {t} ^{2}}} \ høyre) \ psi (\ mathbf {r}, t) = 0,}

som blir en Helmholtz -ligning ved å bare vurdere formens funksjoner

{\ displaystyle \ psi (x, y, z, t) = \ psi (x, y, z) e^{i \ omega t}.}

Det å bytte ut og evaluere tidsderivatet gir

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^{2}+{\ frac {\ omega ^{2}} {c ^{2}}} \ right) \ psi (x, y, z) = 0.}

Funksjonen her refererer til hvilket felt som helst (det elektriske feltet eller magnetfeltet) som ikke har noen vektorkomponent i lengderetningen - det "tverrgående" feltet. Det er en egenskap for alle egenmodene til den elektromagnetiske bølgelederen at minst ett av de to feltene er tverrgående. Den z- aksen defineres til å være langs aksen til bølgelederen. ${\ displaystyle \ psi}$

Det "langsgående" derivatet i Laplacian kan ytterligere reduseres ved å bare vurdere formens funksjoner

{\ displaystyle \ psi (x, y, z, t) = \ psi (x, y) e^{i \ left (\ omega t-k_ {z} z \ right)},}

hvor er det langsgående bølgetall , noe som resulterer i ${\ displaystyle k_ {z}}$

{\ displaystyle (\ nabla _ {T}^{2} -k_ {z}^{2}+{\ frac {\ omega^{2}} {c^{2}}}) \ psi (x, y , z) = 0,}

hvor abonnement T indikerer en 2-dimensjonal tverrgående Laplacian. Det siste trinnet avhenger av bølgelederens geometri. Den enkleste geometrien å løse er den rektangulære bølgelederen. I så fall kan resten av Laplacian evalueres til sin karakteristiske ligning ved å vurdere løsninger av formen

{\ displaystyle \ psi (x, y, z, t) = \ psi _ {0} e^{i \ left (\ omega t-k_ {z} z-k_ {x} x-k_ {y} y \ Ikke sant)}.}

For den rektangulære guiden blir Laplacian således evaluert, og vi kommer frem til

{\ displaystyle {\ frac {\ omega^{2}} {c^{2}}} = k_ {x}^{2}+k_ {y}^{2}+k_ {z}^{2}}

Tverrbølgenumrene kan spesifiseres fra de stående bølgegrenseforholdene for et rektangulært geometri -tverrsnitt med dimensjonene a og b :

{\ displaystyle k_ {x} = {\ frac {n \ pi} {a}},}

{\ displaystyle k_ {y} = {\ frac {m \ pi} {b}},}

hvor n og m er de to heltallene som representerer en bestemt egenmodus. Når vi utfører den siste erstatningen, får vi

{\ displaystyle {\ frac {\ omega^{2}} {c^{2}}} = \ venstre ({\ frac {n \ pi} {a}} \ høyre)^{2}+\ venstre ({ \ frac {m \ pi} {b}} \ høyre)^{2}+k_ {z}^{2},}

som er spredningsforholdet i den rektangulære bølgelederen. Avskjæringsfrekvensen er den kritiske frekvensen mellom forplantning og demping, som tilsvarer frekvensen som det langsgående bølgetall er null. Det er gitt av ${\ displaystyle \ omega _ {c}}$ ${\ displaystyle k_ {z}}$

{\ displaystyle \ omega _ {c} = c {\ sqrt {\ left ({\ frac {n \ pi} {a}} \ right)^{2}+\ left ({\ frac {m \ pi} { b}} \ høyre)^{2}}}}

Bølgelikningene er også gyldige under grensefrekvensen, der det langsgående bølgetallet er imaginært. I dette tilfellet forfaller feltet eksponensielt langs bølgelederaksen, og bølgen er dermed flyktig .

Se også

Full bredde på halv maks
Høypassfilter
Miller -effekt
Romlig avskjæringsfrekvens (i optiske systemer)
Tidskonstant

Referanser

Denne artikkelen inneholder materiale fra offentlig eiendom fra General Services Administration -dokumentet: "Federal Standard 1037C" .(til støtte for MIL-STD-188 )

Languages

In other projects