Dimensjonsløs mengde - Dimensionless quantity

I dimensjonsanalyse er en dimensjonsløs mengde en mengde som det ikke er tilordnet noen fysisk dimensjon til, også kjent som en ren, skalær eller skalær størrelse eller en dimensjon én, med en tilsvarende måleenhet i SI til enheten en ( eller 1 ), som ikke er eksplisitt vist. Dimensjonsløse mengder er mye brukt på mange felt, for eksempel matematikk , fysikk , kjemi , ingeniørfag og økonomi . Dimensjonsløse mengder er forskjellige fra mengder som har tilhørende dimensjoner, for eksempel tid (målt i sekunder ). Imidlertid er symbolene rad og sr skrevet eksplisitt der det er hensiktsmessig, for å understreke at for radianer eller steradianer er mengden som vurderes henholdsvis planvinkelen eller den faste vinkelen. For eksempel er etendue definert som å ha måleenheter ganger steradianer.

Historie

Mengder som har dimensjon en, dimensjonsløse mengder , forekommer jevnlig i vitenskaper og blir formelt behandlet innenfor dimensjonsanalysefeltet . I det nittende århundre ledet den franske matematikeren Joseph Fourier og den skotske fysikeren James Clerk Maxwell en betydelig utvikling i de moderne begrepene dimensjon og enhet . Senere arbeid av britiske fysikere Osborne Reynolds og Lord Rayleigh bidro til forståelsen av dimensjonsløse tall i fysikk. Basert på Rayleighs metode for dimensjonsanalyse, beviste Edgar Buckingham π -setningen (uavhengig av den franske matematikeren Joseph Bertrands tidligere arbeid) for å formalisere arten av disse størrelsene.

Tallrike dimensjonsløse tall, for det meste forholdstall, ble laget på begynnelsen av 1900 -tallet, spesielt innen væskemekanikk og varmeoverføring . Måle -forhold i (utledet) enhet dB ( decibel ) finner utstrakt bruk i dag.

På begynnelsen av 2000 -tallet diskuterte Den internasjonale komiteen for vekter og mål å navngi enheten til 1 som " uno ", men ideen om å bare introdusere et nytt SI -navn for 1 ble droppet.

Forhold, proporsjoner og vinkler

Dimensjonsløse mengder blir ofte oppnådd som forhold mellom mengder som ikke er dimensjonsløse, men hvis dimensjoner slettes i den matematiske operasjonen. Eksempler inkluderer beregning av bakker eller enhetsomregningsfaktorer . Et mer komplekst eksempel på et slikt forhold er ingeniørstamme , et mål på fysisk deformasjon definert som en endring i lengde dividert med den opprinnelige lengden. Siden begge mengder har dimensjonen lengde , er deres forhold dimensjonsløs. Et annet sett med eksempler er massefraksjoner eller molfraksjoner som ofte skrives ved bruk av deler per notasjon som ppm (= 10 ⁻⁶ ), ppb (= 10 ⁻⁹ ) og ppt (= 10 ⁻¹² ), eller kanskje forvirrende som forhold på to identiske enheter ( kg /kg eller mol /mol). For eksempel kan alkohol i volum , som karakteriserer konsentrasjonen av etanol i en alkoholholdig drikke , skrives som ml / 100 ml .

Andre vanlige proporsjoner er prosentandeler %  (= 0,01),   ‰  (= 0,001) og vinkelenheter som radian , grad (° = π/180) og grad (= π/200). I statistikk den variasjonskoeffisienten er forholdet mellom standardavviket til middelverdien og blir brukt til å måle spredningen i dataene .

Det har blitt hevdet at mengder definert som forhold Q = A / B med like dimensjoner i teller og nevner faktisk bare er enhetsløse størrelser og fortsatt har fysisk dimensjon definert som dim Q = dim A × dim B ⁻¹ . For eksempel kan fuktighetsinnholdet defineres som et forhold mellom volumer (volumetrisk fuktighet, m ³ ⋅m ⁻³ , dimensjon L ³ ⋅L ⁻³ ) eller som et forhold mellom masser (gravimetrisk fuktighet, enheter kg⋅kg ⁻¹ , dimensjon M⋅M ⁻¹ ); begge ville være enhetsløse mengder, men av forskjellig dimensjon.

Buckingham π teorem

Buckingham π -setningen indikerer at gyldigheten av fysikklovene ikke er avhengig av et bestemt enhetssystem. En uttalelse av denne teoremet er at enhver fysisk lov kan uttrykkes som en identitet som bare involverer dimensjonsløse kombinasjoner (forhold eller produkter) av variablene knyttet til loven (f.eks. Press og volum er knyttet til Boyles lov - de er omvendt proporsjonale). Hvis de dimensjonsløse kombinasjonenes verdier endret seg med enhetene, ville ligningen ikke vært en identitet, og Buckinghams teorem ville ikke holde.

En annen konsekvens av teoremet er at den funksjonelle avhengigheten mellom et visst antall (si n ) variabler kan reduseres med antall (si k ) uavhengige dimensjoner som forekommer i disse variablene for å gi et sett med p = n - k uavhengig , dimensjonsløse mengder . For eksperimentatorens formål er forskjellige systemer som deler den samme beskrivelsen etter dimensjonsløs mengde ekvivalente.

Eksempel

For å demonstrere anvendelsen av π teorem, vurdere den strømforbruket av en rører med en gitt form. Effekten, P , i dimensjoner [M · L ² /T ³ ], er en funksjon av tettheten , ρ [M/L ³ ], og viskositeten til væsken som skal omrøres, μ [M/(L · T )], så vel som størrelsen på omrører gitt av dens diameter , D [L], og vinkelhastigheten til omrører, n [1/T]. Derfor har vi totalt n = 5 variabler som representerer vårt eksempel. Disse n = 5 variablene er bygget opp fra k = 3 grunnleggende dimensjoner, lengden: L ( SI -enheter: m ), tiden: T ( s ) og massen: M ( kg ).

I henhold til π -theorem, er n = 5 variabler kan reduseres med k = 3 dimensjoner for å danne p = n - k = 5 - 3 = to uavhengige dimensjonsløse tall. Vanligvis er disse mengdene velges som , ofte kalt det Reynolds-tall som beskriver fluidstrømningsregime, og den kraft nummer , som er den dimensjonsløse beskrivelse av røreverket. ${\ textstyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho nD^{2}} {\ mu}}}$${\ textstyle N _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {P} {\ rho n^{3} D^{5}}}}$

Vær oppmerksom på at de to dimensjonsløse størrelsene ikke er unike og avhenger av hvilken av n = 5 -variablene som er valgt som k = 3 uavhengige basisvariabler, som vises i begge dimensjonsløse størrelser. Reynolds -tallet og effektnummeret faller fra analysen ovenfor hvis , n og D er valgt til å være basisvariablene. Hvis det i stedet, , n og D er valgt, blir Reynoldstallet gjenvunnet, mens den andre dimensjonsløs størrelse blir . Vi merker oss at det er produktet av Reynolds -nummeret og effektnummeret. ${\ textstyle \ rho}$${\ textstyle \ mu}$${\ textstyle N _ {\ mathrm {Rep}} = {\ frac {P} {\ mu D^{3} n^{2}}}}$${\ textstyle N _ {\ mathrm {Rep}}}$

Dimensjonsløse fysiske konstanter

Noen universelle dimensjonerte fysiske konstanter, for eksempel lysets hastighet i et vakuum, den universelle gravitasjonskonstanten , Plancks konstant , Coulombs konstant og Boltzmanns konstant kan normaliseres til 1 hvis passende enheter for tid , lengde , masse , ladning og temperatur er valgt ut. Det resulterende enhetssystemet er kjent som de naturlige enhetene , spesielt angående disse fem konstantene, Planck -enheter . Imidlertid kan ikke alle fysiske konstanter normaliseres på denne måten. For eksempel er verdiene til følgende konstanter uavhengige av enhetssystemet, kan ikke defineres og kan bare bestemmes eksperimentelt:

• α ≈ 1/137, finstrukturskonstanten , som karakteriserer størrelsen på den elektromagnetiske interaksjonen mellom elektroner.
• β (eller μ ) ≈ 1836, masseforholdet mellom proton og elektron . Dette forholdet er resten av protonen delt med elektronen . Et analogt forhold kan defineres for en hvilken som helst elementarpartikkel ;
• α _s ≈ 1, en konstant som kjennetegner den sterke kjernekraftkoblingsstyrken ;
• Forholdet mellom massen av et gitt elementærpartikkel til Planck masse , .${\ displaystyle {\ sqrt {\ hbar c/G}}}$

Andre mengder produsert ved ikke -dimensjonalisering

Fysikk bruker ofte dimensjonsløse mengder for å forenkle karakteriseringen av systemer med flere samspillende fysiske fenomener. Disse kan bli funnet ved å anvende Buckingham π -teoremet, eller på annen måte kan det oppstå ved å gjøre partielle differensialligninger enhetløse ved prosessen med ikke -dimensjonalisering . Engineering, økonomi og andre felt utvider ofte disse ideene i design og analyse av de relevante systemene.

Fysikk og ingeniørfag

• Fresnel -nummer - bølgetall over avstand
• Mach -nummer - forholdet mellom hastigheten til et objekt eller en strøm i forhold til lydens hastighet i væsken.

• Beta (plasmafysikk) - forholdet mellom plasmatrykk og magnetisk trykk, brukt i magnetosfærisk fysikk samt fusjonsplasmafysikk.
• Damköhler -tall (Da) - brukt i kjemiteknikk for å relatere den kjemiske reaksjonstiden (reaksjonshastigheten) til transportfenomenhastigheten som forekommer i et system.
• Thiele modul - beskriver forholdet mellom diffusjon og reaksjonshastighet i porøse katalysatorpellets uten begrensninger i masseoverføring.
• Numerisk blenderåpning - karakteriserer vinkelen som systemet kan akseptere eller avgi lys over.
• Sherwood nummer- (også kalt masseoverføring Nusselt nummer ) er et dimensjonsløst tall som brukes i masseoverføring. Det representerer forholdet mellom konvektiv masseoverføring og hastigheten for diffus massetransport.
• Schmidt -nummer - definert som forholdet mellom momentdiffusivitet (kinematisk viskositet) og massediffusivitet, og brukes til å karakterisere væskestrømmer der det er samtidige momentum- og massediffusjonskonveksjonsprosesser.
• Reynolds nummer brukes ofte i væskemekanikk for å karakterisere strømning, og inneholder både egenskapene til væsken og strømmen. Det tolkes som forholdet mellom treghetskrefter og viskøse krefter og kan indikere strømningsregime samt korrelere til friksjonsoppvarming i applikasjon til strømning i rør.

Kjemi

• Relativ tetthet - tetthet i forhold til vann
• Relativ atommasse , Standard atomvekt
• Likevektskonstant (som noen ganger er dimensjonsløs)

Andre felt

• Transportkostnader er effektiviteten ved å flytte fra ett sted til et annet
• Elastisitet er måling av proporsjonal endring av en økonomisk variabel som svar på en endring i en annen

Se også

• Vilkårlig enhet
• Dimensjonal analyse
• Normalisering (statistikk) og standardisert moment , de analoge begrepene i statistikk
• Størrelsesordre (tall)
• Lignelse (modell)
• Liste over dimensjonsløse mengder

Referanser

Eksterne linker

• Medier relatert til dimensjonsløse tall på Wikimedia Commons