De Rham kohomologi - De Rham cohomology

Vektorfelt som tilsvarer en differensialform på det punkterte planet som er lukket, men ikke nøyaktig, og viser at de Rham-kohomologien til dette rommet ikke er triviell.

I matematikk er de Rham cohomology (oppkalt etter Georges de Rham ) et verktøy som tilhører både algebraisk topologi og differensial topologi , i stand til å uttrykke grunnleggende topologisk informasjon om glatte manifolder i en form spesielt tilpasset beregning og den konkrete representasjonen av kohomologi -klasser . Det er en kohomologi -teori basert på eksistensen av differensialformer med foreskrevne egenskaper.

Hver eksakte form er lukket, men det motsatte er ikke nødvendigvis sant. På den annen side er det en sammenheng mellom feil i nøyaktigheten og eksistensen av "hull". De Rham -kohomologigrupper er et sett med invarianter av glatte manifolder som gjør ovennevnte relasjon kvantitativ, og vil bli diskutert i denne artikkelen.

Integrasjonen på skjemaer -konseptet er av grunnleggende betydning innen differensial topologi, geometri og fysikk, og gir også et av de viktigste eksemplene på kohomologi , nemlig de Rham -kohomologi , som (grovt sett) måler nøyaktig i hvilken grad grunnleggende teorem for calculus mislykkes i høyere dimensjoner og på generelle manifolder.
-  Terence Tao , differensielle former og integrasjon

Definisjon

De Rham -komplekset er cochain -komplekset av differensialformer på en glatt manifold M , med det utvendige derivatet som differensial:

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^{0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{2} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{3} (M) \ til \ cdots,}$

hvor Ω ⁰ ( M ) er rommet til glatte funksjoner på M , Ω ¹ ( M ) er rommet til 1 -former, og så videre. Skjemaer som er bildet av andre former under det utvendige derivatet , pluss konstant 0 -funksjonen i Ω ⁰ ( M ) , kalles eksakte og former hvis utvendige derivat er 0 kalles lukket (se Lukkede og eksakte differensialformer ); forholdet d ² = 0 sier da at eksakte former er lukket.

I kontrast er ikke lukkede former nødvendigvis nøyaktige. Et illustrerende tilfelle er en sirkel som en manifold, og 1 -formen som tilsvarer derivatet av vinkel fra et referansepunkt i midten, vanligvis skrevet som dθ (beskrevet ved lukkede og eksakte differensialformer ). Det er ingen funksjon θ definert på hele sirkelen slik at dθ er dens derivat; økningen på 2 π ved å gå en gang rundt sirkelen i positiv retning innebærer en funksjon med flere verdier θ . Å fjerne ett punkt i sirkelen eliminerer dette, samtidig som topologien til manifolden endres.

Ideen bak de Rham kohomologi er å definere ekvivalensklasser av lukkede former på en mangfold. Man klassifiserer to lukkede former α , β ∈ Ω ^k ( M ) som kohomologe hvis de er forskjellige med en eksakt form, det vil si hvis α - β er nøyaktig. Denne klassifiseringen induserer et ekvivalensforhold på rommet til lukkede former i Ω ^k ( M ) . Man definerer deretter k -th de Rham kohomologigruppen til å være settet med ekvivalensklasser, det vil si settet med lukkede former i Ω ^k ( M ) modulo de eksakte formene. ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$

Vær oppmerksom på at for enhver manifold M som består av m frakoblede komponenter, som hver er tilkoblet , har vi det

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^{0} (M) \ cong \ mathbb {R} ^{m}.}$

Dette følger av det faktum at en hvilken som helst glatt funksjon på M med null derivatet overalt er hver for seg konstant på hver av de tilkoblede komponenter av M .

De Rham cohomology beregnet

Man kan ofte finne de generelle de Rham -kohomologiene til en mangfold ved å bruke det ovennevnte faktum om nullkohomologien og en Mayer - Vietoris -sekvens . Et annet nyttig faktum er at de Rham -kohomologien er en homotopi -invariant. Selv om beregningen ikke er gitt, er følgende de beregnede de Rham -kohomologiene for noen vanlige topologiske objekter:

Den n -sphere

For n -sphere , og også når de tas sammen med et produkt av åpne mellomrom, har vi følgende. La n > 0, m ≥ 0 , og jeg være et åpent reelt intervall. Deretter ${\ displaystyle S^{n}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (S^{n} \ ganger I^{m}) \ simeq {\ start {cases} \ mathbb {R} & k = 0 {\ text {eller }} k = n, \\ 0 & k \ neq 0 {\ text {og}} k \ neq n. \ end {cases}}}$

Den n -torus

Den -torus er kartesisk produkt: . På samme måte, tillater vi her, får vi ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T^{n} = \ underbrace {S^{1} \ times \ cdots \ times S^{1}} _ {n}}$${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (T^{n}) \ simeq \ mathbb {R}^{n \ velg k}.}$

Vi kan også finne eksplisitte generatorer for de Rham -kohomologien til torus direkte ved hjelp av differensialformer. Gitt en kvotemanifold og en differensialform kan vi si at den er -variabel hvis vi får noen diffeomorfisme forårsaket av , vi har . Spesielt tilbaketrekking av en hvilken som helst form på er -variant. Tilbaketrekkingen er også en injektiv morfisme. I vårt tilfelle av differensialformene er -variant siden . Men legg merke til at for ikke er en invariant -form. Dette med injektivitet innebærer det ${\ displaystyle \ pi: X \ til X/G}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^{k} (X)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ cdot g: X \ til X}$${\ displaystyle (\ cdot g)^{*} (\ omega) = \ omega}$${\ displaystyle X/G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}/\ mathbb {Z} ^{n}}$${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^{n}}$${\ displaystyle d (x_ {i}+k) = dx_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}+\ alpha}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle [dx_ {i}] \ i H_ {dR}^{1} (T^{n})}$

Siden kohomologiringen til en torus genereres av , tar de utvendige produktene av disse formene alle de eksplisitte representantene for de Rham -kohomologien til en torus. ${\ displaystyle H^{1}}$

Punktert euklidisk rom

Punktert euklidisk rom er ganske enkelt med opprinnelsen fjernet. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^{k} (\ mathbb {R} ^{n} \ setminus \ {0 \}) \ cong {\ start {cases} \ mathbb {R} ^{2} & n = 1, k = 0 \\\ mathbb {R} & n> 1, k = 0, n-1 \\ 0 & {\ text {ellers}} \ ende {saker}}.}$

Möbius -stripen

Vi kan utlede av det faktum at Möbius -stripen , M , kan deformasjonen trekkes tilbake til 1 -sfæren (dvs. den virkelige enhetssirkelen), at:

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M) \ simeq H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (S^{1}).}$

De Rhams teorem

Stokes' teorem er et uttrykk for tosidigheten mellom de Rham cohomology og homologi av kjedene . Den sier at sammenkoblingen av differensielle former og kjeder, via integrasjon, gir en homomorfisme fra de Rham -kohomologi til entydige kohomologigrupper De Rhams teorem , bevist av Georges de Rham i 1931, sier at for en jevn mangfoldig M er dette kartet faktisk en isomorfisme . ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$ ${\ displaystyle H^{k} (M; \ mathbb {R}).}$

Mer presist, vurder kartet

${\ displaystyle I: H _ {\ mathrm {dR}}^{p} (M) \ til H^{p} (M; \ mathbb {R}),}$

definert som følger: la jeg ( ω ) være elementet i det som fungerer som følger: ${\ displaystyle [\ omega] \ i H _ {\ mathrm {dR}}^{p} (M)}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} (H_ {p} (M), \ mathbb {R}) \ simeq H^{p} (M; \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle H_ {p} (M) \ ni [c] \ longmapsto \ int _ {c} \ omega.}$

Teoremet til de Rham hevder at dette er en isomorfisme mellom de Rham kohomologi og entall kohomologi.

Det utvendige produktet gir den direkte summen av disse gruppene en ringstruktur . Et ytterligere resultat av den teorem er at de to kohomologiringer er isomorfe (som graderte ringer ), hvor det analogt produkt på entall cohomology er det koppen produkt .

Sheaf-teoretisk de Rham isomorfisme

De Rham -kohomologien er isomorf i forhold til Čech -kohomologien , hvor er skiven av abelske grupper bestemt av for alle tilkoblede åpne sett , og for åpne sett slik at gruppemorfismen er gitt av identitetskartet på og hvor er et godt åpent omslag av (dvs. alle de åpne settene i det åpne dekselet er sammentrekbare til et punkt, og alle endelige kryss mellom sett i er enten tomme eller sammentrekbare til et punkt). Med andre ord er den konstante skiven gitt ved skjæring av den konstante presheaf -tildelingen . ${\ displaystyle H^{*} ({\ mathcal {U}}, F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle U \ delsett M}$${\ displaystyle U, V}$${\ displaystyle U \ delsett V}$${\ displaystyle {\ text {res}} _ {V, U}: {\ understreking {\ mathbb {R}}} (V) \ til {\ understreking {\ mathbb {R}}} (U)}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$

Sagt på en annen måte, hvis det er en kompakt C ^{m +1} manifold av dimensjon , så er det en isomorfisme for hver${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k \ leq m}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M) \ cong {\ check {H}}^{k} (M, {\ understrekning {\ mathbb {R}}}))}$

hvor venstre side er den -th de Rham kohomologigruppen og høyre side er Čech-kohomologien for konstant skive med fiber${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Bevis

La betegne bunke bakterier av formene på (med bunten funksjoner på ). Ved Poincaré -lemmaet er følgende sekvens av skiver nøyaktig (i kategorien skiver): ${\ displaystyle \ Omega ^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Omega ^{0}}$${\ displaystyle C^{m+1}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle 0 \ til {\ understreking {\ mathbb {R}}} \ til \ Omega ^{0} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{1} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{2} \, \ xrightarrow {d} \ dots \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{m} \ til 0.}$

Denne sekvensen brytes nå opp i korte eksakte sekvenser

${\ displaystyle 0 \ to d \ Omega ^{k-1} \, {\ xrightarrow {\ subset}} \, \ Omega ^{k} \, {\ xrightarrow {d}} \, d \ Omega ^{k } \ til 0.}$

Hver av disse induserer en lang eksakt sekvens innen kohomologi. Siden funksjonsklassen på en mangfold innrømmer enhetens partisjoner , forsvinner skive-kohomologien for . Så de lange eksakte kohomologisekvensene skiller seg til slutt i en kjede av isomorfismer. I den ene enden av kjeden er Čech -kohomologien, og i den andre ligger de Rham -kohomologien. ${\ displaystyle C^{m+1}}$${\ displaystyle H ^{i} (\ Omega ^{k})}$${\ displaystyle i> 0}$

Relaterte ideer

De Rham -kohomologien har inspirert mange matematiske ideer, inkludert Dolbeault -kohomologi , Hodge -teorien og Atiyah - Singer -indekssetningen . Men selv i mer klassiske sammenhenger har teoremet inspirert til en rekke utviklinger. For det første beviser Hodge -teorien at det er en isomorfisme mellom kohomologien som består av harmoniske former og de Rham -kohomologien som består av lukkede former, modulo eksakte former. Dette er avhengig av en passende definisjon av harmoniske former og av Hodge -teoremet. For ytterligere detaljer, se Hodge -teorien .

Harmoniske former

Hvis M er en kompakt Riemannian manifold , inneholder hver ekvivalensklasse i nøyaktig en harmonisk form . Det vil si at hvert medlem av en gitt ekvivalensklasse av lukkede former kan skrives som ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega = \ alfa +\ gamma}$

hvor er nøyaktige og er harmonisk: . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$

Enhver harmonisk funksjon på en kompakt tilkoblet Riemannian manifold er en konstant. Dermed kan dette spesielle representative elementet forstås å være et ekstremum (et minimum) av alle kohomologisk likeverdige former på fordeleren. For eksempel, på en 2 - torus , kan man tenke seg en konstant 1 -form som en hvor alle de "hår" kjemmes pent i samme retning (og alle de "hår" som har samme lengde). I dette tilfellet er det to kohomologisk forskjellige kamninger; alle de andre er lineære kombinasjoner. Spesielt innebærer dette at det første Betti -nummeret på en 2 -torr er to. Mer generelt, på en -dimensjonal torus , kan man vurdere de forskjellige kombinasjonene av -former på torus. Det er velge slike combings som kan anvendes for å danne basisvektorene for ; den -te Betti nummeret for de Rham kohomologi gruppe for -torus er dermed velge . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T^{n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H _ {\ text {dR}}^{k} (T^{n})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

Mer presist, for en differensialmanifold M , kan man utstyre den med noen tilleggs -Riemannian -metrikk . Deretter defineres Laplacian av ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta = d \ delta +\ delta d}$

med den utvendig-derivatet og den codifferential . Laplacian er en homogen (i gradering ) lineær differensialoperator som virker på den utvendige algebraen av differensialformer : vi kan se på dens virkning på hver komponent av grad separat. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle k}$

Hvis den er kompakt og orientert , er dimensjonen til kjernen til Laplacian som virker på rommet til k -former deretter lik (av Hodge -teorien ) til de Rham -kohomologigruppens grad : Laplacian plukker ut en unik harmonisk form i hver kohomologi klasse av lukkede former . Spesielt er plassen til alle harmoniske -former på isomorfe til Dimensjonen til hvert slikt rom er begrenset, og er gitt av -th Betti -tallet . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H^{k} (M; \ mathbb {R}).}$${\ displaystyle k}$

Hodge nedbrytning

La være en kompakt orientert Riemannian manifold . De Hodge nedbrytnings fastslår at en hvilken som helst form-på entydig deler seg i summen av tre L ² komponenter: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ omega = \ alfa +\ beta +\ gamma,}$

hvor er nøyaktig, er medeksakt og er harmonisk. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

En sier at en form er co-lukket hvis og co-presis hvis for en eller annen form , og det er harmonisk dersom Laplace er null, . Dette følger med å merke seg at eksakte og koeksakte former er ortogonale; det ortogonale komplementet består da av former som er både lukkede og samlukkede: det vil si av harmoniske former. Her er ortogonalitet definert med hensyn til L ² indre produkt på : ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ delta \ beta = 0}$${\ displaystyle \ beta = \ delta \ eta}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ Omega ^{k} (M)}$

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {M} \ alpha \ wedge {\ star \ beta}.}$

Ved bruk av Sobolev -mellomrom eller fordelinger kan nedbrytningen for eksempel utvides til en komplett (orientert eller ikke) Riemannian manifold.

Se også

• Hodge teori
• Integrasjon langs fibre (for de Rham -kohomologi blir pushforward gitt ved integrering )

Sitater

Referanser

Eksterne linker

• Idee om De Rham Cohomology in Mathifold Project
• "De Rham cohomology" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]