Direkte bevis - Direct proof

I matematikk og logikk er et direkte bevis en måte å vise sannheten eller løgnen til en gitt uttalelse ved en enkel kombinasjon av etablerte fakta, vanligvis aksiomer , eksisterende lemmaer og teoremer , uten å gjøre noen videre antakelser. For å bevise en betinget uttalelse direkte fra skjemaet "Hvis p , så q ", er det tilstrekkelig å vurdere situasjonene der utsagnet p er sant. Logisk trekk benyttes for å resonnere fra antagelser til konklusjon. Den anvendte logikken er nesten alltid førsteordens logikk , hvor man bruker kvantifiseringsmidler for alle og det finnes . Vanlige bevisregler som brukes er modus ponens og universal instantiering .

Derimot kan et indirekte bevis begynne med visse hypotetiske scenarier og deretter fortsette å eliminere usikkerheten i hvert av disse scenariene til en uunngåelig konklusjon er tvunget. For eksempel, i stedet for å vise direkte p ⇒ q , beviser man sin kontrapositive ~ q ⇒ ~ p (man antar ~ q og viser at den fører til ~ p ). Siden p ⇒ q og ~ q ⇒ ~ p tilsvarer prinsippet om innarbeiding (se lov ekskludert midten ), p ⇒ q er indirekte bevist. Bevismetoder som ikke er direkte inkluderer bevis ved motsetning , inkludert bevis ved uendelig nedstigning . Direkte bevismetoder inkluderer bevis ved utmattelse og bevis ved induksjon .

Historie og etymologi

Et direkte bevis er den enkleste formen for bevis som finnes. Ordet "bevis" kommer fra det latinske ordet probare, som betyr "å teste". Den tidligste bruken av bevis var fremtredende i rettssaker. En person med autoritet, som en adelsmann, ble sagt å ha sannhet, noe som betyr at bevisene var fra hans relative autoritet, som oppveide empirisk vitnesbyrd. I gamle dager var matematikk og bevis ofte flettet sammen med praktiske spørsmål - med befolkninger som egypterne og grekerne som viste interesse for å kartlegge land. Dette førte til en naturlig nysgjerrighet med hensyn til geometri og trigonometri - spesielt trekanter og rektangler . Dette var formene som ga flest spørsmål når det gjelder praktiske ting, så tidlige geometriske konsepter var fokusert på disse fasongene, for eksempel bygninger og pyramider brukte disse figurene i overflod. En annen form som er avgjørende i historien om direkte bevis er sirkelen , som var avgjørende for utformingen av arenaer og vanntanker. Dette betydde at eldgammel geometri (og euklidisk geometri ) diskuterte sirkler.

Den tidligste formen for matematikk var fenomenologisk . For eksempel, hvis noen kunne tegne et fornuftig bilde, eller gi en overbevisende beskrivelse, oppfylte alle kriteriene for at noe skulle bli beskrevet som et matematisk "faktum". Noen ganger fant analoge argumenter sted, eller til og med ved å "påkalle gudene". Ideen om at matematiske påstander kunne bevises, hadde ikke blitt utviklet ennå, så dette var de tidligste formene for bevisbegrepet, til tross for at de ikke var faktiske bevis i det hele tatt.

Bevis som vi vet kom til med ett spesifikt spørsmål: "hva er et bevis?" Tradisjonelt er et bevis en plattform som overbeviser noen utenfor rimelig tvil om at en uttalelse er matematisk sant. Naturligvis vil man anta at den beste måten å bevise sannheten i noe slikt (B) ville være å lage en sammenligning med noe gammelt (A) som allerede er bevist som sant. Dermed ble skapt konseptet med å utlede et nytt resultat fra et gammelt resultat.

Eksempler

Summen av to jevne heltall er lik et jevnt heltall

Tenk på to jevne heltall $x$ og $y$ . Siden de er jevne, kan de skrives som

{\ displaystyle x = 2a}

{\ displaystyle y = 2b}

henholdsvis for heltall $a$ og $b$ . Da kan summen skrives som

{\ displaystyle x + y = 2a + 2b = 2 (a + b) = 2p}

hvor ,

a

og

b

er alle heltall.

{\ displaystyle p = a + b}

Det følger at $x + y$ har 2 som faktor og derfor er jevn, så summen av to like ens heltall er jevn.

Pythagoras 'teorem

Vær oppmerksom på at vi har fire rettvinklede trekanter og en firkant pakket inn i en stor firkant. Hver av trekantene har sidene a og b og hypotenuse c . Området til et kvadrat er definert som kvadratet av lengden på sidene - i dette tilfellet, (a + b) ² . Imidlertid kan arealet til det store torget også uttrykkes som summen av områdene til komponentene. I dette tilfellet vil det være summen av områdene til de fire trekantene og den lille firkanten i midten.

Vi vet at arealet til det store torget er lik (a + b) ² .

Arealet til en trekant er lik ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} ab.}$

Vi vet at arealet til den store firkanten også er lik summen av arealene til trekanter, pluss arealet til den lille firkanten, og dermed er arealet til det store kvadratet lik ${\ displaystyle 4 ({\ frac {1} {2}} ab) + c ^ {2}.}$