Coulomb kollisjon - Coulomb collision

En Coulomb-kollisjon er en binær elastisk kollisjon mellom to ladede partikler som samhandler gjennom sitt eget elektriske felt . Som med enhver omvendt kvadratisk lov , er de resulterende banene til de kolliderende partiklene en hyperbolsk keplerisk bane . Denne typen kollisjon er vanlig i plasmaer der den typiske kinetiske energien til partiklene er for stor til å produsere et betydelig avvik fra de opprinnelige banene til kolliderende partikler, og den kumulative effekten av mange kollisjoner vurderes i stedet.

Matematisk behandling for plasmaer

I et plasma resulterer en Coulomb-kollisjon sjelden i en stor avbøyning. Den kumulative effekten av de mange små vinkelkollisjonene er imidlertid ofte større enn effekten av de få store vinkelkollisjonene som oppstår, så det er lærerikt å vurdere kollisjonsdynamikken i grensen for små nedbøyninger.

Vi kan vurdere et elektron av ladning og masse som passerer et stasjonært ladningsion og mye større masse på en avstand med en hastighet . Den vinkelrette kraften er nærmest og varigheten av møtet er omtrent . Produktet av disse uttrykkene delt på massen er endringen i vinkelrett hastighet: ${\ displaystyle -e}$ ${\ displaystyle m_ {e}}$ ${\ displaystyle + Ze}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle Ze ^ {2} / 4 \ pi \ epsilon _ {0} b ^ {2}}$ ${\ displaystyle b / v}$

{\ displaystyle \ Delta m_ {e} v _ {\ perp} \ approx {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \, {\ frac {1} {vb}} }

Merk at avbøyningsvinkelen er proporsjonal med . Raske partikler er "glatte" og dominerer dermed mange transportprosesser. Effektiviteten til hastighetsmatchede interaksjoner er også grunnen til at fusjonsprodukter har en tendens til å varme opp elektronene i stedet for (som det er ønskelig) ionene. Hvis et elektrisk felt er tilstede, føler de raskere elektronene mindre drag og blir enda raskere i en "run-away" prosess. ${\ displaystyle 1 / v ^ {2}}$

Ved å passere gjennom et felt av ioner med tetthet , vil et elektron ha mange slike møter samtidig, med forskjellige støtparametere (avstand til ionet) og retninger. Den kumulative effekten kan beskrives som en diffusjon av vinkelrett momentum. Den tilsvarende diffusjonskonstanten blir funnet ved å integrere kvadratene til de enkelte endringene i momentum. Frekvensen av kollisjoner med slagparameter mellom og er , så diffusjonskonstanten er gitt av ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle (b + \ mathrm {d} b)}$ ${\ displaystyle nv (2 \ pi b \ mathrm {d} b)}$

{\ displaystyle D_ {v \ perp} = \ int \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right) ^ {2} \, {\ frac { 1} {v ^ {2} b ^ {2}}} \, nv (2 \ pi b \, {\ mathrm {d}} b) = \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right) ^ {2} \, {\ frac {2 \ pi n} {v}} \, \ int {\ frac {{\ mathrm {d}} b} { b}}}

Åpenbart avviker integralet mot både små og store slagparametere. Divergensen ved små innvirkningsparametere er helt klart ufysisk, siden under forutsetningene som brukes her, kan den endelige vinkelrette momentum ikke ta en verdi høyere enn den opprinnelige momentum. Ved å sette ovennevnte estimat til lik , finner vi den nedre avskjæringen til påvirkningsparameteren å være omtrent ${\ displaystyle \ Delta m_ {e} v _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle mv}$

{\ displaystyle b_ {0} = {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \, {\ frac {1} {m_ {e} v ^ {2}}} }

Vi kan også bruke som et estimat på tverrsnittet for store vinkelkollisjoner. Under noen forhold er det en strengere nedre grense på grunn av kvantemekanikk, nemlig de Broglie-bølgelengden til elektronet, hvor er Plancks konstant . ${\ displaystyle \ pi b_ {0} ^ {2}}$ ${\ displaystyle h / m_ {e} v}$ ${\ displaystyle h}$

Ved store støtparametere er ladningen til ionet skjermet av elektronens tendens til å klynges i nærheten av ionet og andre ioner for å unngå det. Den øvre avskjæringen til innvirkningsparameteren skal således være omtrent lik Debye-lengden :

{\ displaystyle \ lambda _ {D} = {\ sqrt {\ frac {\ epsilon _ {0} kT_ {e}} {n_ {e} e ^ {2}}}}}

Coulomb logaritme

Integralet av gir dermed logaritmen til forholdet mellom øvre og nedre avskjæring. Dette tallet er kjent som Coulomb-logaritmen og betegnes av enten eller . Det er faktoren som små vinkelkollisjoner er mer effektive enn storvinkelskollisjoner. For mange plasmas av interesse tar det på seg verdier mellom og . (For praktiske formler, se side 34 og 35 i NRL Plasma-formelen .) Grensene for innvirkningsparameterintegralet er ikke skarpe, men er usikre av faktorer i rekkefølgen av enhet, noe som fører til teoretiske usikkerheter i størrelsesorden . Av denne grunn er det ofte berettiget å bare ta det praktiske valget . Analysen her gir skalering og størrelsesorden. ${\ displaystyle 1 / b}$ ${\ displaystyle \ ln \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle 5}$ ${\ displaystyle 15}$ ${\ displaystyle 1 / \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda = 10}$