Divergens - Divergence

Et vektorfelt med divergerende vektorer, et vektorfelt med konvergerende vektorer og et vektorfelt med parallelle vektorer som verken divergerer eller konvergerer
Divergensen mellom forskjellige vektorfelt. Divergensen av vektorer fra punkt (x, y) er lik summen av det partielle derivatet-med-respekt-til-x av x-komponenten og det partielle derivatet-med-respekt-til-y av y-komponenten ved det punkt:

I vektorberegning er divergens en vektoroperator som opererer på et vektorfelt og produserer et skalarfelt som gir mengden av vektorfeltets kilde på hvert punkt. Mer teknisk representerer divergensen volumtettheten til den utadgående fluksen til et vektorfelt fra et uendelig volum rundt et gitt punkt.

Som et eksempel, kan du vurdere luft mens den varmes opp eller avkjøles. Den hastighet av luften ved hvert punkt definerer et vektorfeltet. Mens luft blir oppvarmet i et område, ekspanderer det i alle retninger, og dermed peker hastighetsfeltet utover fra det området. Divergensen av hastighetsfeltet i den regionen vil dermed ha en positiv verdi. Mens luften er avkjølt og dermed trekker seg sammen, har divergensen av hastigheten en negativ verdi.

Fysisk tolkning av divergens

I fysiske termer er divergensen av et vektorfelt i hvilken grad vektorfeltstrømmen oppfører seg som en kilde på et gitt punkt. Det er et lokalt mål på dets "utadvendthet" - i hvilken grad det er flere av feltvektorene som forlater et uendelig romområde enn å komme inn i det. Et punkt der fluksen er utgående har positiv divergens, og kalles ofte en "kilde" til feltet. Et punkt der fluksen er rettet innover har negativ divergens, og kalles ofte en "synke" av feltet. Jo større feltstrømmen gjennom en liten overflate som omslutter et gitt punkt, desto større er verdien av divergens på det punktet. Et punkt der det er null fluks gjennom en omsluttende overflate har null divergens.

Divergensen av et vektorfelt er ofte illustrert ved å bruke eksemplet på hastighetsfeltet til en væske, en væske eller en gass. En gass i bevegelse har en hastighet , en hastighet og retning ved hvert punkt som kan representeres av en vektor , slik at gassens hastighet danner et vektorfelt . Hvis en gass blir oppvarmet, vil den ekspandere. Dette vil føre til en netto bevegelse av gasspartikler utover i alle retninger. Enhver lukket overflate i gassen vil omslutte gass som ekspanderer, så det vil være en utstrømning av gass gjennom overflaten. Så hastighetsfeltet vil ha positiv divergens overalt. Tilsvarende, hvis gassen blir avkjølt, vil den trekke seg sammen. Det vil være mer plass til gasspartikler i et hvilket som helst volum, så det ytre trykket til væsken vil føre til en netto strøm av gassvolum innover gjennom en lukket overflate. Derfor har hastighetsfeltet negativ divergens overalt. I kontrast, i en gass ved konstant temperatur og trykk, er nettofluxen av gass fra en lukket overflate null. Gassen kan være i bevegelse, men volumhastigheten av gass som strømmer inn i en hvilken som helst lukket overflate må være lik volumet hastighet som strømmer ut, slik at det netto fluksen er null. Dermed har gasshastigheten null divergens overalt. Et felt som har null divergens overalt kalles solenoidalt .

Hvis gassen bare varmes opp på et punkt eller et lite område, eller et lite rør blir introdusert som tilfører en kilde til ekstra gass på et tidspunkt, vil gassen der ekspandere og presse væskepartikler rundt den utover i alle retninger. Dette vil forårsake et ytre hastighetsfelt gjennom gassen, sentrert på det oppvarmede punktet. Enhver lukket overflate som omslutter det oppvarmede punktet vil ha en strøm av gasspartikler som passerer ut av det, så det er positiv divergens på det tidspunktet. Imidlertid vil enhver lukket overflate som ikke omslutter punktet ha en konstant tetthet av gass inni, så like mange væskepartikler kommer inn som forlater volumet, og dermed er nettofluksen ut av volumet null. Derfor er divergensen på et annet punkt null.

Definisjon

Divergensen ved et punkt x er grensen av forholdet mellom den fluks gjennom overflaten S i (røde piler) til volumet for en hvilken som helst sekvens av lukkede regioner V- 1 , V- 2 , V 3 , ... omslutter x som nærmer seg null volum:

Divergensen av et vektorfelt F ( x ) ved et punkt x 0 er definert som grensen for forholdet mellom overflateintegralet av F ut av overflaten til et lukket volum V som omslutter x 0 til volumet av V , ettersom V krymper til null

\ oiint

hvor | V | er volumet av V , S ( V ) er grensen til V , og er den ytre enheten normal til overflaten. Det kan vises at grensen ovenfor alltid konvergerer til samme verdi for enhver volumssekvens som inneholder x 0 og nærmer seg null volum. Resultatet, div F , er en skalarfunksjon på x .

Siden denne definisjonen er koordinatfri, viser den at divergensen er den samme i ethvert koordinatsystem . Imidlertid brukes den ikke ofte praktisk for å beregne divergens; når vektorfeltet er gitt i et koordinatsystem, er koordinatdefinisjonene nedenfor mye enklere å bruke.

Et vektorfelt med null divergens overalt kalles solenoidalt - i så fall har en lukket overflate ingen nettoverstrømning over den.

Definisjon i koordinater

Kartesiske koordinater

I tredimensjonale kartesiske koordinater er divergensen av et kontinuerlig differensierbart vektorfelt definert som den skalære funksjonen:

Selv om det er uttrykt i koordinater, er resultatet uforanderlig under rotasjoner , som den fysiske tolkningen antyder. Dette er fordi sporet av den jakobiske matrisen til et N -dimensjonalt vektorfelt F i N -dimensjonalt rom er invariant under enhver inverterbar lineær transformasjon.

Den vanlige notasjonen for divergensen ∇ · F er en praktisk minnetegn, der prikken angir en operasjon som minner om prikkproduktet : ta komponentene til -operatøren (se del ), bruk dem på de tilsvarende komponentene i F , og summer summen resultater. Fordi det å bruke en operatør er forskjellig fra å multiplisere komponentene, anses dette som et misbruk av notasjon .

Sylindriske koordinater

For en vektor uttrykt i lokal enhet sylindriske koordinater som

der e a er enhetsvektoren i retning a , er divergensen

Bruk av lokale koordinater er avgjørende for uttrykketes gyldighet. Hvis vi betrakter x posisjonsvektoren og funksjonene r ( x ) , θ ( x ) , og z ( x ) , som tildeler den tilsvarende globale sylindrisk koordinat til en vektor, generelt , og . Spesielt hvis vi vurderer identitetsfunksjonen F ( x ) = x , finner vi at:

.

Sfæriske koordinater

I sfæriske koordinater , med θ vinkelen med z -aksen og φ rotasjonen rundt z -aksen, og F igjen skrevet i lokale enhetskoordinater, er divergensen

Tensorfelt

La A være kontinuerlig differensierbart andreordens tensorfelt definert som følger:

Divergensen i kartesisk koordinatsystem er et førsteordens tensorfelt og kan defineres på to måter:

og

Vi har

Hvis tensor er symmetrisk A ij = A ji da . På grunn av dette brukes ofte i litteraturen de to definisjonene (og symbolene div og ) om hverandre (spesielt i mekaniske ligninger der tensorsymmetri er antatt).

Uttrykk av i sylindriske og sfæriske koordinater er gitt i artikkelen del i sylindriske og sfæriske koordinater .

Generelle koordinater

Ved å bruke Einstein -notasjon kan vi vurdere divergensen i generelle koordinater , som vi skriver som x 1 ,…, x i ,…, x n , hvor n er antall dimensjoner på domenet. Her refererer den øvre indeksen til nummeret på koordinaten eller komponenten, så x 2 refererer til den andre komponenten, og ikke mengden x i kvadrat. Indeksvariabelen i brukes til å referere til en vilkårlig komponent, for eksempel x i . Divergensen kan deretter skrives via Voss - Weyl -formelen, som:

hvor er den lokale koeffisienten for volumelementet og F i er komponentene i F med hensyn til det lokale unormaliserte kovariansgrunnlaget (noen ganger skrevet som ) . Einstein -notasjonen innebærer summering over i , siden den fremstår som både en øvre og en nedre indeks.

Volumkoeffisienten ρ er en posisjonsfunksjon som avhenger av koordinatsystemet. I kartesiske, sylindriske og sfæriske koordinater, ved bruk av de samme konvensjonene som før, har vi henholdsvis ρ = 1 , ρ = r og ρ = r 2 sin θ . Volumet kan også uttrykkes som , hvor g ab er den metriske tensoren . De determinant vises fordi den gir et passende invariant definisjonen av volumet, gitt et sett av vektorer. Siden determinanten er en skalær mengde som ikke er avhengig av indeksene, kan disse undertrykkes ved å skrive . Den absolutte verdien er tatt for å håndtere det generelle tilfellet der determinanten kan være negativ, for eksempel i pseudo-Riemanniske mellomrom. Grunnen til kvadratroten er litt subtil: den unngår effektivt dobbelttelling når man går fra buede til kartesiske koordinater og tilbake. Volumet (determinanten) kan også forstås som jakobianeren for transformasjonen fra kartesiske til krøllete koordinater, som for n = 3 gir .

Noen konvensjoner forventer at alle lokale basiselementer blir normalisert til enhetslengde, slik det ble gjort i de foregående seksjonene. Hvis vi skriver for det normaliserte grunnlaget, og for komponentene i F med hensyn til det, har vi det

ved å bruke en av egenskapene til den metriske tensoren. Ved å prikke begge sider av den siste likestillingen med det kontravariantelementet , kan vi konkludere med det . Etter erstatning blir formelen:

Se § I krøllete koordinater for videre diskusjon.

Egenskaper

De følgende egenskapene kan alle stammer fra de vanlige differensieringsreglene for beregning . Viktigst av alt er divergensen en lineær operator , dvs.

for alle vektorfeltene F og G og alle reelle tall a og b .

Det er en produktregel av følgende type: hvis φ er en skalærverdifunksjon og F er et vektorfelt, så

eller i mer antydende notasjon

En annen produktregel for kryssproduktet av to vektorfelt F og G i tre dimensjoner involverer krøllen og lyder som følger:

eller

Den Laplace-operatoren av et skalarfelt er divergensen av feltets gradient :

Divergensen av krøllen til et hvilket som helst vektorfelt (i tre dimensjoner) er lik null:

Dersom en vektor felt F med null divergens er definert på en ball i R 3 , så foreligger det en viss vektorfelt G videre med ballen F = curl G . For regioner i R 3 som er mer topologisk kompliserte enn dette, kan sistnevnte utsagn være feil (se Poincaré lemma ). Graden av svikt i utsagnets sannhet, målt ved homologien til kjedekomplekset

fungerer som en fin kvantifisering av complicatedness av den underliggende region U . Dette er begynnelsen og hovedmotivasjonene til de Rham kohomologi .

Nedbrytningssetning

Det kan vises at enhver stasjonær fluks v ( r ) som to ganger er kontinuerlig differensierbar i R 3 og forsvinner tilstrekkelig fort for | r | → ∞ kan dekomponeres unikt til en irrotasjonsdel E ( r ) og en kildefri del B ( r ) . Dessuten bestemmes disse delene eksplisitt av de respektive kildetettheter (se ovenfor) og sirkulasjonstettheter (se artikkelen Curl ):

For den irrotasjonelle delen man har

med

Den kildefrie delen, B , kan skrives på samme måte: man trenger bare å erstatte skalarpotensialet Φ ( r ) med et vektorpotensial A ( r ) og begrepene −∇Φ med +∇ × A , og kildetettheten div v av sirkulasjonstettheten ∇ × v .

Denne "dekomponeringsteoremet" er et biprodukt av det stasjonære tilfellet av elektrodynamikk . Det er et spesielt tilfelle av den mer generelle Helmholtz -spaltningen , som også fungerer i dimensjoner større enn tre.

I vilkårlige dimensjoner

Divergensen av et vektorfelt kan defineres i et hvilket som helst antall dimensjoner. Hvis

i et euklidisk koordinatsystem med koordinater x 1 , x 2 , ..., x n , definere

Når det gjelder én dimensjon, reduseres F til en vanlig funksjon, og divergensen reduseres til derivatet.

For enhver n er divergensen en lineær operator, og den tilfredsstiller "produktregelen"

for enhver skalar-verdifull funksjon φ .

Forhold til det utvendige derivatet

Man kan uttrykke divergensen som et spesielt tilfelle av det utvendige derivatet , som tar en 2-form til en 3-form i R 3 . Definer gjeldende to-form som

Den måler mengden av "ting" strømmer gjennom en overflate pr tidsenhet i en "ting flytende" av tetthet ρ = 1 dxdydz beveger seg med lokale hastighets F . Dens utvendige derivat dj blir deretter gitt av

hvor er kileproduktet .

Dermed kan divergensen av vektorfeltet F uttrykkes som:

Her er overskriften en av de to musikalske isomorfismene , og er Hodge -stjerneoperatøren . Når divergensen skrives på denne måten, blir operatøren referert til som kodedifferensialen . Å jobbe med den nåværende toformen og det utvendige derivatet er vanligvis lettere enn å jobbe med vektorfeltet og divergensen, for i motsetning til divergensen pendler det utvendige derivatet med en endring av (krumlinjert) koordinatsystem.

I krøllete koordinater

Det riktige uttrykket er mer komplisert i kurvlinjære koordinater . Divergensen av et vektorfelt strekker seg naturlig til enhver differensierbar manifold av dimensjon n som har en volumform (eller tetthet ) μ , f.eks. En Riemannian eller Lorentzian manifold . Generalisering av konstruksjonen av en to -form for et vektorfelt på R 3 , på en slik manifold definerer et vektorfelt X en ( n -1 ) -form j = i X μ oppnådd ved å trekke X sammen med μ . Divergensen er da funksjonen definert av

Divergensen kan defineres i form av Lie -derivatet som

Dette betyr at divergensen måler ekspansjonshastigheten til en volumenhet (et volumelement )) når den flyter med vektorfeltet.

På en pseudo-Riemannian manifold kan divergensen med hensyn til volum uttrykkes i form av Levi-Civita-forbindelsen :

hvor det andre uttrykket er sammentrekningen av vektorfeltet verdsatt 1-form X med seg selv og det siste uttrykket er det tradisjonelle koordinatuttrykket fra Ricci calculus .

Et tilsvarende uttrykk uten å bruke en tilkobling er

hvor g er metrisk og betegner delderivatet med hensyn til koordinat x a . Kvadratroten til (absolutt verdi av determinanten til) metriket vises fordi avviket må skrives med riktig oppfatning av volumet . I krøllete koordinater er basisvektorene ikke lenger ortonormale; determinanten koder for den riktige ideen om volum i dette tilfellet. Det vises to ganger, her, en gang, slik at det kan transformeres til "flatt rom" (hvor koordinatene faktisk er ortonormale), og nok en gang slik at det også transformeres til "flatt rom", slik at til slutt den "vanlige" divergensen kan skrives med det "vanlige" volumbegrepet i flat plass ( dvs. enhetsvolum, dvs. ett, dvs. ikke nedskrevet). Kvadratroten vises i nevneren, fordi derivatet transformeres på motsatt måte ( kontravariant ) til vektoren (som er kovariant ). Denne ideen om å komme til et "flatt koordinatsystem" hvor lokale beregninger kan gjøres på en konvensjonell måte kalles en vielbein . En annen måte å se dette på er å merke seg at divergensen er kodiforskjellen i forkledning. Det vil si at divergensen svarer til uttrykket med den differensial og den Hodge stjerne . Hodge -stjernen, med sin konstruksjon, får volumformen til å vises alle de riktige stedene.

Divergensen mellom tensorer

Divergens kan også generaliseres til tensorer . I Einstein -notasjonen er divergensen av en kontravariant vektor F μ gitt av

hvor μ betegner kovariantderivatet . I denne generelle innstillingen er den riktige formuleringen av divergensen å innse at det er en kodedifferensial ; de riktige egenskapene følger derfra.

Tilsvarende definerer noen forfattere divergensen av en blandet tensor ved å bruke den musikalske isomorfismen : hvis T er en ( p , q ) - tensor ( p for den kontravariantvektoren og q for den kovariante), så definerer vi divergensen av T å være ( p , q -1 ) -tensor

det vil si at vi tar sporet over de to første kovariante indeksene til kovariansderivatet. Den symbolet henviser til musikalske isomorfi .

Se også

Merknader

Sitater

Referanser

Eksterne linker