Diskret wavelet transform - Discrete wavelet transform

Et eksempel på 2D diskret wavelet -transformasjon som brukes i JPEG2000 . Det originale bildet er høypassfiltrert og gir de tre store bildene, som hver beskriver lokale endringer i lysstyrke (detaljer) i det originale bildet. Det blir deretter lavpassfiltrert og nedskalert, noe som gir et tilnærmingsbilde; dette bildet blir høypassfiltrert for å produsere de tre mindre detaljbildene, og lavpassfiltrert for å produsere det siste tilnærmingsbildet øverst til venstre.

I numerisk analyse og funksjonsanalyse er en diskret wavelet -transform ( DWT ) en hvilken som helst wavelet -transform som bølgete er diskret samplet for. Som med andre wavelet -transformasjoner, er den viktigste fordelen den har over Fourier -transformasjoner , tidsmessig oppløsning: den fanger både frekvens- og stedsinformasjon (plassering i tid).

Eksempler

Haarbølger

Den første DWT ble oppfunnet av den ungarske matematikeren Alfréd Haar . For en inngang representert med en liste med tall, kan Haar wavelet -transformasjonen anses å koble sammen inngangsverdier, lagre differansen og passere summen. Denne prosessen gjentas rekursivt, og summerer summene for å bevise den neste skalaen, noe som fører til forskjeller og en siste sum. ${\ displaystyle 2^{n}}$ ${\ displaystyle 2^{n} -1}$

Daubechies -bølger

Det mest brukte settet med diskrete wavelet -transformasjoner ble formulert av den belgiske matematikeren Ingrid Daubechies i 1988. Denne formuleringen er basert på bruk av gjentagelsesrelasjoner for å generere gradvis finere diskrete prøvetaking av en implisitt mor -wavelet -funksjon; hver oppløsning er det dobbelte av den forrige skalaen. I sitt seminalpapir stammer Daubechies fra en familie av bølger , den første er Haar wavelet. Interessen for dette feltet har eksplodert siden den gang, og mange varianter av Daubechies 'originale bølger ble utviklet.

Dual-tree complex wavelet transform (DℂWT)

Dual-tree complex wavelet transform (ℂWT) er en relativt nylig forbedring av den diskrete wavelet transform (DWT), med viktige tilleggsegenskaper: Den er nesten skift invariant og retnings selektiv i to og høyere dimensjoner. Den oppnår dette med en redundansfaktor på bare , vesentlig lavere enn den ubestemte DWT. Den flerdimensjonale (MD) dual-tree ℂWT er ikke-separerbar, men er basert på en beregningsmessig effektiv, separerbar filterbank (FB). ${\ displaystyle 2^{d}}$

Andre

Andre former for diskret wavelet-transformasjon inkluderer LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3 wavelet utviklet av Didier Le Gall og Ali J. Tabatabai i 1988 (brukt i JPEG 2000 eller JPEG XS ), Binomial QMF utviklet av Ali Naci Akansu i 1990 , settpartisjoneringen i hierarkiske trær (SPIHT) -algoritme utviklet av Amir Said med William A. Pearlman i 1996, den ikke- eller ubestemte bølgetransformasjonen (der nedprøvetaking utelates), og Newland-transformasjonen (hvor et ortonormalt grunnlag for bølger dannes fra riktig konstruerte topphattefiltre i frekvensområdet ). Wavelet -pakketransformasjoner er også relatert til den diskrete wavelet -transformasjonen. Kompleks wavelet -transformasjon er en annen form.

Eiendommer

Haar DWT illustrerer de ønskelige egenskapene til bølger generelt. For det første kan det utføres i operasjoner; for det andre fanger den ikke bare en forestilling om frekvensinnholdet i inngangen, ved å undersøke den på forskjellige skalaer, men også tidsmessig innhold, det vil si tidspunktene da disse frekvensene forekommer. Til sammen gjør disse to egenskapene Fast wavelet -transformasjonen (FWT) til et alternativ til den konvensjonelle hurtige Fourier -transformasjonen (FFT). ${\ displaystyle O (n)}$

Tidsspørsmål

På grunn av hastighetsendringsoperatørene i filterbanken, er den diskrete WT ikke tidsinfarlig, men faktisk veldig følsom for justeringen av signalet i tide. For å løse det tidsvarierende problemet med wavelet-transformasjoner, foreslo Mallat og Zhong en ny algoritme for wavelet-representasjon av et signal, som ikke er variabel for tidsskift. I følge denne algoritmen, som kalles en TI-DWT, blir bare skalaparameteren samplet langs den dyadiske sekvensen 2^j (j∈Z) og wavelet-transformasjonen beregnes for hvert tidspunkt.

applikasjoner

Den diskrete wavelet -transformasjonen har et stort antall applikasjoner innen vitenskap, ingeniørfag, matematikk og informatikk. Spesielt brukes det til signalkoding , for å representere et diskret signal i en mer redundant form, ofte som en forutsetning for datakomprimering . Praktiske applikasjoner kan også finnes i signalbehandling av akselerasjoner for ganganalyse, bildebehandling, i digital kommunikasjon og mange andre.

Det er vist at diskret wavelet-transformasjon (diskret i skala og skift og kontinuerlig i tid) er vellykket implementert som analog filterbank i biomedisinsk signalbehandling for design av pacemakere med lav effekt og også i ultrabredbånds (UWB) trådløs kommunikasjon.

Eksempel på bildebehandling

Bilde med gaussisk støy.

Bilde med Gauss -støy fjernet.

Wavelets brukes ofte til å denoise todimensjonale signaler, for eksempel bilder. Følgende eksempel gir tre trinn for å fjerne uønsket hvit Gauss -støy fra det støyende bildet som vises. Matlab ble brukt til å importere og filtrere bildet.

Det første trinnet er å velge en wavelet -type og et nivå N for spaltning. I dette tilfellet ble biorthogonale 3,5 bølger valgt med et nivå N på 10. Biorthogonale bølger brukes ofte i bildebehandling for å oppdage og filtrere hvit Gauss -støy, på grunn av deres høye kontrast til nærliggende pikselintensitetsverdier. Ved bruk av disse wavelets utføres en wavelet -transformasjon på det todimensjonale bildet.

Etter nedbrytningen av bildefilen er neste trinn å bestemme terskelverdier for hvert nivå fra 1 til N. Birgé-Massart-strategien er en ganske vanlig metode for å velge disse tersklene. Ved hjelp av denne prosessen er det laget individuelle terskler for N = 10 nivåer. Å bruke disse tersklene er størstedelen av den faktiske filtreringen av signalet.

Det siste trinnet er å rekonstruere bildet fra de modifiserte nivåene. Dette oppnås ved bruk av en invers wavelet -transformasjon. Det resulterende bildet, med fjernet hvit Gauss -støy, vises under det opprinnelige bildet. Når du filtrerer noen form for data, er det viktig å kvantifisere signal-støy-forholdet til resultatet. I dette tilfellet var SNR for det støyende bildet i forhold til originalen 30.4958%, og SNR for det denoiserte bildet er 32.5525%. Den resulterende forbedringen av wavelet -filtreringen er en SNR -gevinst på 2,0567%.

Det er viktig å merke seg at valg av andre bølger, nivåer og terskelstrategier kan resultere i forskjellige typer filtrering. I dette eksemplet ble hvit Gauss -støy valgt å fjerne. Selv om den med forskjellige terskelverdier like gjerne kunne blitt forsterket.

For å illustrere forskjeller og likheter mellom den diskrete wavelet transform med den diskrete Fourier-transformasjon , vurdere DWT og DFT av den følgende sekvens: (1,0,0,0), en enhet impuls .

DFT har ortogonal basis ( DFT -matrise ):

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \ end {bmatrix}}}

mens DWT med Haar -bølger for lengde 4 data har ortogonal basis i radene med:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end {bmatrix}}}

(For å forenkle notasjonen brukes hele tall, så basene er ortogonale, men ikke ortonormale .)

Foreløpige observasjoner inkluderer:

Sinusformede bølger varierer bare i frekvens. Den første fullfører ingen sykluser, den andre fullfører en full syklus, den tredje fullfører to sykluser, og den fjerde fullfører tre sykluser (som tilsvarer å fullføre en syklus i motsatt retning). Forskjeller i fase kan representeres ved å multiplisere en gitt basisvektor med en kompleks konstant.
Wavelets, derimot, har både frekvens og plassering. Som før fullfører den første null sykluser, og den andre fullfører en syklus. Imidlertid har den tredje og fjerde begge samme frekvens, to ganger den første. I stedet for å variere i frekvens, varierer de i beliggenhet - den tredje er null over de to første elementene, og den fjerde er null over de to andre elementene.

{\ displaystyle {\ begin {align} (1,0,0,0) & = {\ frac {1} {4}} (1,1,1,1)+{\ frac {1} {4}} (1,1, -1, -1)+{\ frac {1} {2}} (1, -1,0,0) \ qquad {\ text {Haar DWT}} \\ (1,0,0 , 0) & = {\ frac {1} {4}} (1,1,1,1)+{\ frac {1} {4}} (1, i, -1, -i)+{\ frac {1} {4}} (1, -1,1, -1)+{\ frac {1} {4}} (1, -i, -1, i) \ qquad {\ text {DFT}} \ slutt {align}}}

DWT demonstrerer lokaliseringen: termen (1,1,1,1) gir gjennomsnittlig signalverdi, (1,1, –1, –1) plasserer signalet på venstre side av domenet og (1 , –1,0,0) plasserer det på venstre side av venstre side, og avkorting på et hvilket som helst trinn gir en nedsamplet versjon av signalet:

{\ displaystyle {\ begynne {justert} og \ venstre ({\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {4}}, {\ frac { 1} {4}} \ høyre) \\ & \ venstre ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}}, 0,0 \ høyre) \ qquad {\ text {2 -term avkorting}} \\ & \ venstre (1,0,0,0 \ høyre) \ ende {justert}}}

Den sinc-funksjon , som viser domene gjenstander tids ( underskridelse og ringing ) for avkutting av en Fourier-serie.

DFT, derimot, uttrykker sekvensen ved interferens av bølger med forskjellige frekvenser-og dermed avkorting av serien gir en lavpass-filtrert versjon av serien:

{\ displaystyle {\ begynne {justert} og \ venstre ({\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {4}}, {\ frac { 1} {4}} \ høyre) \\ & \ venstre ({\ frac {3} {4}}, {\ frac {1} {4}},-{\ frac {1} {4}}, { \ frac {1} {4}} \ right) \ qquad {\ text {2-term truncation}} \\ & \ left (1,0,0,0 \ right) \ end {align}}}

Spesielt er den midtre tilnærmingen (2-sikt) forskjellig. Fra frekvensdomeneperspektivet er dette en bedre tilnærming, men fra tidsdomeneperspektivet har det ulemper-det viser undershoot -en av verdiene er negativ, selv om den originale serien er ikke-negativ overalt-og ringer , der høyre side er ikke-null, i motsetning til i wavelet-transformasjonen. På den annen side viser Fourier -tilnærmingen riktig en topp, og alle punkter er innenfor den riktige verdien, selv om alle punkter har feil. Wavelet -tilnærmingen, derimot, plasserer en topp på venstre halvdel, men har ingen topp på det første punktet, og selv om den er nøyaktig korrekt for halve verdiene (reflekterende plassering), har den en feil på for de andre verdiene. ${\ displaystyle 1/4}$ ${\ displaystyle 1/2}$

Dette illustrerer hva slags avveininger mellom disse transformasjonene, og hvordan DWT på noen måter gir foretrukket oppførsel, spesielt for modellering av transienter.

Definisjon

Ett nivå av transformasjonen

DWT for et signal beregnes ved å føre det gjennom en serie filtre. Først føres prøvene gjennom et lavpassfilter med impulsrespons som resulterer i en konvolusjon av de to: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle g}$

{\ displaystyle y [n] = (x*g) [n] = \ sum \ limit _ {k =-\ infty}^{\ infty} {x [k] g [nk]}}

Signalet brytes også ned samtidig med et høypassfilter . Utgangene gir detaljkoeffisientene (fra høypassfilteret) og tilnærmingskoeffisientene (fra lavpasset). Det er viktig at de to filtrene er relatert til hverandre, og de er kjent som et kvadraturspeilfilter . ${\ displaystyle h}$

Blokkdiagram over filteranalyse

Siden halvparten av frekvensene til signalet nå er fjernet, kan imidlertid halve prøvene kastes i henhold til Nyquists regel. Filterutgangen til lavpassfilteret i diagrammet ovenfor blir deretter subsamplet med 2 og videre behandlet ved å passere det igjen gjennom et nytt lavpassfilter og et høypassfilter med halvparten av cut-off-frekvensen til den forrige, dvs: ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$

{\ displaystyle y _ {\ mathrm {low}} [n] = \ sum \ limit _ {k =-\ infty}^{\ infty} {x [k] g [2n-k]}}

{\ displaystyle y _ {\ mathrm {high}} [n] = \ sum \ limit _ {k =-\ infty}^{\ infty} {x [k] h [2n-k]}}

Denne nedbrytningen har halvert tidsoppløsningen siden bare halvparten av hver filterutgang karakteriserer signalet. Hver utgang har imidlertid halve frekvensbåndet til inngangen, så frekvensoppløsningen er doblet.

Med undersamplingsoperatøren ${\ displaystyle \ downarrow}$

{\ displaystyle (y \ downarrow k) [n] = y [kn]}

summeringen ovenfor kan skrives mer konsist.

{\ displaystyle y _ {\ mathrm {low}} = (x*g) \ nedover 2}

{\ displaystyle y _ {\ mathrm {high}} = (x*h) \ nedover 2}

Men å beregne en fullstendig konvolusjon med påfølgende nedprøvetaking ville kaste bort beregningstid. ${\ displaystyle x*g}$

Den Løfte ordningen er en optimalisering hvor disse to beregninger, er innfelt.

Kaskader og filterbanker

Denne dekomponeringen gjentas for ytterligere å øke frekvensoppløsningen og tilnærmingskoeffisientene dekomponert med høy- og lavpassfiltre og deretter ned-samplet. Dette er representert som et binært tre med noder som representerer et underrom med en annen lokalisering av tidfrekvenser. Treet er kjent som en filterbank .

En filterfilter på 3 nivåer

På hvert nivå i diagrammet ovenfor blir signalet dekomponert til lave og høye frekvenser. På grunn av nedbrytningsprosessen må inngangssignalet være et multiplum hvor antallet nivåer er. ${\ displaystyle 2^{n}}$ ${\ displaystyle n}$

For eksempel produseres et signal med 32 sampler, frekvensområde 0 til og 3 nedbrytningsnivåer, 4 utgangsskalaer: ${\ displaystyle f_ {n}}$

Nivå	Frekvenser	Prøver
3	${\ displaystyle 0}$ til ${\ displaystyle {f_ {n}}/8}$	4
3	${\ displaystyle {f_ {n}}/8}$ til ${\ displaystyle {f_ {n}}/4}$	4
2	${\ displaystyle {f_ {n}}/4}$ til ${\ displaystyle {f_ {n}}/2}$	8
1	${\ displaystyle {f_ {n}}/2}$ til ${\ displaystyle f_ {n}}$	16

Frekvensdomene representasjon av DWT

Forholdet til morbølgen

Filterbankimplementeringen av bølger kan tolkes som å beregne wavelet -koeffisientene til et diskret sett med barnebølger for en gitt mor -wavelet . I tilfelle av den diskrete wavelet -transformasjonen blir morwavelet forskjøvet og skalert med to makter ${\ displaystyle \ psi (t)}$

${\ displaystyle \ psi _ {j, k} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2^{j}}}} \ psi \ venstre ({\ frac {t-k2^{j}} {2^{j}}} \ høyre)}$

hvor er skalaparameteren og er skiftparameteren, som begge er heltall. ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle k}$

Husk at wavelet -koeffisienten for et signal er projeksjonen av på en wavelet, og la det være et lengdesignal . Når det gjelder en barnewavelet i den diskrete familien ovenfor, ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle x (t)}$ ${\ displaystyle x (t)}$ ${\ displaystyle x (t)}$ ${\ displaystyle 2^{N}}$

${\ displaystyle \ gamma _ {jk} = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x (t) {\ frac {1} {\ sqrt {2^{j}}}} \ psi \ venstre ( {\ frac {t-k2^{j}} {2^{j}}} \ høyre) dt}$

Nå fikser du i en bestemt skala, så det er bare en funksjon av . I lys av ligningen ovenfor kan den sees på som en konvolusjon av med en utvidet, reflektert og normalisert versjon av morbølgen , samplet på punktene . Men dette er nettopp hva detaljkoeffisientene gir på nivå med den diskrete wavelet -transformasjonen. Derfor, for et passende valg av og , tilsvarer detaljkoeffisientene til filterbanken nøyaktig en wavelet -koeffisient for et diskret sett med barnebølger for en gitt mor -wavelet . ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {jk}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {jk}}$ ${\ displaystyle x (t)}$ ${\ displaystyle h (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2^{j}}}} \ psi \ venstre ({\ frac {-t} {2^{j}}} \ høyre)}$ ${\ displaystyle 1,2^{j}, 2^{2j}, ..., 2^{N}}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle h [n]}$ ${\ displaystyle g [n]}$ ${\ displaystyle \ psi (t)}$

Tenk som et eksempel på den diskrete Haar wavelet , hvis mor wavelet er . Så er den utvidede, reflekterte og normaliserte versjonen av denne wavelet , som faktisk er høypass -dekomponeringsfilteret for den diskrete Haar -wavelet -transformasjonen. ${\ displaystyle \ psi = [1, -1]}$ ${\ displaystyle h [n] = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} [-1,1]}$

Tidskompleksitet

Filterbankimplementeringen av Discrete Wavelet Transform tar bare O ( N ) i visse tilfeller, sammenlignet med O ( N log N ) for den raske Fourier -transformasjonen .

Vær oppmerksom på at hvis og begge er en konstant lengde (dvs. at lengden er uavhengig av N), så og hver tar O ( N ) tid. Wavelet filterbank gjør hver av disse to O ( N ) -konvolusjonene, og deler deretter signalet i to grener av størrelse N/2. Men den bare rekursivt deler den øvre grenen som er involvert med (i motsetning til FFT, som rekursivt deler både den øvre grenen og den nedre grenen). Dette fører til følgende gjentakelsesforhold ${\ displaystyle g [n]}$ ${\ displaystyle h [n]}$ ${\ displaystyle x*h}$ ${\ displaystyle x*g}$ ${\ displaystyle g [n]}$

{\ displaystyle T (N) = 2N+T \ venstre ({\ frac {N} {2}} \ høyre)}

som fører til en O ( N ) tid for hele operasjonen, som det kan vises ved en geometrisk serieutvidelse av forholdet ovenfor.

Som et eksempel, den diskrete Haar wavelet transform er lineær, da det i dette tilfelle og er konstant lengde 2. ${\ displaystyle h [n]}$ ${\ displaystyle g [n]}$

{\ displaystyle h [n] = \ venstre [{\ frac {-{\ sqrt {2}}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ høyre] g [n] = \ venstre [{\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ høyre]}

Lokaliteten til bølger, kombinert med O ( N ) -kompleksiteten, garanterer at transformasjonen kan beregnes online (på streamingbasis). Denne egenskapen står i skarp kontrast til FFT, som krever tilgang til hele signalet samtidig. Det gjelder også for flerskala-transformasjonen og også for de flerdimensjonale transformasjonene (f.eks. 2-D DWT).

Andre transformasjoner

Den Adam7 algoritme , brukt for sammenfletting i Portable Network Graphics (PNG), er en Multiskala modell av dataene som er lik en DWT med Haar småbølger . I motsetning til DWT har den en bestemt skala-den starter fra en 8 × 8-blokk, og den nedprøver bildet, i stedet for å desimere ( lavpass-filtrering , deretter ned-sampling). Det gir dermed dårligere frekvensatferd, og viser artefakter ( pikselering ) i de tidlige stadiene, i retur for enklere implementering.
Den multiplikative (eller geometriske) diskrete wavelet -transformasjonen er en variant som gjelder for en observasjonsmodell som involverer interaksjoner mellom en positiv regulær funksjon og en multiplikativ uavhengig positiv støy , med . Betegn , en wavelet -transformasjon. Siden da er standard (additiv) diskret wavelet -transform slik at der detaljkoeffisienter ikke kan betraktes som sparsomme generelt, på grunn av bidraget fra det siste uttrykket. I den multiplikative rammen, wavelet-transformasjonen er slik at denne `innleiring' av småbølger i en multiplikativ algebra innebærer generalisert multiplikative tilnærmelser og detalj operatører: For eksempel, i tilfelle av Haar småbølger, og deretter opp til normalisering koeffisient , de vanlige tilnærmelser ( aritmetisk middelverdi ) og detaljer ( aritmetisk differences ) blir henholdsvis geometriske gjennomsnitts tilnærmelser og geometriske forskjeller (detaljer) ved bruk . ${\ displaystyle {\ bf {y}} = f {\ bf {X}}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} X = 1}$ ${\ displaystyle {\ cal {W}}}$ ${\ displaystyle f {\ bf {X}} = f+{f ({\ bf {X}}-1)}}$ ${\ displaystyle {\ cal {W^{+}}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {W^{+}}} {\ bf {y}} = {\ cal {W^{+}}} f+{\ cal {W^{+}}} {f ({\ bf {X}}-1)},}$ ${\ displaystyle {\ cal {W^{+}}} {f ({\ bf {X}}-1)}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ cal {W^{\ times}}} {\ bf {y}} = \ left ({\ cal {W^{\ times}}} f \ right) \ times \ left ({\ cal {W^{\ times}}} {\ bf {X}} \ høyre).}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle {\ cal {W^{+}}}}$ ${\ displaystyle c_ {k} = \ alpha (y_ {k}+y_ {k-1})}$ ${\ displaystyle d_ {k} = \ alpha (y_ {k} -y_ {k-1})}$ ${\ displaystyle c_ {k}^{\ ast} = (y_ {k} \ ganger y_ {k-1})^{\ alpha}}$ ${\ displaystyle d_ {k}^{\ ast} = \ left ({\ frac {y_ {k}} {y_ {k-1}}} \ right)^{\ alpha}}$ ${\ displaystyle {\ cal {W^{\ times}}}}$

Kodeksempel

I sin enkleste form er DWT bemerkelsesverdig lett å beregne.

The Haar bølge i Java :

public static int[] discreteHaarWaveletTransform(int[] input) {
    // This function assumes that input.length=2^n, n>1
    int[] output = new int[input.length];

    for (int length = input.length / 2; ; length = length / 2) {
        // length is the current length of the working area of the output array.
        // length starts at half of the array size and every iteration is halved until it is 1.
        for (int i = 0; i < length; ++i) {
            int sum = input[i * 2] + input[i * 2 + 1];
            int difference = input[i * 2] - input[i * 2 + 1];
            output[i] = sum;
            output[length + i] = difference;
        }
        if (length == 1) {
            return output;
        }

        //Swap arrays to do next iteration
        System.arraycopy(output, 0, input, 0, length);
    }
}

Komplett Java-kode for en 1-D og 2-D DWT ved hjelp av Haar , Daubechies , Coiflet og Legendre wavelets er tilgjengelig fra open source-prosjektet: JWave . Videre en rask løfting gjennomføring av den diskrete biorthogonal CDF 9/7 wavelet transform i C , som brukes i JPEG 2000 kan bildekomprimeringsstandard som finnes her (arkivert 05.03.2012).

Eksempel på koden ovenfor

Et eksempel på å beregne de diskrete Haar -wavelet -koeffisientene for et lydsignal fra noen som sier "I Love Wavelets." Den originale bølgeformen er vist i blått øverst til venstre, og wavelet -koeffisientene er vist i svart øverst til høyre. Langs bunnen vises tre innzoomede områder av wavelet-koeffisientene for forskjellige områder.

Denne figuren viser et eksempel på bruk av koden ovenfor for å beregne Haar -wavelet -koeffisientene på en lydbølgeform. Dette eksemplet fremhever to viktige egenskaper ved wavelet -transformasjonen:

Naturlige signaler har ofte en viss glatthet, noe som gjør dem sparsomme i wavelet -domenet. Det er langt færre signifikante komponenter i wavelet -domenet i dette eksemplet enn det er i tidsdomenet, og de fleste av de viktige komponentene er mot de grovere koeffisientene til venstre. Derfor er naturlige signaler komprimerbare i wavelet -domenet.
Wavelet -transformasjonen er en multiresolusjon, båndpass -representasjon av et signal. Dette kan sees direkte fra filterbankdefinisjonen av den diskrete wavelet -transformasjonen gitt i denne artikkelen. For et lengdesignal representerer koeffisientene i området en versjon av det originale signalet som er i passbåndet . Dette er grunnen til at zooming inn på disse områdene av wavelet -koeffisientene ser så strukturelt ut som det originale signalet. Områder som er nærmere venstre (større i notasjonen ovenfor), er grovere representasjoner av signalet, mens områder til høyre representerer finere detaljer. ${\ displaystyle 2^{N}}$ ${\ displaystyle [2^{Nj}, 2^{N-j+1}]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ pi} {2^{j}}}, {\ frac {\ pi} {2^{j-1}}} \ right]}$ ${\ displaystyle j}$

Se også

Referanser

Eksterne linker

Stanford's WaveLab i matlab
libdwt , et DWT-bibliotek på tvers av plattformer skrevet i C
Kortfattet introduksjon til Wavelets av René Puschinger

^ Prasad, Akhilesh; Maan, Jeetendrasingh; Verma, Sandeep Kumar (2021). "Wavelet -transformasjoner assosiert med indeksen Whittaker -transform" . Matematiske metoder i anvendt vitenskap . n/a (n/a). doi : 10.1002/mma.7440 . ISSN 1099-1476 .

[26] Prasad, Akhilesh; Maan, Jeetendrasingh; Verma, Sandeep Kumar (2021). "Wavelet -transformasjoner assosiert med indeksen Whittaker -transform" . Matematiske metoder i anvendt vitenskap . n/a (n/a). doi : 10.1002/mma.7440 . ISSN 1099-1476 .

Languages

In other projects