Diskretisering - Discretization

I anvendt matematikk er diskretisering prosessen med å overføre kontinuerlige funksjoner, modeller, variabler og ligninger til diskrete motstykker. Denne prosessen utføres vanligvis som et første skritt mot å gjøre dem egnet for numerisk evaluering og implementering på digitale datamaskiner. Dikotomisering er det spesielle tilfellet av diskretisering der antallet diskrete klasser er 2, som kan tilnærme en kontinuerlig variabel som en binær variabel (skape en dikotomi for modelleringsformål , som i binær klassifisering ).

Diskretisering er også relatert til diskret matematikk , og er en viktig komponent i granulær databehandling . I denne sammenheng, diskretiseringen kan også henvise til modifisering av variabel eller kategori kornethet , som når flere diskrete variabler er aggregert eller flere atskilte kategorier smeltet.

Når kontinuerlig data diskresiseres , er det alltid en viss diskretiseringsfeil . Målet er å redusere mengden til et nivå som anses å være ubetydelig for modelleringsformålet .

Begrepene diskretisering og kvantisering har ofte den samme betegnelsen, men ikke alltid identiske konnotasjoner . (Nærmere bestemt deler de to begrepene et semantisk felt .) Det samme gjelder diskretiseringsfeil og kvantiseringsfeil .

Matematiske metoder knyttet til diskretisering inkluderer Euler – Maruyama-metoden og nullbestillingshold .

Diskretisering av lineære tilstandsrommodeller

Diskretisering er også opptatt av transformasjonen av kontinuerlige differensiallikninger til diskrete differensialligninger , egnet for numerisk beregning .

Følgende statlige romfartsmodell for kontinuerlig tid

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t) + \ mathbf {w } (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {C} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {D} \ mathbf {u} (t) + \ mathbf {v} (t)}$

der v og w er kontinuerlige null-middelhvite støykilder med effektspektral tetthet

${\ displaystyle \ mathbf {w} (t) \ sim N (0, \ mathbf {Q})}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} (t) \ sim N (0, \ mathbf {R})}$

kan diskretiseres, forutsatt at null-ordens hold for inngangen u og kontinuerlig integrasjon for støyen v , til

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = \ mathbf {A} _ {d} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {B} _ {d} \ mathbf {u} [k] + \ mathbf {w} [k]}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} [k] = \ mathbf {C} _ {d} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {D} _ {d} \ mathbf {u} [k] + \ mathbf {v} [k]}$

med kovarianter

${\ displaystyle \ mathbf {w} [k] \ sim N (0, \ mathbf {Q} _ {d})}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} [k] \ sim N (0, \ mathbf {R} _ {d})}$

hvor

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {d} = e ^ {\ mathbf {A} T} = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {(s \ mathbf {I} - \ mathbf {A }) ^ {- 1} \} _ {t = T}}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {d} = \ left (\ int _ {\ tau = 0} ^ {T} e ^ {\ mathbf {A} \ tau} d \ tau \ right) \ mathbf {B } = \ mathbf {A} ^ {- 1} (\ mathbf {A} _ {d} -I) \ mathbf {B}}$, hvis er ikke- singular${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {d} = \ mathbf {C}}$

${\ displaystyle \ mathbf {D} _ {d} = \ mathbf {D}}$

${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {d} = \ int _ {\ tau = 0} ^ {T} e ^ {\ mathbf {A} \ tau} \ mathbf {Q} e ^ {\ mathbf {A} ^ {\ top} \ tau} d \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {d} = \ mathbf {R} {\ frac {1} {T}}}$

og er prøvetiden, men er den transponerte matrisen til . Ligningen for den diskretiserte målestøyen er en konsekvens av at kontinuerlig målestøy er definert med en effektspektral tetthet. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ top}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Et smart triks for å beregne A _d og B _d i ett trinn er å bruke følgende egenskap:

${\ displaystyle e ^ {{\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} & \ mathbf {B} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {0} \ end {bmatrix}} T} = {\ begin {bmatrix } \ mathbf {A_ {d}} & \ mathbf {B_ {d}} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {I} \ end {bmatrix}}}$

Hvor og er de diskretiserte statsrom-matrisene. ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {d}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {d}}$

Diskretisering av prosessstøy

Numerisk evaluering av er litt vanskeligere på grunn av den eksponentielle integrasjonen for matrisen. Den kan imidlertid beregnes ved først å konstruere en matrise og beregne den eksponentielle av den ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {d}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ begin {bmatrix} - \ mathbf {A} & \ mathbf {Q} \\\ mathbf {0} & \ mathbf {A} ^ {\ top} \ end {bmatrix} } T}$

${\ displaystyle \ mathbf {G} = e ^ {\ mathbf {F}} = {\ begin {bmatrix} \ prikker & \ mathbf {A} _ {d} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {d } \\\ mathbf {0} & \ mathbf {A} _ {d} ^ {\ top} \ end {bmatrix}}.}$

Den diskretiserte prosessstøyen blir deretter evaluert ved å multiplisere transposisjonen av den nedre høyre partisjonen av G med den øvre høyre partisjonen av G :

${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {d} = (\ mathbf {A} _ {d} ^ {\ top}) ^ {\ top} (\ mathbf {A} _ {d} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {d}) = \ mathbf {A} _ {d} (\ mathbf {A} _ {d} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {d}).}$

Derivasjon

Starter med den kontinuerlige modellen

${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {x}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}$

vi vet at matrisen eksponensiell er

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {\ mathbf {A} t} = \ mathbf {A} e ^ {\ mathbf {A} t} = e ^ {\ mathbf {A} t} \ mathbf {A}}$

og ved å multipultere modellen vi får

${\ displaystyle e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {\ dot {x}} (t) = e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t ) + e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}$

som vi kjenner igjen som

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {x} (t)) = e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {B } \ mathbf {u} (t)}$

og ved å integrere ..

${\ displaystyle e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {x} (t) -e ^ {0} \ mathbf {x} (0) = \ int _ {0} ^ {t} e ^ { - \ mathbf {A} \ tau} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = e ^ {\ mathbf {A} t} \ mathbf {x} (0) + \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ mathbf {A} ( t- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

som er en analytisk løsning på den kontinuerlige modellen.

Nå ønsker vi å diskriminere ovennevnte uttrykk. Vi antar at u er konstant under hvert tidspunkt.

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ mathbf {x} (kT)}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k] = e ^ {\ mathbf {A} kT} \ mathbf {x} (0) + \ int _ {0} ^ {kT} e ^ {\ mathbf {A} ( kT- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = e ^ {\ mathbf {A} (k + 1) T} \ mathbf {x} (0) + \ int _ {0} ^ {(k + 1 ) T} e ^ {\ mathbf {A} ((k + 1) T- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = e ^ {\ mathbf {A} T} \ left [e ^ {\ mathbf {A} kT} \ mathbf {x} (0) + \ int _ { 0} ^ {kT} e ^ {\ mathbf {A} (kT- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau \ right] + \ int _ {kT} ^ { (k + 1) T} e ^ {\ mathbf {A} (kT + T- \ tau)} \ mathbf {B} \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

Vi gjenkjenner parentesuttrykket som , og det andre begrepet kan forenkles ved å erstatte funksjonen . Legg merke til at . Vi antar også at det er konstant under integralen , som igjen gir ${\ displaystyle \ mathbf {x} [k]}$${\ displaystyle v (\ tau) = kT + T- \ tau}$${\ displaystyle d \ tau = -dv}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrise} \ mathbf {x} [k + 1] & = & e ^ {\ mathbf {A} T} \ mathbf {x} [k] - \ left (\ int _ {v (kT )} ^ {v ((k + 1) T)} e ^ {\ mathbf {A} v} dv \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k] \\ & = & e ^ {\ mathbf {A} T} \ mathbf {x} [k] - \ left (\ int _ {T} ^ {0} e ^ {\ mathbf {A} v} dv \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u } [k] \\ & = & e ^ {\ mathbf {A} T} \ mathbf {x} [k] + \ left (\ int _ {0} ^ {T} e ^ {\ mathbf {A} v} dv \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k] \\ & = & e ^ {\ mathbf {A} T} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {A} ^ {- 1} \ left (e ^ {\ mathbf {A} T} - \ mathbf {I} \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k] \ end {matrix}}}$

som er en eksakt løsning på diskretiseringsproblemet.

Når er entall, kan sistnevnte uttrykk fortsatt brukes ved å erstatte det med Taylor-utvidelsen , ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T}}$

${\ displaystyle e ^ {{\ mathbf {A}} T} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}} ({\ mathbf {A}} T) ^ {k}.}$

Dette gir

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbf {x} [k + 1] & = & e ^ {{\ mathbf {A}} T} \ mathbf {x} [k] + \ left (\ int _ {0 } ^ {T} e ^ {{\ mathbf {A}} v} dv \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k] \\ & = & \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}} ({\ mathbf {A}} T) ^ {k} \ right) \ mathbf {x} [k] + \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}} {\ Mathbf {A}} ^ {k-1} T ^ {k} \ right) \ mathbf {B} \ mathbf {u} [k], \ end {matrix}}}$

som er formen som brukes i praksis.

Tilnærminger

Nøyaktig diskretisering kan noen ganger være uoppnåelig på grunn av de tunge eksponensielle og integrerte operasjonene. Det er mye enklere å beregne en tilnærmet diskret modell, basert på den for små tidssteg . Den omtrentlige løsningen blir da: ${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T} \ approx \ mathbf {I} + \ mathbf {A} T}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] \ approx (\ mathbf {I} + \ mathbf {A} T) \ mathbf {x} [k] + T \ mathbf {B} \ mathbf {u} [ k]}$

Dette er også kjent som Euler-metoden , som også er kjent som den fremre Euler-metoden. Andre mulige tilnærminger er , ellers kjent som bakover Euler-metoden, og som er kjent som bilinær transform , eller Tustin-transform. Hver av disse tilnærmingene har forskjellige stabilitetsegenskaper. Den bilineære transformasjonen bevarer ustabiliteten til systemet med kontinuerlig tid. ${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T} \ approx \ left (\ mathbf {I} - \ mathbf {A} T \ right) ^ {- 1}}$${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T} \ approx \ left (\ mathbf {I} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {A} T \ right) \ left (\ mathbf {I } - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {A} T \ right) ^ {- 1}}$

Diskretisering av kontinuerlige funksjoner

I statistikk og maskinlæring refererer diskretisering til prosessen med å konvertere kontinuerlige funksjoner eller variabler til diskretiserte eller nominelle funksjoner. Dette kan være nyttig når du lager sannsynlighetsmassefunksjoner.

Diskretisering av glatte funksjoner

I teorien om generaliserte funksjoner oppstår diskretisering som et spesielt tilfelle av Convolution Theorem på tempererte distribusjoner

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * \ operatorname {III} \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot \ operatorname {III}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {\ alpha \ cdot \ operatorname {III} \} = {\ mathcal {F}} \ {\ alpha \} * \ operatorname {III}}$

hvor er Dirac-kam , er diskretisering, er periodisering , er en raskt avtagende herdet fordeling (f.eks. en Dirac delta-funksjon eller en hvilken som helst annen kompakt støttet funksjon), er en jevn , sakte voksende vanlig funksjon (f.eks. funksjonen som er konstant eller en hvilken som helst annen båndbegrenset funksjon) og er (enhetlig, vanlig frekvens) Fourier-transform . Funksjoner som ikke er glatte, kan gjøres glatte ved hjelp av en lyddemper før diskretisering. ${\ displaystyle \ operatorname {III}}$${\ displaystyle \ cdot \ operatorname {III}}$${\ displaystyle * \ operatorname {III}}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ alpha}$

Som et eksempel gir diskretisering av funksjonen som kontinuerlig er sekvensen som, tolket som koeffisientene til en lineær kombinasjon av Dirac-delta-funksjoner , danner en Dirac-kam . Hvis det i tillegg blir avkorting , får man endelige sekvenser, f.eks . De er diskrete i både tid og frekvens. ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle [.., 1,1,1, ..]}$${\ displaystyle [1,1,1,1]}$

Se også

• Diskret hendelsessimulering
• Diskret rom
• Diskret tid og kontinuerlig tid
• Endelig forskjellsmetode
• Endelig volummetode for ustabil flyt
• Utjevning
• Stokastisk simulering
• Tidsskala kalkulator

Referanser

Videre lesning

• Robert Grover Brown & Patrick YC Hwang (1997). Introduksjon til tilfeldige signaler og anvendt Kalman-filtrering (3. utg.). ISBN 978-0471128397.
• Chi-Tsong Chen (1984). Lineær systemteori og design . Philadelphia, PA, USA: Saunders College Publishing. ISBN 978-0030716911.
• C. Van Loan (juni 1978). "Dataintegraler som involverer eksponentiell matrise" (PDF) . IEEE-transaksjoner med automatisk kontroll . 23 (3): 395–404. doi : 10.1109 / TAC.1978.1101743 . hdl : 1813/7095 .
• RH Middleton & GC Goodwin (1990). Digital kontroll og estimering: en enhetlig tilnærming . s. 33f. ISBN 978-0132116657.

Eksterne linker