Sylinder - Cylinder

Eksempel: En blikkboks har en sylindrisk form.

En sylinder (fra gresk : κύλινδρος , romanisertkulindros , lit. 'roller', 'tumbler') har tradisjonelt vært et tredimensjonalt fast stoff , en av de mest grunnleggende av krøllete geometriske former. Det er den idealiserte versjonen av en solid fysisk tinnboks med lokk på topp og bunn. Geometrisk kan det betraktes som et prisme med en sirkel som base.

Dette tradisjonelle synet brukes fortsatt i elementære behandlinger av geometri, men det avanserte matematiske synspunktet har flyttet seg til den uendelige krøllete overflaten, og slik er en sylinder nå definert i forskjellige moderne grener av geometri og topologi .

Skiftet i den grunnleggende betydningen (solid versus overflate) har skapt en vis uklarhet med terminologi. Det er generelt håp om at kontekst gjør meningen tydelig. Begge synspunkter blir typisk presentert og utpreget ved å referere til solide sylindere og sylindriske overflater , men i litteraturen kan det ikke -utsmykkede uttrykket sylinder referere til en av disse eller til et enda mer spesialisert objekt, den høyre sirkulære sylinderen .

Typer

Definisjonene og resultatene i denne delen er hentet fra teksten Plane and Solid Geometry fra 1913 av George Wentworth og David Eugene Smith ( Wentworth & Smith 1913 ).

En sylindrisk overflate er en overflate som består av alle punktene på alle linjene som er parallelle med en gitt linje og som passerer gjennom en fast plan kurve i et plan som ikke er parallelt med den gitte linjen. Enhver linje i denne familien av parallelle linjer kalles et element i den sylindriske overflaten. Fra et kinematisk synspunkt, gitt en plan kurve, kalt directrix , er en sylindrisk overflate overflaten sporet ut av en linje, kalt generatrix , ikke i planet til directrix, beveger seg parallelt med seg selv og passerer alltid gjennom directrix . Enhver spesiell posisjon av generatrisen er et element på den sylindriske overflaten.

En høyre og en skrå sirkulær sylinder

Et fast stoff avgrenset av en sylindrisk overflate og to parallelle plan kalles en (solid) sylinder . Linjesegmentene bestemt av et element på den sylindriske overflaten mellom de to parallelle planene kalles et element i sylinderen . Alle elementene i en sylinder har like lengder. Området som avgrenses av den sylindriske flate på hver av de parallelle plan er kalt en basis av sylinderen. De to basene i en sylinder er kongruente figurer. Hvis sylinderens elementer er vinkelrett på planetene som inneholder basene, er sylinderen en høyre sylinder , ellers kalles den en skrå sylinder . Hvis basene er disker (områder hvis grense er en sirkel ) kalles sylinderen en sirkulær sylinder . I noen elementære behandlinger betyr en sylinder alltid en sirkulær sylinder.

Den høyde (eller høyde) av en sylinder er den vinkelrette avstand mellom sine baser.

Sylinderen oppnådd ved å rotere et linjesegment rundt en fast linje som den er parallell med, er en sylinder med omdreining . En revolusjonssylinder er en høyre sirkulær sylinder. Høyden på en omdrejningssylinder er lengden på generasjonslinjesegmentet. Linjen at segmentet blir dreiet om kalles aksen av sylinderen og den passerer gjennom sentrene til de to baser.

En høyre sirkulær sylinder med radius r og høyde h

Høyre sirkulære sylindere

Bare begrepet sylinder refererer ofte til en solid sylinder med sirkulære ender vinkelrett på aksen, det vil si en høyre sirkulær sylinder, som vist på figuren. Den sylindriske overflaten uten endene kalles en åpen sylinder . Formlene for overflatearealet og volumet til en høyre sirkulær sylinder har vært kjent fra tidlig antikk.

En høyre sirkulær sylinder kan også betraktes som revolusjonsfaststoffet som genereres ved å rotere et rektangel rundt en av sidene. Disse sylindrene brukes i en integrasjonsteknikk ("diskmetoden") for å oppnå volum av revolusjonsstoffer.

Eiendommer

Sylindriske seksjoner

Sylindrisk seksjon

En sylindrisk seksjon er skjæringspunktet mellom en sylinderoverflate og et plan . De er generelt kurver og er spesielle typer planseksjoner . Den sylindriske delen av et plan som inneholder to elementer i en sylinder er et parallellogram . En slik sylindrisk seksjon av en høyre sylinder er et rektangel .

En sylindrisk seksjon der kryssingsplanet krysser og er vinkelrett på alle elementene i sylinderen kalles en høyre seksjon . Hvis en høyre del av en sylinder er en sirkel, er sylinderen en sirkulær sylinder. Mer generelt, hvis en høyre del av en sylinder er en kjeglesnitt (parabel, ellipse, hyperbola), sies den faste sylinderen å være henholdsvis parabolsk, elliptisk og hyperbolsk.

Sylindriske seksjoner av en høyre sirkulær sylinder

For en høyre sirkulær sylinder er det flere måter som fly kan møte en sylinder på. Først fly som krysser en base på høyst ett punkt. Et plan tangerer sylinderen hvis det møter sylinderen i et enkelt element. De høyre seksjonene er sirkler og alle andre plan skjærer den sylindriske overflaten i en ellipse . Hvis et fly skjærer en base av sylinderen i nøyaktig to punkter, er linjesegmentet som forbinder disse punktene en del av den sylindriske delen. Hvis et slikt plan inneholder to elementer, har det et rektangel som en sylindrisk seksjon, ellers er sidene av den sylindriske delen deler av en ellipse. Til slutt, hvis et plan inneholder mer enn to punkter på en base, inneholder det hele basen og den sylindriske delen er en sirkel.

Når det gjelder en høyre sirkulær sylinder med en sylindrisk seksjon som er en ellipse, avhenger eksentrisiteten e av den sylindriske seksjonen og den halvstore aksen a i den sylindriske seksjonen av radiusen til sylinderen r og vinkelen α mellom det sekante planet og sylinderaksen, på følgende måte:

Volum

Hvis bunnen av en sirkulær sylinder har en radius r og sylinderen har høyde h , er volumet gitt av

V = π r 2 t .

Denne formelen holder om sylinderen er en høyre sylinder eller ikke.

Denne formelen kan etableres ved å bruke Cavalieris prinsipp .

En solid elliptisk sylinder med halvaksene a og b for basiselipse og høyde h

Mer generelt, etter samme prinsipp, er volumet til en hvilken som helst sylinder produktet av området til en base og høyden. For eksempel har en elliptisk sylinder med en base som har halv-hovedakse a , halv-mindre akse b og høyde h et volum V = Ah , hvor A er arealet til basis-ellipsen (= π ab ). Dette resultatet for høyre elliptiske sylindere kan også oppnås ved integrering, der sylinderaksen tas som den positive x -aksen og A ( x ) = A arealet til hvert elliptisk tverrsnitt, altså:

Ved hjelp av sylindriske koordinater kan volumet til en høyre sirkulær sylinder beregnes ved integrering over

Flateareal

Som har radius r og høyde (høyde) h , det overflateareal av en rett sirkulær sylinder, orientert slik at dens akse er vertikal, består av tre deler:

  • området på den øverste basen: π r 2
  • området til bunnbasen: π r 2
  • området på siden: rh

Arealet av den øvre og nedre baser er den samme, og kalles baseområdet , B . Arealet av den side som er kjent som den laterale sone , L .

En åpen sylinder inneholder hverken topp- eller bunnelementer, og har derfor overflateareal (sideareal)

L = 2π rh .

Overflaten til den solide høyre sirkulære sylinderen består av summen av alle tre komponentene: topp, bunn og side. Overflaten er derfor

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r 2 = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,

hvor d = 2 r er diameteren på den sirkulære toppen eller bunnen.

For et gitt volum har den høyre sirkulære sylinderen med det minste overflatearealet h = 2 r . Tilsvarende, for et gitt overflateareal, har den høyre sirkulære sylinderen med det største volumet h = 2 r , det vil si at sylinderen sitter godt i en terning med sidelengde = høyde (= diameter på grunncirkel).

Sidearealet, L , av en sirkulær sylinder, som ikke trenger å være en høyre sylinder, er mer generelt gitt av:

L = e × p ,

hvor e er lengden på et element og p er omkretsen til en høyre del av sylinderen. Dette gir den forrige formelen for sideareal når sylinderen er en høyre sirkulær sylinder.

Hul sylinder

Høyre sirkulær hul sylinder (sylindrisk skall)

En høyre sirkulær hul sylinder (eller sylindrisk skall ) er et tredimensjonalt område avgrenset av to høyre sirkulære sylindere med samme akse og to parallelle ringformede baser vinkelrett på sylinderenes fellesakse, som i diagrammet.

La høyden være h , indre radius r og ytre radius R . Volumet er gitt av

.

Dermed er volumet til et sylindrisk skall lik 2 π (gjennomsnittlig radius) (høyde) (tykkelse).

Overflaten, inkludert topp og bunn, er gitt av

.

Sylindriske skall brukes i en vanlig integrasjonsteknikk for å finne volumer av faste revolusjonsstoffer.

På kulen og sylinderen

En kule har 2/3 av volumet og overflatearealet til den omsluttende sylinderen inkludert dens baser

I avhandlingen med dette navnet, skrevet ca. 225 f.Kr. oppnådde Archimedes det resultatet som han var mest stolt av, nemlig å skaffe formlene for volum og overflateareal for en kule ved å utnytte forholdet mellom en kule og dens avgrensede høyre sirkulære sylinder med samme høyde og diameter . Sfæren har et volum på to tredjedeler av sylinderen og en overflate på to tredjedeler av sylinderen (inkludert basene). Siden verdiene for sylinderen allerede var kjent, oppnådde han for første gang de tilsvarende verdiene for sfæren. Volumet til en sfære med radius r er 4/3π r 3 =2/3(2 π r 3 ) . Overflaten til denne sfæren er 4 π r 2 =2/3(6 π r 2 ) . En skulpturell kule og sylinder ble plassert på graven til Archimedes på hans forespørsel.

Sylindriske overflater

I noen områder av geometri og topologi refererer begrepet sylinder til det som har blitt kalt en sylindrisk overflate . En sylinder er definert som en overflate som består av alle punktene på alle linjene som er parallelle med en gitt linje og som passerer gjennom en fast plan kurve i et plan som ikke er parallelt med den gitte linjen. Slike sylindere har til tider blitt referert til som generaliserte sylindere . Gjennom hvert punkt på en generalisert sylinder passerer det en unik linje som er inneholdt i sylinderen. Dermed kan denne definisjonen omformuleres til å si at en sylinder er en hvilken som helst styrt overflate som strekker seg over en enparameterfamilie med parallelle linjer.

En sylinder som har en høyre seksjon som er en ellipse , parabel eller hyperbola , kalles henholdsvis en elliptisk sylinder , parabolisk sylinder og hyperbolisk sylinder . Dette er degenererte kvadriske overflater .

Parabolisk sylinder

Når hovedaksene til en kvadrik er på linje med referanserammen (alltid mulig for en quadric), gis en generell ligning av kvadricen i tre dimensjoner av

med koeffisientene som er reelle tall og ikke alle av A , B og C er 0. Hvis minst en variabel ikke vises i ligningen, så er kvadriken degenerert. Hvis en variabel mangler, kan vi anta ved passende rotasjon av akser at variabelen z ikke vises, og den generelle ligningen for denne typen degenererte kvadrater kan skrives som

hvor

Elliptisk sylinder

Hvis AB > 0 er dette ligningen for en elliptisk sylinder . Ytterligere forenkling kan oppnås ved translasjon av akser og skalarmultiplikasjon. Hvis har samme tegn som koeffisientene A og B , kan ligningen til en elliptisk sylinder omskrives i kartesiske koordinater som:

Denne ligningen for en elliptisk sylinder er en generalisering av ligningen til den vanlige, sirkulære sylinderen ( a = b ). Elliptiske sylindere er også kjent som sylindroider , men det navnet er tvetydig, ettersom det også kan referere til Plücker conoid .

Hvis har et annet tegn enn koeffisientene, får vi de imaginære elliptiske sylindrene :

som ikke har noen virkelige poeng på seg. ( gir et eneste reelt poeng.)

Hyperbolisk sylinder

Hvis A og B har forskjellige tegn og , får vi de hyperboliske sylindrene , hvis ligninger kan skrives om til:

Parabolisk sylinder

Til slutt, hvis AB = 0 antar, uten tap av generalitet , at B = 0 og A = 1 for å få de parabolske sylindrene med ligninger som kan skrives som:

I projektiv geometri er en sylinder ganske enkelt en kjegle hvis toppunkt er i det uendelige, noe som visuelt tilsvarer en sylinder i perspektiv som ser ut til å være en kjegle mot himmelen.

Projektiv geometri

I projektiv geometri er en sylinder ganske enkelt en kjegle hvis spiss (toppunkt) ligger på planet i det uendelige . Hvis kjeglen er en kvadratisk kjegle, kan planet ved uendelig (som passerer gjennom toppunktet) krysse kjeglen ved to virkelige linjer, en enkelt ekte linje (faktisk et sammenfallende par linjer), eller bare ved toppunktet. Disse tilfellene gir opphav til henholdsvis hyperboliske, parabolske eller elliptiske sylindere.

Dette konseptet er nyttig når man vurderer degenererte kjegler , som kan inkludere de sylindriske kjeglene.

Prismer

Tycho Brahe Planetarium -bygningen, København, er et eksempel på en avkortet sylinder

En solid sirkulær sylinder kan sees på som det begrensende tilfellet for et n -gonal prisme der n nærmer seg uendelig . Tilkoblingen er veldig sterk og mange eldre tekster behandler prismer og sylindere samtidig. Formler for overflateareal og volum er avledet fra de tilsvarende formlene for prismer ved å bruke innskrevne og avgrensede prismer og deretter la antallet sider av prismen øke uten binding. En grunn til tidlig vektlegging (og noen ganger eksklusiv behandling) på sirkulære sylindere er at en sirkulær base er den eneste typen geometrisk figur som denne teknikken fungerer for ved bruk av bare elementære hensyn (ingen appell til beregning eller mer avansert matematikk). Terminologi om prismer og sylindere er identisk. For eksempel, et forkortet prisme er for eksempel et prisme hvis baser ikke ligger i parallelle plan, vil en solid sylinder hvis baser ikke ligger i parallelle plan bli kalt en avkortet sylinder .

Fra et polyhedralt synspunkt kan en sylinder også sees på som en dobbel av en bikone som en uendelig bipyramid .

Familie av ensartede n -gonale prismer
Prisme navn Digonal prisme (Trigonal)
Trekantprisme
(Tetragonal)
Firkantet prisme
Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Åttekantet prisme Enneagonal prisme Dekagonalt prisme Hendekagonal prisme Dodekagonal prisme ... Apeirogonal prisme
Polyhedron -bilde Gul firkant. Gif Trekantet prisme.png Tetragonal prism.png Femkantet prisme.png Sekskantet prisme.png Prisme 7.png Åttekantet prisme.png Prisme 9.png Dekagonalt prisme.png Hendekagonal prisme.png Dodekagonal prisme.png ...
Sfærisk flisebilde Tetragonal dihedron.png Sfærisk trekantet prisme.png Sfærisk firkantet prisme.png Sfærisk femkantet prisme.png Sfærisk sekskantet prisme.png Sfærisk heptagonal prisme.png Sfærisk åttekantet prisme.png Sfærisk dekagonalt prisme.png Bilde av fliser Uendelig prisme.svg
Vertex -konfigurasjon. 2.4.4 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 ... ∞.4.4
Coxeter diagram CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png ... CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png

Se også

Merknader

Referanser

Eksterne linker