Debye-skjede - Debye sheath

Den Debye kappe (også elektrostatisk kappe ) er et lag i et plasma som har en større tetthet av positive ioner, og følgelig en samlet overskudd av positiv ladning, som balanserer en motsatt negativ ladning på overflaten av et materiale med hvilket det er i kontakt. Tykkelsen på et slikt lag er flere Debye-lengder tykk, en verdi hvis størrelse avhenger av forskjellige karakteristikker av plasma (f.eks. Temperatur, tetthet osv.).

En Debye-kappe oppstår i et plasma fordi elektronene vanligvis har en temperatur i størrelsesorden eller større enn ionene og er mye lettere. Følgelig er de raskere enn ionene med minst en faktor på . Ved grensesnittet til en materialoverflate vil elektronene derfor fly ut av plasmaet og lade overflaten negativt i forhold til bulkplasmaet. På grunn av Debye-skjerming vil skalalengden til overgangsregionen være Debye-lengden . Når potensialet øker, reflekteres flere og flere elektroner av hylsterpotensialet. En likevekt er endelig nådd når potensialforskjellen er noen ganger elektrontemperaturen. ${\ displaystyle {\ sqrt {m _ {\ mathrm {i}} / m _ {\ mathrm {e}}}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {D}}}$

Debye-skjeden er overgangen fra et plasma til en solid overflate. Lignende fysikk er involvert mellom to plasmaregioner som har forskjellige egenskaper; overgangen mellom disse regionene er kjent som et dobbeltlag , og har ett positivt og ett negativt lag.

Beskrivelse

Positive ioneskjeder rundt gitterledninger i et termionisk gassrør, hvor ⊕ representerer en positiv ladning (ikke i målestokk) (Etter Langmuir, 1929)

Slirer ble først beskrevet av den amerikanske fysikeren Irving Langmuir . I 1923 skrev han:

"Elektroner frastøtes fra den negative elektroden mens positive ioner trekkes mot den. Rundt hver negative elektrode er det således en kappe med bestemt tykkelse som bare inneholder positive ioner og nøytrale atomer. [..] Elektroner reflekteres fra ytre overflate av kappen mens alle positive ioner som når kappen tiltrekkes av elektroden. [..] følger det direkte at det ikke skjer noen endring i den positive ionestrømmen som når elektroden. Elektroden er faktisk perfekt skjermet fra utladningen av den positive ionskeden, og dets potensial kan ikke påvirke fenomenene som oppstår i buen, og heller ikke strømmen som strømmer til elektroden. "

Langmuir og medforfatter Albert W. Hull beskrev videre en kappe dannet i en termionisk ventil :

"Figur 1 viser grafisk tilstanden som eksisterer i et slikt rør som inneholder kvikksølvdamp. Mellomromet mellom filament og plate er fylt med en blanding av elektroner og positive ioner, i nesten like mange, som har fått navnet" plasma ". En ledning nedsenket i plasmaet, uten potensial i forhold til den, vil absorbere hvert ion og elektron som treffer det. Siden elektronene beveger seg omtrent 600 ganger så raskt som ionene, vil 600 ganger så mange elektroner slå på ledningen som ioner. Hvis ledningen er isolert, må den anta et så negativt potensial at den mottar like mange elektroner og ioner, det vil si et slikt potensial at den frastøter alle unntatt 1 av 600 elektroner som er på vei mot den. "

"Anta at denne ledningen, som vi kan ta for å være en del av et rutenett, blir gjort enda mer negativ med tanke på å kontrollere strømmen gjennom røret. Den vil nå frastøte alle elektronene som er på vei mot den, men vil motta alt det positive Det vil således være et område rundt ledningen som inneholder positive ioner og ingen elektroner, som vist skjematisk i fig. 1. ionene akselereres når de nærmer seg den negative ledningen, og det vil eksistere en potensiell gradient i denne kappen, som vi kan kalle den, av positive ioner, slik at potensialet er mindre og mindre negativt når vi trekker oss fra ledningen, og i en viss avstand er lik potensialet til plasmaet. Denne avstanden definerer vi som grensen av skjeden. Utover denne avstanden er det ingen effekt på grunn av ledningens potensial. "

Matematisk behandling

Den plane skjede ligningen

Den kvantitative fysikken til Debye-skjeden bestemmes av fire fenomener:

Energibesparelse av ionene: Hvis vi for enkelhets skyld antar at kalde masseioner som kommer inn i kappen med en hastighet , med ladning motsatt av elektronet, krever bevaring av energi i kappepotensialet ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {i}}}$${\ displaystyle u_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m _ {\ mathrm {i}} \, u (x) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m _ {\ mathrm {i}} \, u_ {0} ^ {2} -e \, \ varphi (x)}$,

hvor er ladningen av elektronet tatt positivt, dvs. x . ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle e = 1.602}$${\ displaystyle 10 ^ {- 19}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C}}$

Ionkontinuitet: I jevn tilstand bygger ionene seg ikke opp hvor som helst, så strømmen er overalt den samme:

${\ displaystyle n_ {0} \, u_ {0} = n _ {\ mathrm {i}} (x) \, u (x)}$.

Boltzmann-forhold for elektronene: Siden de fleste elektronene reflekteres, blir dens tetthet gitt av

${\ displaystyle n _ {\ mathrm {e}} (x) = n_ {0} \ exp {\ Big (} {\ frac {e \, \ varphi (x)} {k _ {\ mathrm {B}} T_ { \ mathrm {e}}}} {\ Big)}}$.

Poissons ligning : Krumningen til det elektrostatiske potensialet er relatert til nettoladetettheten som følger:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ varphi (x)} {dx ^ {2}}} = {\ frac {e (n _ {\ mathrm {e}} (x) -n _ {\ mathrm { i}} (x))} {\ epsilon _ {0}}}}$.

Kombinere disse ligningene og skrive dem med tanke på det dimensjonsløse potensialet, posisjonen og ionhastigheten,

${\ displaystyle \ chi (\ xi) = - {\ frac {e \ varphi (\ xi)} {k _ {\ mathrm {B}} T _ {\ mathrm {e}}}}}$

${\ displaystyle \ xi = {\ frac {x} {\ lambda _ {\ mathrm {D}}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = {\ frac {u _ {\ mathrm {o}}} {(k _ {\ mathrm {B}} T _ {\ mathrm {e}} / m _ {\ mathrm {i} }) ^ {1/2}}}}$

vi kommer til skjede ligningen:

${\ displaystyle \ chi '' = \ left (1 + {\ frac {2 \ chi} {{\ mathfrak {M}} ^ {2}}} \ right) ^ {- 1/2} -e ^ {- \ chi}}$.

Bohm-skjede kriteriet

Skjedeligningen kan integreres en gang ved å multiplisere med : ${\ displaystyle \ chi '}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ xi} \ chi '\ chi' '\, d \ xi _ {1} = \ int _ {0} ^ {\ xi} \ left (1 + {\ frac {2 \ chi} {{\ mathfrak {M}} ^ {2}}} høyre) ^ {- 1/2} \ chi '\, d \ xi _ {1} - \ int _ {0} ^ { \ xi} e ^ {- \ chi} \ chi '\, d \ xi _ {1}}$

Ved kappekanten ( ) kan vi definere potensialet til å være null ( ) og anta at det elektriske feltet også er null ( ). Med disse grensebetingelsene gir integrasjonene ${\ displaystyle \ xi = 0}$${\ displaystyle \ chi = 0}$${\ displaystyle \ chi '= 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ chi '^ {2} = {\ mathfrak {M}} ^ {2} \ left [\ left (1 + {\ frac {2 \ chi} {{ \ mathfrak {M}} ^ {2}}} \ høyre) ^ {1/2} -1 \ høyre] + e ^ {- \ chi} -1}$

Dette blir lett omskrevet som en integral i lukket form, selv om en som bare kan løses numerisk. Likevel kan en viktig del informasjon hentes analytisk. Siden venstre side er en firkant, må høyre side også være ikke-negativ for hver verdi av , spesielt for små verdier. Ser vi på Taylor-utvidelsen rundt , ser vi at den første termen som ikke forsvinner er den kvadratiske, slik at vi kan kreve ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ chi = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ chi ^ {2} \ left (- {\ frac {1} {{\ mathfrak {M}} ^ {2}}} + 1 \ right) \ geq 0}$,

eller

${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} ^ {2} \ geq 1}$,

eller

${\ displaystyle u_ {0} \ geq (k _ {\ mathrm {B}} T _ {\ mathrm {e}} / m _ {\ mathrm {i}}) ^ {1/2}}$.

Denne ulikheten er kjent som Bohm-skjede-kriteriet etter oppdageren David Bohm . Hvis ionene kommer for sakte inn i skjeden, vil skjedepotensialet "spise" seg inn i plasmaet for å akselerere dem. Til slutt vil en såkalt pre-sheath utvikle seg med et potensielt fall i størrelsesorden og en skala som bestemmes av ionekildens fysikk (ofte den samme som plasmadimensjonene). Normalt vil Bohm-kriteriet holde med likeverd, men det er noen situasjoner der ionene kommer inn i kappen med supersonisk hastighet. ${\ displaystyle (k _ {\ mathrm {B}} T _ {\ mathrm {e}} / 2e)}$

Child – Langmuir-loven

Selv om skjede ligningen generelt må integreres numerisk, kan vi finne en omtrentlig løsning analytisk ved å forsømme begrepet. Dette tilsvarer å forsømme elektrondensiteten i kappen, eller bare analysere den delen av kappen der det ikke er elektroner. For en "flytende" overflate, dvs. en som ikke trekker noen nettostrøm fra plasmaet, er dette en nyttig hvis grov tilnærming. For en overflate som er sterkt negativ, slik at den trekker ionemetningsstrømmen , er tilnærmingen veldig bra. Det er vanlig, selv om det ikke er strengt nødvendig, å forenkle ligningen ytterligere ved å anta at den er mye større enn enhet. Da får skjedeligningen den enkle formen ${\ displaystyle e ^ {- \ chi}}$${\ displaystyle 2 \ chi / {\ mathfrak {M}} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ chi '' = {\ frac {\ mathfrak {M}} {(2 \ chi) ^ {1/2}}}}$.

Som før multipliserer vi med og integrerer for å oppnå ${\ displaystyle \ chi '}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ chi '^ {2} = {\ mathfrak {M}} (2 \ chi) ^ {1/2}}$,

eller

${\ displaystyle \ chi ^ {- 1/4} \ chi '= 2 ^ {3/4} {\ mathfrak {M}} ^ {1/2}}$.

Dette integreres enkelt over ξ for å gi

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ chi _ {\ mathrm {w}} ^ {3/4} = 2 ^ {3/4} {\ mathfrak {M}} ^ {1/2} d}$,

hvor er det (normaliserte) potensialet ved veggen (i forhold til kappekanten), og d er tykkelsen på kappen. Å bytte tilbake til variablene og og merke seg at ionestrømmen i veggen er , har vi ${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {w}}}$${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle J = e \, n_ {0} \, u_ {0}}$

${\ displaystyle J = {\ frac {4} {9}} \ left ({\ frac {2e} {m_ {i}}} \ right) ^ {1/2} {\ frac {| \ varphi _ {w } | ^ {3/2}} {4 \ pi d ^ {2}}}}$.

Denne ligningen er kjent som Child's law , etter Clement D. Child (1868–1933), som først publiserte den i 1911, eller som Child – Langmuir-loven , som også hedret Irving Langmuir , som oppdaget den uavhengig og publiserte i 1913. Den ble først brukt til å gi den romladningsbegrensede strømmen i en vakuumdiode med elektrodeavstand d . Det kan også inverteres for å gi tykkelsen på Debye-skjeden som en funksjon av spenningsfallet ved å stille inn : ${\ displaystyle J = j _ {\ mathrm {ion}} ^ {\ mathrm {sat}}}$

${\ displaystyle d = {\ frac {2} {3}} \ left ({\ frac {2e} {m _ {\ mathrm {i}}}} \ right) ^ {1/4} {\ frac {| \ varphi _ {\ mathrm {w}} | ^ {3/4}} {2 {\ sqrt {\ pi j _ {\ mathrm {ion}} ^ {\ mathrm {sat}}}}}}}$.

De siste årene har loven Child-Langmuir (CL) blitt revidert som rapportert i to gjennomgangspapirer. ,

Se også

• Ambipolar diffusjon
• Dobbeltlag (plasma) , spesielt seksjonen Strømbærende dobbeltlag dannet av enkle, null temperaturbjelker
• Liste over plasma (fysikk) applikasjonsartikler

Fotnoter