David Hilbert - David Hilbert

"Hilbert" omdirigerer her. For annen bruk, se Hilbert (disambiguation) .

David Hilbert
Hilbert.jpg
Hilbert i 1912
Født ( 1862-01-23 )23. januar 1862
Königsberg eller Wehlau , Preussen
Døde 14. februar 1943 (1943-02-14)(81 år gammel)
Göttingen , Nazi -Tyskland
Nasjonalitet tysk
utdanning University of Königsberg ( PhD )
Kjent for Hilberts
grunnsetning
Hilberts aksiomer Hilberts problemer
Hilberts program
Einstein - Hilbert handling
Hilbert space
Epsilon calculus
Ektefelle (r) Käthe Jerosch
Barn Franz (f. 1893)
Utmerkelser Lobachevsky -prisen (1903)
Bolyai -prisen (1910)
ForMemRS
Vitenskapelig karriere
Enger Matematikk , fysikk og filosofi
Institusjoner University of Königsberg
Göttingen University
Avhandling Om varierende egenskaper for spesielle binære former, spesielt for sfæriske funksjoner  (1885)
Doktorgradsrådgiver Ferdinand von Lindemann
Doktorgradsstudenter
Liste
Andre bemerkelsesverdige studenter Edward Kasner
John von Neumann
påvirkninger Immanuel Kant

David Hilbert ( / h ɪ l b ər t / ; tysk: [daːvɪt hɪlbɐt] , 23 januar 1862 - 14 februar 1943) var en tysk matematiker og en av de mest innflytelsesrike matematikere i det 19. og tidlig 20. århundre. Hilbert oppdaget og utviklet et bredt spekter av grunnleggende ideer på mange områder, inkludert invariant teori , variasjonens beregning , kommutativ algebra , algebraisk tallteori , grunnlaget for geometri , spektralteori om operatører og dens anvendelse på integrale ligninger , matematisk fysikk og de grunnlaget for matematikk (særlig bevis teori ).

Hilbert adopterte og forsvarte Georg Cantors settteori og transfinite tall . I 1900 presenterte han en samling problemer som satte kursen for mye av den matematiske forskningen på 1900 -tallet.

Hilbert og hans studenter bidro betydelig til å etablere strenghet og utviklet viktige verktøy som ble brukt i moderne matematisk fysikk. Hilbert er kjent som en av grunnleggerne av bevissteori og matematisk logikk .

Liv

tidlig liv og utdanning

Hilbert, det første av to barn og eneste sønn av Otto og Maria Therese (Erdtmann) Hilbert, ble født i provinsen Preussen , kongeriket Preussen , enten i Königsberg (ifølge Hilberts eget utsagn) eller i Wehlau (kjent siden 1946 som Znamensk ) nær Königsberg hvor faren jobbet på tidspunktet for hans fødsel.

På slutten av 1872 kom Hilbert inn på Friedrichskolleg Gymnasium ( Collegium fridericianum , den samme skolen som Immanuel Kant hadde gått på 140 år før); men etter en ulykkelig periode overførte han til (slutten av 1879) og tok eksamen (tidlig i 1880) på det mer vitenskapsorienterte Wilhelm Gymnasium. Etter eksamen, høsten 1880, meldte Hilbert seg inn ved University of Königsberg , "Albertina". I begynnelsen av 1882 kom Hermann Minkowski (to år yngre enn Hilbert og også innfødt fra Königsberg, men hadde dratt til Berlin i tre semestre), tilbake til Königsberg og gikk inn på universitetet. Hilbert utviklet et livslangt vennskap med den sjenerte, begavede Minkowski.

Karriere

I 1884 ankom Adolf Hurwitz fra Göttingen som en ekstraordinær (dvs. lektor). En intens og fruktbar vitenskapelig utveksling mellom de tre begynte, og spesielt Minkowski og Hilbert ville utøve gjensidig innflytelse over hverandre på forskjellige tidspunkter i deres vitenskapelige karriere. Hilbert tok sin doktorgrad i 1885, med en avhandling, skrevet under Ferdinand von Lindemann , med tittelen Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Om de invariante egenskapene til spesielle binære former , spesielt de sfæriske harmoniske funksjonene" ).

Hilbert ble ved University of Königsberg som Privatdozent ( universitetslektor ) fra 1886 til 1895. I 1895, som et resultat av intervensjon på hans vegne av Felix Klein , oppnådde han stillingen som professor i matematikk ved University of Göttingen . I løpet av Klein- og Hilbert -årene ble Göttingen den fremste institusjonen i den matematiske verden. Han ble der resten av livet.

The Mathematical Institute i Göttingen. Den nye bygningen, bygget med midler fra Rockefeller Foundation , ble åpnet av Hilbert og Courant i 1930.

Göttingen skole

Blant Hilbert studenter var Hermann Weyl , sjakkmesteren Emanuel Lasker , Ernst Zermelo , og Carl Gustav Hempel . John von Neumann var hans assistent. Ved universitetet i Göttingen var Hilbert omgitt av en sosial krets av noen av de viktigste matematikerne på 1900 -tallet, for eksempel Emmy Noether og Alonzo Church .

Blant hans 69 doktorgrader. studenter i Göttingen var mange som senere ble berømte matematikere, inkludert (med avhandlingsdato): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) og Wilhelm Ackermann (1925). Mellom 1902 og 1939 var Hilbert redaktør for Mathematische Annalen , datidens ledende matematiske tidsskrift.

Bra, han hadde ikke nok fantasi til å bli matematiker.

-  Hilberts svar da han hørte at en av studentene hans hadde droppet å studere poesi.

Personlige liv

Käthe Hilbert med Constantin Carathéodory , før 1932

I 1892 giftet Hilbert seg med Käthe Jerosch (1864–1945), som var datter av en kjøpmann fra Königsberg, en frittalende ung dame med en uavhengighet i sinnet som matchet [Hilberts]. "Mens de var på Königsberg fikk de sitt ene barn, Franz Hilbert ( 1893–1969). Franz led hele livet av en udiagnostisert psykisk lidelse. Hans dårligere intellekt var en fryktelig skuffelse for faren, og denne ulykken var et problem for matematikerne og studentene i Göttingen.

Hilbert anså matematikeren Hermann Minkowski for å være hans "beste og sanneste venn".

Hilbert ble døpt og oppvokst som en kalvinist i den prøyssiske evangeliske kirke . Senere forlot han kirken og ble agnostiker . Han argumenterte også for at matematisk sannhet var uavhengig av Guds eksistens eller andre a priori forutsetninger. Da Galileo Galilei ble kritisert for ikke å stå opp for sin overbevisning om den heliosentriske teorien , protesterte Hilbert: "Men [Galileo] var ikke en idiot. Bare en idiot kunne tro at vitenskapelig sannhet trenger martyrium; det kan være nødvendig i religion, men vitenskapelige resultater beviser seg selv i tide. "

Senere år

I likhet med Albert Einstein hadde Hilbert de nærmeste kontaktene med Berlin -gruppen hvis ledende grunnleggere hadde studert under Hilbert i Göttingen ( Kurt Grelling , Hans Reichenbach og Walter Dubislav ).

Rundt 1925 utviklet Hilbert skadelig anemi , en da ubehandlet vitaminmangel hvis primære symptom er utmattelse; hans assistent Eugene Wigner beskrev ham som utsatt for "enorm tretthet" og hvordan han "virket ganske gammel", og at selv etter at han til slutt ble diagnostisert og behandlet, var han "neppe en forsker etter 1925, og absolutt ikke en Hilbert."

Hilbert levde for å se nazistene rense mange av de fremtredende fakultetsmedlemmene ved University of Göttingen i 1933. De som ble tvunget ut inkluderer Hermann Weyl (som hadde tatt stolen til Hilbert da han trakk seg i 1930), Emmy Noether og Edmund Landau . En som måtte forlate Tyskland, Paul Bernays , hadde samarbeidet med Hilbert i matematisk logikk, og var medforfatter av den viktige boken Grundlagen der Mathematik (som til slutt dukket opp i to bind, i 1934 og 1939). Dette var en oppfølger til Hilbert- Ackermann bok Principles of Mathematical Logic fra 1928. Hermann Weyl etterfølger var Helmut Hasse .

Omtrent et år senere deltok Hilbert på en bankett og satt ved siden av den nye utdanningsministeren, Bernhard Rust . Rust spurte om "det matematiske instituttet virkelig led så mye på grunn av jødenes avgang". Hilbert svarte: "Lider du? Det eksisterer ikke lenger, gjør det!"

Død

Hilberts grav:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

Da Hilbert døde i 1943, hadde nazistene nesten fullstendig ombygd universitetet, ettersom mange av det tidligere fakultetet enten hadde vært jødiske eller gift med jøder. I Hilberts begravelse deltok færre enn et dusin mennesker, bare to av dem var andre akademikere, blant dem Arnold Sommerfeld , en teoretisk fysiker og også innfødt i Königsberg. Nyheten om hans død ble først kjent for den store verden seks måneder etter at han døde.

Epitafiet på hans gravstein i Göttingen består av de berømte linjene han talte ved avslutningen av sin pensjonisttale til Society of German Scientists and Physicians 8. september 1930. Ordene ble gitt som svar på det latinske maximet : " Ignoramus et ignorabimus " eller "Vi vet ikke, vi skal ikke vite":

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

Vi må vite.
Vi får vite.

Dagen før Hilbert uttalte disse setningene på årsmøtet i 1930 i Society of German Scientists and Physicians, kunngjorde Kurt Gödel - i en rundebordssamtale under konferansen om epistemologi som ble holdt sammen med Society -møtene - foreløpig det første uttrykket for hans ufullstendighetsteorem . Gödels ufullstendighetsteoremer viser at selv elementære aksiomatiske systemer som Peano-aritmetikk enten er selvmotsigende eller inneholder logiske proposisjoner som er umulige å bevise eller motbevise.

Bidrag til matematikk og fysikk

Hilbert løser Jordans problem

Hilberts første arbeid med uforanderlige funksjoner førte ham til demonstrasjonen i 1888 av hans berømte endethet -setning . Tjue år tidligere hadde Paul Gordan demonstrert teoremet om endeligheten til generatorer for binære former ved å bruke en kompleks beregningsmetode. Forsøk på å generalisere metoden hans til funksjoner med mer enn to variabler mislyktes på grunn av den enorme vanskeligheten med de involverte beregningene. For å løse det som hadde blitt kjent i noen kretser som Jordans problem , innså Hilbert at det var nødvendig å gå en helt annen vei. Som et resultat demonstrerte han Hilberts grunnsetning , som viste eksistensen av et begrenset sett med generatorer, for invariantene av kvantikk i et hvilket som helst antall variabler, men i en abstrakt form. Det vil si at mens det demonstrerte eksistensen av et slikt sett, var det ikke et konstruktivt bevis - det viste ikke "et objekt" - men det var snarere et eksistensbevis og stolte på bruk av loven om ekskludert midt i en uendelig forlengelse .

Hilbert sendte resultatene sine til Mathematische Annalen . Gordan, huseksperten om teorien om invarianter for Mathematische Annalen , kunne ikke sette pris på den revolusjonære karakteren av Hilberts teorem og avviste artikkelen og kritiserte utstillingen fordi den var utilstrekkelig omfattende. Hans kommentar var:

Das ist nicht Mathematik. Det er teologi.

Dette er ikke matematikk. Dette er teologi.

Klein , derimot, anerkjente viktigheten av verket, og garanterte at det ville bli utgitt uten noen endringer. Hilbert ble oppmuntret av Klein og utvidet metoden sin i en andre artikkel, og ga estimater om maksimalgraden til det minste settet med generatorer, og han sendte den nok en gang til Annalen . Etter å ha lest manuskriptet, skrev Klein til ham og sa:

Uten tvil er dette det viktigste verket om generell algebra som Annalen noensinne har publisert.

Senere, etter at nytten av Hilberts metode var universelt anerkjent, ville Gordan selv si:

Jeg har overbevist meg selv om at selv teologi har sine fordeler.

For alle hans suksesser skapte bevisets natur mer trøbbel enn Hilbert kunne ha forestilt seg. Selv om Kronecker hadde innrømmet, ville Hilbert senere svare på andres lignende kritikk om at "mange forskjellige konstruksjoner er underlagt en grunnleggende ide" - med andre ord (for å sitere Reid): "Gjennom et bevis på eksistens hadde Hilbert vært i stand til å oppnå en konstruksjon"; "beviset" (dvs. symbolene på siden) var "objektet". Ikke alle var overbevist. Mens Kronecker skulle dø like etterpå, ville hans konstruktivistiske filosofi fortsette med den unge Brouwer og hans utviklende intuisjonistiske "skole", mye til Hilberts plager i de senere årene. Faktisk ville Hilbert miste sin "begavede elev" Weyl til intuisjonisme - "Hilbert ble forstyrret av sin tidligere students fascinasjon for ideene til Brouwer, som vekket i Hilbert minnet om Kronecker". Spesielt intuisjonisten Brouwer motsatte seg bruken av loven om ekskludert middel over uendelige sett (slik Hilbert hadde brukt den). Hilbert svarte:

Å ta Princip of the Excluded Middle fra matematikeren ... er det samme som ... å forby bokseren å bruke knyttnevene.

Aksiomatisering av geometri

Hovedartikkel: Hilberts aksiomer

Teksten Grundlagen der Geometrie (tr .: Foundations of Geometry ) utgitt av Hilbert i 1899 foreslår et formelt sett, kalt Hilberts aksiomer, som erstatter de tradisjonelle aksiomene til Euclid . De unngår svakheter identifisert hos Euklides , hvis arbeider den gangen fremdeles ble brukt lærebokmote. Det er vanskelig å spesifisere aksiomene som Hilbert brukte uten å referere til publikasjonshistorikken til Grundlagen siden Hilbert endret og modifiserte dem flere ganger. Den originale monografien ble raskt fulgt av en fransk oversettelse, der Hilbert la til V.2, Fullstendighetsaksiomet. En engelsk oversettelse, godkjent av Hilbert, ble laget av EJ Townsend og opphavsrettsbeskyttet i 1902. Denne oversettelsen inkorporerte endringene som ble gjort i den franske oversettelsen, og anses derfor å være en oversettelse av den andre utgaven. Hilbert fortsatte å gjøre endringer i teksten, og flere utgaver dukket opp på tysk. Den 7. utgaven var den siste som dukket opp i Hilberts levetid. Nye utgaver fulgte den 7., men hovedteksten ble i hovedsak ikke revidert.

Hilberts tilnærming signaliserte skiftet til den moderne aksiomatiske metoden . I dette ble Hilbert antatt av Moritz Paschs arbeid fra 1882. Aksiomer blir ikke tatt som selvfølgelige sannheter. Geometri kan behandle ting som vi har kraftige intuisjoner om, men det er ikke nødvendig å tildele noen udefinerte begreper noen eksplisitt mening. Elementene, som punkt , linje , fly og andre, kan byttes ut, slik Hilbert skal ha sagt til Schoenflies og Kötter , ved bord, stoler, glass øl og andre slike gjenstander. Det er deres definerte relasjoner som diskuteres.

Hilbert teller først de udefinerte begrepene: punkt, linje, plan, liggende på (et forhold mellom punkter og linjer, punkter og fly, og linjer og fly), mellom hverandre, kongruens av par av punkter ( linjesegmenter ) og kongruens av vinkler . Aksiomene forener både plangeometrien og solid geometri til Euklid i et enkelt system.

De 23 problemene

Hovedartikkel: Hilberts problemer

Hilbert la frem en mest innflytelsesrik liste over 23 uløste problemer på den internasjonale kongressen for matematikere i Paris i 1900. Dette regnes generelt som den mest vellykkede og dypt vurderte samlingen av åpne problemer som noen gang er produsert av en individuell matematiker.

Etter å ha bearbeidet grunnlaget for klassisk geometri, kunne Hilbert ha ekstrapolert til resten av matematikken. Hans tilnærming skilte seg imidlertid fra den senere 'grunnleggeren' Russell - Whitehead eller 'leksikon' Nicolas Bourbaki , og fra hans samtidige Giuseppe Peano . Det matematiske fellesskapet som helhet kunne verve seg i problemer, som han hadde identifisert som avgjørende aspekter av matematikkområdene han tok som sentrale.

Oppgavesettet ble lansert som en tale "The Problems of Mathematics" presentert i løpet av den andre internasjonale kongressen for matematikere som ble holdt i Paris. Innledningen til talen som Hilbert holdt sa:

Hvem av oss ville ikke være glad for å løfte sløret som skjuler fremtiden bak; å se på den kommende utviklingen av vår vitenskap og på hemmelighetene til dens utvikling i århundrene som kommer? Hva vil enden være mot som ånden til fremtidige generasjoner av matematikere vil ha en tendens til? Hvilke metoder, hvilke nye fakta vil det nye århundret avsløre i det store og rike feltet av matematisk tanke?

Han presenterte færre enn halvparten av problemene på kongressen, som ble publisert i kongressens handlinger. I en påfølgende publikasjon utvidet han panoramaet og kom fram til formuleringen av de nå kanoniske 23 problemene til Hilbert. Se også Hilberts tjuefjerde problem . Hele teksten er viktig, siden eksegese av spørsmålene fremdeles kan være et spørsmål om uunngåelig debatt, når det blir spurt hvor mange som er løst.

Noen av disse ble løst på kort tid. Andre har blitt diskutert gjennom det 20. århundre, med noen få nå antatt å være uegnet til å stenge. Noen fortsetter til og med i dag for å forbli en utfordring for matematikere.

Formalisme

I en beretning som hadde blitt standard ved midten av århundret, var Hilberts problemstilling også et slags manifest, som åpnet veien for utviklingen av den formalistiske skolen, en av tre store matematikkskoler på 1900-tallet. I følge formalisten er matematikk manipulasjon av symboler i henhold til avtalt formelle regler. Det er derfor en autonom tankeaktivitet. Det er imidlertid rom for å tvile på om Hilberts egne synspunkter var forenklet formalistiske i denne forstand.

Hilberts program

Hovedartikkel: Hilberts program

I 1920 foreslo Hilbert et forskningsprosjekt i metamatematikk som ble kjent som Hilberts program. Han ønsket at matematikk skulle formuleres på et solid og komplett logisk grunnlag. Han mente at dette i prinsippet kunne gjøres ved å vise at:

  1. all matematikk følger av et riktig valgt endelig system av aksiomer ; og
  2. at et slikt aksiomsystem beviselig er konsistent på noen måter, for eksempel epsilon -beregningen .

Det ser ut til at han har hatt både tekniske og filosofiske årsaker til å formulere dette forslaget. Det bekreftet at han mislikte det som hadde blitt kjent som ignorabimus , fremdeles et aktivt tema i sin tid i tysk tanke, og spores tilbake i denne formuleringen til Emil du Bois-Reymond .

Dette programmet er fortsatt gjenkjennelig i den mest populære matematikkfilosofien , hvor det vanligvis kalles formalisme . For eksempel adopterte Bourbaki-gruppen en avvannet og selektiv versjon av den som tilstrekkelig til kravene til deres tvillingprosjekter om (a) å skrive leksikonfundamentale arbeider, og (b) støtte den aksiomatiske metoden som et forskningsverktøy. Denne tilnærmingen har vært vellykket og innflytelsesrik i forhold til Hilberts arbeid med algebra og funksjonell analyse, men har ikke klart å engasjere seg på samme måte med sine interesser i fysikk og logikk.

Hilbert skrev i 1919:

Vi snakker ikke her om vilkårlighet på noen måte. Matematikk er ikke som et spill hvis oppgaver er bestemt av vilkårlig fastsatte regler. Det er snarere et konseptuelt system som besitter intern nødvendighet som bare kan være det og på ingen måte annet.

Hilbert publiserte sine synspunkter på matematikkens grunnlag i 2-binders arbeid, Grundlagen der Mathematik .

Godels arbeid

Hilbert og matematikerne som jobbet med ham i virksomheten hans var engasjerte i prosjektet. Hans forsøk på å støtte aksiomatisert matematikk med definitive prinsipper, som kan forvise teoretiske usikkerheter, endte med fiasko.

Gödel demonstrerte at ethvert ikke-motstridende formelt system, som var omfattende nok til å inkludere minst aritmetikk, ikke kan demonstrere sin fullstendighet ved hjelp av sine egne aksiomer. I 1931 viste hans ufullstendighetssetning at Hilberts store plan var umulig som sagt. Det andre punktet kan ikke på noen rimelig måte kombineres med det første punktet, så lenge aksiomsystemet er virkelig finitært .

Likevel er de påfølgende prestasjonene av bevisteori i det minste klarlagt konsistens når det gjelder teorier om sentral bekymring for matematikere. Hilberts arbeid hadde startet logikk på dette avklaringsforløpet; behovet for å forstå Gödels arbeid førte da til utviklingen av rekursjonsteori og deretter matematisk logikk som en autonom disiplin på 1930 -tallet. Grunnlaget for senere teoretisk informatikk , i arbeidet til Alonzo Church og Alan Turing , vokste også direkte ut av denne 'debatten'.

Funksjonell analyse

Rundt 1909 dedikerte Hilbert seg til studiet av differensielle og integrerte ligninger ; arbeidet hans hadde direkte konsekvenser for viktige deler av moderne funksjonell analyse. For å gjennomføre disse studiene introduserte Hilbert konseptet om et uendelig dimensjonalt euklidisk rom , senere kalt Hilbert -rom . Hans arbeid i denne delen av analysen ga grunnlaget for viktige bidrag til matematikk i fysikk i de neste to tiårene, men fra en uventet retning. Senere forsterket Stefan Banach konseptet og definerte Banach -mellomrom . Hilbert-rom er en viktig klasse av objekter innen funksjonell analyse , spesielt om spektralteorien om selvtilstøtende lineære operatører, som vokste opp rundt det i løpet av 1900-tallet.

Fysikk

Fram til 1912 var Hilbert nesten utelukkende en ren matematiker . Da han planla et besøk fra Bonn, hvor han var nedsenket i å studere fysikk, spøkte hans matematiker og venn Hermann Minkowski at han måtte tilbringe 10 dager i karantene før han kunne besøke Hilbert. Faktisk virker Minkowski ansvarlig for de fleste av Hilberts fysikkundersøkelser før 1912, inkludert deres felles seminar om emnet i 1905.

I 1912, tre år etter vennens død, vendte Hilbert fokuset mot emnet nesten utelukkende. Han arrangerte å ha en "fysikklærer" for seg selv. Han begynte å studere kinetisk gassteori og gikk videre til elementær strålingsteori og molekylær teori om materie. Selv etter at krigen startet i 1914, fortsatte han seminarer og klasser der verkene til Albert Einstein og andre ble fulgt nøye.

I 1907 hadde Einstein innrammet det grunnleggende i gravitasjonsteorien , men slet deretter i nesten 8 år med å sette teorien i sin endelige form . På forsommeren 1915 hadde Hilberts interesse for fysikk fokusert på generell relativitet , og han inviterte Einstein til Göttingen for å holde en uke med forelesninger om emnet. Einstein mottok en entusiastisk mottakelse på Göttingen. I løpet av sommeren fikk Einstein vite at Hilbert også jobbet med feltligningene og doblet sin egen innsats. I løpet av november 1915 publiserte Einstein flere artikler som kulminerte med The Field Equations of Gravitation (se Einstein feltligninger ). Nesten samtidig publiserte David Hilbert "The Foundations of Physics", en aksiomatisk avledning av feltligningene (se Einstein - Hilbert -handlingen ). Hilbert krediterte Einstein fullt ut som opphavsmannen til teorien, og det oppsto aldri noen offentlig prioritetskonflikt angående feltligningene mellom de to mennene i løpet av livet. Se mer på prioritet .

I tillegg forventet og hjalp Hilberts arbeid flere fremskritt i den matematiske formuleringen av kvantemekanikk . Hans arbeid var en sentral del av Hermann Weyl og John von Neumann 's arbeid med matematiske verdigheten av Werner Heisenberg ' s matrise mekanikk og Erwin Schrödinger 's bølgeligningen , og hans navnebror Hilbert rom spiller en viktig rolle i kvanteteorien. I 1926 viste von Neumann at hvis kvantetilstander ble forstått som vektorer i Hilbert -rom, ville de korrespondere med både Schrödingers bølgefunksjonsteori og Heisenbergs matriser.

Gjennom denne fordypningen i fysikk, jobbet Hilbert med å sette strenghet i fysikkens matematikk. Selv om de var veldig avhengige av høyere matematikk, hadde fysikere en tendens til å være "slurvete" med det. For en ren matematiker som Hilbert var dette både stygt og vanskelig å forstå. Da han begynte å forstå fysikk og hvordan fysikere brukte matematikk, utviklet han en sammenhengende matematisk teori for det han fant - viktigst innen integrerte ligninger . Da hans kollega Richard Courant skrev den nå klassiske Methoden der mathematatischen Physik ( Methods of Mathematical Physics ) inkludert noen av Hilberts ideer, la han til Hilberts navn som forfatter, selv om Hilbert ikke direkte hadde bidratt til skrivingen. Hilbert sa "Fysikk er for vanskelig for fysikere", og antydet at den nødvendige matematikken generelt var utenfor dem; Courant-Hilbert-boken gjorde det lettere for dem.

Tallteori

Hilbert forente feltet algebraisk tallteori med sin avhandling Zahlbericht fra 1897 (bokstavelig talt "rapport om tall"). Han løste også et betydelig tallteoretisk problem formulert av Waring i 1770. Som med endelighetssetningen brukte han et eksistensbevis som viser at det må finnes løsninger på problemet i stedet for å gi en mekanisme for å produsere svarene. Han hadde da lite mer å publisere om emnet; men fremveksten av modulformene Hilbert i avhandlingen til en student betyr at navnet hans er knyttet til et større område.

Han kom med en rekke formodninger om klassefeltteori . Konseptene var svært innflytelsesrike, og hans eget bidrag lever videre i navnene på Hilbert -klassefeltet og Hilbert -symbolet på lokal klassefeltteori . Resultatene ble stort sett bevist innen 1930, etter arbeid av Teiji Takagi .

Hilbert jobbet ikke i de sentrale områdene i analytisk tallteori , men navnet hans har blitt kjent for formodningene Hilbert - Pólya , av anekdotiske årsaker.

Virker

Hans samlede verk ( Gesammelte Abhandlungen ) har blitt utgitt flere ganger. De originale versjonene av papirene hans inneholdt "mange tekniske feil av varierende grad"; da samlingen først ble publisert, ble feilene korrigert, og det ble funnet at dette kunne gjøres uten store endringer i utsagnene til teorene, med ett unntak - et påstått bevis på kontinuumhypotesen . Feilene var likevel så mange og betydningsfulle at det tok Olga Taussky-Todd tre år å gjøre korreksjonene.

Se også

Begreper

Satser

Annen

Fotnoter

Sitater

Kilder

Primærlitteratur i engelsk oversettelse

  • Ewald, William B., red. (1996). Fra Kant til Hilbert: En kildebok i matematikkens grunnvoller . Oxford, Storbritannia: Oxford University Press.
    • 1918. "Aksiomatisk tanke", 1114–1115.
    • 1922. "Den nye grunnlaget for matematikk: Første rapport," 1115–1133.
    • 1923. "Matematikkens logiske grunnlag", 1134–1147.
    • 1930. "Logikk og kunnskap om naturen", 1157–1165.
    • 1931. "Grunnlaget for elementær tallteori," 1148–1156.
    • 1904. "Om grunnlaget for logikk og regning," 129–138.
    • 1925. "På det uendelige", 367–392.
    • 1927. "Grunnlaget for matematikk", med kommentar av Weyl og Appendix av Bernays , 464–489.
  • van Heijenoort, Jean (1967). Fra Frege til Gödel: En kildebok i matematisk logikk, 1879–1931 . Harvard University Press.
  • Hilbert, David (1950) [1902]. The Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie] (PDF) . Oversatt av Townsend, EJ (2. utg.). La Salle, IL: Open Court Publishing.
  • Hilbert, David (1990) [1971]. Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie] . Oversatt av Unger, Leo (2. engelsk red.). La Salle, IL: Open Court Publishing. ISBN 978-0-87548-164-7. oversatt fra 10. tyske utgave
  • Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1999). Geometri og fantasi . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1998-2. Et tilgjengelig sett med forelesninger opprinnelig for innbyggerne i Göttingen.
  • Hilbert, David (2004). Hallett, Michael; Majer, Ulrich (red.). David Hilberts forelesninger om grunnlaget for matematikk og fysikk, 1891–1933 . Berlin & Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64373-9.

Sekundær litteratur

Eksterne linker