Elastisk kollisjon - Elastic collision

Så lenge svart kroppsstråling (ikke vist) ikke unnslipper et system, gjennomgår atomer i termisk omrøring i hovedsak elastiske kollisjoner. I gjennomsnitt kommer to atomer tilbake fra hverandre med samme kinetiske energi som før en kollisjon. Fem atomer er rødfarget, slik at bevegelsesveiene deres er lettere å se.

En elastisk kollisjon er et møte mellom to kropper der den totale kinetiske energien til de to kroppene forblir den samme. I en ideell, perfekt elastisk kollisjon er det ingen netto konvertering av kinetisk energi til andre former som varme, støy eller potensiell energi.

Under kollisjon av små gjenstander blir kinetisk energi først konvertert til potensiell energi assosiert med en frastøtende eller attraktiv kraft mellom partiklene (når partiklene beveger seg mot denne kraften, dvs. vinkelen mellom kraften og den relative hastigheten er stump), så er dette potensiell energi konverteres tilbake til kinetisk energi (når partiklene beveger seg med denne kraften, dvs. vinkelen mellom kraften og den relative hastigheten er spiss).

Kollisjoner av atomer er elastiske, for eksempel Rutherford -tilbakespredning .

Et nyttig spesialtilfelle av elastisk kollisjon er når de to kroppene har lik masse, i så fall vil de ganske enkelt bytte ut momenta.

Den molekyler -as forskjellig fra atomer -av en gass eller væske er vanligvis ingen perfekt elastisk kollisjon på grunn av kinetisk energi utveksles mellom molekylene translasjonsbevegelse og deres interne frihetsgrader med hver kollisjon. Når som helst er halvparten av kollisjonene i ulik grad uelastiske kollisjoner (paret har mindre kinetisk energi i sine translasjonelle bevegelser etter kollisjonen enn før), og halvparten kan beskrives som "superelastisk" (som har mer kinetisk energi etter kollisjonen enn før). Gjennomsnittlig over hele prøven kan molekylære kollisjoner betraktes som vesentlig elastiske så lenge Plancks lov forbyr energi fra å bli ført bort av svarte kroppsfotoner.

Når det gjelder makroskopiske kropper, er perfekt elastiske kollisjoner et ideal som aldri er fullt ut realisert, men tilnærmet av interaksjoner mellom objekter som biljardkuler.

Når du vurderer energier, kan mulig rotasjonsenergi før og/eller etter en kollisjon også spille en rolle.

Likninger

Endimensjonal Newtonian

Spill media

Professor Walter Lewin forklarer endimensjonale elastiske kollisjoner

Ved en elastisk kollisjon bevares både momentum og kinetisk energi. Vurder partiklene 1 og 2 med massene m ₁ , m ₂ og hastighetene u ₁ , u ₂ før kollisjonen, v ₁ , v ₂ etter kollisjonen. Bevaringen av total momentum før og etter kollisjonen uttrykkes ved:

${\ displaystyle m_ {1} u_ {1}+m_ {2} u_ {2} \ = \ m_ {1} v_ {1}+m_ {2} v_ {2}.}$

På samme måte uttrykkes bevaringen av den totale kinetiske energien ved:

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} u_ {1}^{2}+{\ tfrac {1} {2}} m_ {2} u_ {2}^{2} \ = \ {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} v_ {1}^{2}+{\ tfrac {1} {2}} m_ {2} v_ {2}^{2}.}$

Disse ligningene kan løses direkte for å finne når de er kjente: ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} v_ {1} & = & {\ dfrac {m_ {1} -m_ {2}} {m_ {1}+m_ {2}}} u_ {1}+ {\ dfrac {2m_ {2}} {m_ {1}+m_ {2}}} u_ {2} \\ [. 5em] v_ {2} & = & {\ dfrac {2m_ {1}} {m_ { 1}+m_ {2}}} u_ {1}+{\ dfrac {m_ {2} -m_ {1}} {m_ {1}+m_ {2}}} u_ {2} \ end {array}} }$

Hvis begge massene er like, har vi en triviell løsning:

${\ displaystyle v_ {1} = u_ {2}}$

${\ displaystyle v_ {2} = u_ {1}.}$

Dette tilsvarer ganske enkelt at kroppene utveksler sine innledende hastigheter med hverandre.

Som det kan forventes, er løsningen invariant ved å legge en konstant til alle hastigheter ( galilsk relativitet ), som er som å bruke en referanseramme med konstant translasjonshastighet. For å utlede ligningene kan man først endre referanserammen slik at en av de kjente hastighetene er null, bestemme de ukjente hastighetene i den nye referanserammen og konvertere tilbake til den opprinnelige referanserammen.

Eksempler

Ball 1: masse = 3 kg, hastighet = 4 m/s

Kule 2: masse = 5 kg, hastighet = −6 m/s

Etter kollisjon:

Kule 1: hastighet = -8,5 m/s

Kule 2: hastighet = 1,5 m/s

En annen situasjon:

Elastisk kollisjon av ulik masse.

Det følgende illustrerer tilfellet med lik masse, . ${\ displaystyle m_ {1} = m_ {2}}$

Elastisk kollisjon med like masse

Elastisk kollisjon av masser i et system med en bevegelig referanseramme

I det begrensende tilfellet hvor er mye større enn , for eksempel en ping-pong-padle som treffer en ping-pongball eller en SUV som treffer en søppelbøtte, endrer den tyngre massen neppe hastigheten, mens den lettere massen spretter av, reverserer hastigheten pluss ca. dobbelt så mye som den tunge. ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$

I tilfelle av en stor er verdien av liten hvis massene er tilnærmet like: å treffe en mye lettere partikkel endrer ikke hastigheten mye, hvis du treffer en mye tyngre partikkel, får den raske partikkelen til å hoppe tilbake med høy hastighet. Dette er grunnen til at en nøytronmoderator (et medium som bremser raske nøytroner og derved gjør dem til termiske nøytroner som er i stand til å opprettholde en kjedereaksjon ) er et materiale fullt av atomer med lette kjerner som ikke lett absorberer nøytroner: de letteste kjernene har omtrent samme masse som et nøytron . ${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle v_ {1}}$

Utledning av løsning

For å utlede ligningene ovenfor for , omorganiserer du den kinetiske energien og momentumligningene: ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$

${\ displaystyle m_ {1} (v_ {1}^{2} -u_ {1}^{2}) = m_ {2} (u_ {2}^{2} -v_ {2}^{2}) }$

${\ displaystyle m_ {1} (v_ {1} -u_ {1}) = m_ {2} (u_ {2} -v_ {2})}$

Å dele hver side av den øverste ligningen på hver side av den nederste ligningen, og bruke , gir: ${\ displaystyle {\ tfrac {a^{2} -b^{2}} {(ab)}} = a+b}$

${\ displaystyle v_ {1}+u_ {1} = u_ {2}+v_ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad v_ {1} -v_ {2} = u_ {2} -u_ {1}}$.

Det vil si at den relative hastigheten til en partikkel i forhold til den andre reverseres av kollisjonen.

Nå følger formlene ovenfor fra å løse et system med lineære ligninger for , som konstanter: ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}, u_ {1}, u_ {2}}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcrcc} v_ {1} &-& v_ {2} & = & u_ {2} -u_ {1} \\ m_ {1} v_ {1} &+& m_ {2} v_ {2} & = & m_ {1} u_ {1}+m_ {2} u_ {2}. \ End {array}} \ høyre.}$

En gang er bestemt, kan bli funnet ved symmetri. ${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$

Senter for massen

Med hensyn til massesenteret reverseres begge hastighetene ved kollisjonen: en tung partikkel beveger seg sakte mot massesenteret, og spretter tilbake med samme lave hastighet, og en lys partikkel beveger seg raskt mot massesenteret, og spretter tilbake med samme høye hastighet.

Hastigheten til massesenteret endres ikke ved kollisjonen. For å se dette, bør du vurdere massesenteret før kollisjon og tid etter kollisjon: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t '}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} (t) = {\ frac {m_ {1} x_ {1} (t)+m_ {2} x_ {2} (t)} {m_ {1}+m_ { 2}}}}$

${\ displaystyle {\ bar {x}} (t ') = {\ frac {m_ {1} x_ {1} (t')+m_ {2} x_ {2} (t ')} {m_ {1} +m_ {2}}}.}$

Derfor er hastighetene til massesenteret før og etter kollisjon:

${\ displaystyle v _ {\ bar {x}} = {\ frac {m_ {1} u_ {1}+m_ {2} u_ {2}} {m_ {1}+m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v _ {\ bar {x}} '= {\ frac {m_ {1} v_ {1}+m_ {2} v_ {2}} {m_ {1}+m_ {2}}}.}$

Tellerne av og er det totale momentet før og etter kollisjon. Siden momentum er bevart, har vi det . ${\ displaystyle v _ {\ bar {x}}}$${\ displaystyle v _ {\ bar {x}} '}$${\ displaystyle v _ {\ bar {x}} = v _ {\ bar {x}} '}$

Endimensjonal relativistisk

I henhold til spesiell relativitet ,

${\ displaystyle p = {\ frac {mv} {\ sqrt {1-{\ frac {v^{2}} {c^{2}}}}}}}}$

der p betegner momentum for en hvilken som helst partikkel med masse, v betegner hastighet, og c er lysets hastighet.

I midten av momentrammen hvor den totale momentum er lik null,

${\ displaystyle p_ {1} =-p_ {2}}$

${\ displaystyle p_ {1}^{2} = p_ {2}^{2}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {m_ {1}^{2} c^{4}+p_ {1}^{2} c^{2}}}+{\ sqrt {m_ {2}^{2} c ^{4}+p_ {2}^{2} c^{2}}} = E}$

${\ displaystyle p_ {1} = \ pm {\ frac {\ sqrt {E^{4} -2E^{2} m_ {1}^{2} c^{4} -2E^{2} m_ {2 }^{2} c^{4}+m_ {1}^{4} c^{8} -2m_ {1}^{2} m_ {2}^{2} c^{8}+m_ {2 }^{4} c^{8}}} {2cE}}}$

${\ displaystyle u_ {1} =-v_ {1}.}$

Her representerer hvilemassene til de to kolliderende legemene, representerer deres hastigheter før kollisjon, deres hastigheter etter kollisjon, deres momenta, er lysets hastighet i vakuum, og angir total energi, summen av hvilemasser og kinetisk energi til de to kropper. ${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle E}$

Siden systemets totale energi og momentum bevares og hvilemassene ikke endres, er det vist at momentet til det kolliderende legemet avgjøres av resten av de kolliderende legemene, total energi og total momentum. I forhold til sentrum av momentrammen endrer momentumet i hvert kolliderende legeme ikke størrelsen etter kollisjon, men reverserer bevegelsesretningen.

Sammenlignet med klassisk mekanikk , som gir nøyaktige resultater når det gjelder makroskopiske objekter som beveger seg mye langsommere enn lysets hastighet , er total momentum for de to kolliderende legemene rammeavhengig. I sentrum av momentumrammen , ifølge klassisk mekanikk,

${\ displaystyle m_ {1} u_ {1}+m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1}+m_ {2} v_ {2} = {0} \, \!}$

${\ displaystyle m_ {1} u_ {1}^{2}+m_ {2} u_ {2}^{2} = m_ {1} v_ {1}^{2}+m_ {2} v_ {2} ^{2} \, \!}$

${\ displaystyle {\ frac {(m_ {2} u_ {2})^{2}} {2m_ {1}}}+{\ frac {(m_ {2} u_ {2})^{2}} { 2m_ {2}}} = {\ frac {(m_ {2} v_ {2})^{2}} {2m_ {1}}}+{\ frac {(m_ {2} v_ {2})^{ 2}} {2m_ {2}}} \, \!}$

${\ displaystyle (m_ {1}+m_ {2}) (m_ {2} u_ {2})^{2} = (m_ {1}+m_ {2}) (m_ {2} v_ {2}) ^{2} \, \!}$

${\ displaystyle u_ {2} =-v_ {2} \, \!}$

${\ displaystyle {\ frac {(m_ {1} u_ {1})^{2}} {2m_ {1}}}+{\ frac {(m_ {1} u_ {1})^{2}} { 2m_ {2}}} = {\ frac {(m_ {1} v_ {1})^{2}} {2m_ {1}}}+{\ frac {(m_ {1} v_ {1})^{ 2}} {2m_ {2}}} \, \!}$

${\ displaystyle (m_ {1}+m_ {2}) (m_ {1} u_ {1})^{2} = (m_ {1}+m_ {2}) (m_ {1} v_ {1}) ^{2} \, \!}$

${\ displaystyle u_ {1} =-v_ {1} \, \!}$

Dette stemmer med den relativistiske beregningen , til tross for andre forskjeller. ${\ displaystyle u_ {1} =-v_ {1}}$

Et av postulatene i spesiell relativitet sier at fysikklovene, for eksempel bevaring av momentum, bør være uforanderlige i alle treghetsreferanserammer. I en generell treghetsramme der det totale momentumet kan være vilkårlig,

${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} \; u_ {1}} {\ sqrt {1-u_ {1}^{2}/c^{2}}}}+{\ frac {m_ {2} \; u_ {2}} {\ sqrt {1-u_ {2}^{2}/c^{2}}}} = {\ frac {m_ {1} \; v_ {1}} {\ sqrt { 1-v_ {1}^{2}/c^{2}}}}+{\ frac {m_ {2} \; v_ {2}} {\ sqrt {1-v_ {2}^{2}/ c^{2}}}} = p_ {T}}$

${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} c^{2}} {\ sqrt {1-u_ {1}^{2}/c^{2}}}}+{\ frac {m_ {2} c ^{2}} {\ sqrt {1-u_ {2}^{2}/c^{2}}}} = {\ frac {m_ {1} c^{2}} {\ sqrt {1-v_ {1}^{2}/c^{2}}}}+{\ frac {m_ {2} c^{2}} {\ sqrt {1-v_ {2}^{2}/c^{2 }}}} = E}$

Vi kan se på de to bevegelige legemene som ett system der den totale momentum er , den totale energien er og dens hastighet er hastigheten til dens massesenter. I forhold til sentrum av momentumrammen er det totale momentet lik null. Det kan vises som er gitt av: ${\ displaystyle p_ {T}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle v_ {c}}$${\ displaystyle v_ {c}}$

${\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {p_ {T} c^{2}} {E}}}$

Nå er hastighetene før kollisjonen i midten av momentumrammen og er: ${\ displaystyle u_ {1} '}$${\ displaystyle u_ {2} '}$

${\ displaystyle u_ {1} '= {\ frac {u_ {1} -v_ {c}} {1-{\ frac {u_ {1} v_ {c}} {c^{2}}}}}}$

${\ displaystyle u_ {2} '= {\ frac {u_ {2} -v_ {c}} {1-{\ frac {u_ {2} v_ {c}} {c^{2}}}}}}$

${\ displaystyle v_ {1} '=-u_ {1}'}$

${\ displaystyle v_ {2} '=-u_ {2}'}$

${\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {v_ {1} '+v_ {c}} {1+{\ frac {v_ {1}' v_ {c}} {c^{2}}}}} }$

${\ displaystyle v_ {2} = {\ frac {v_ {2} '+v_ {c}} {1+{\ frac {v_ {2}' v_ {c}} {c^{2}}}}} }$

Når og , ${\ displaystyle u_ {1} \ ll c}$${\ displaystyle u_ {2} \ ll c}$

${\ displaystyle p_ {T}}$ ≈ ${\ displaystyle m_ {1} u_ {1}+m_ {2} u_ {2}}$

${\ displaystyle v_ {c}}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} u_ {1}+m_ {2} u_ {2}} {m_ {1}+m_ {2}}}}$

${\ displaystyle u_ {1} '}$≈ ≈${\ displaystyle u_ {1} -v_ {c}}$${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} u_ {1}+m_ {2} u_ {1} -m_ {1} u_ {1} -m_ {2} u_ {2}} {m_ {1}+m_ {2}}} = {\ frac {m_ {2} (u_ {1} -u_ {2})} {m_ {1}+m_ {2}}}}$

${\ displaystyle u_ {2} '}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} (u_ {2} -u_ {1})} {m_ {1}+m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v_ {1} '}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {2} (u_ {2} -u_ {1})} {m_ {1}+m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v_ {2} '}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} (u_ {1} -u_ {2})} {m_ {1}+m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v_ {1}}$≈ ≈${\ displaystyle v_ {1} '+v_ {c}}$${\ displaystyle {\ frac {m_ {2} u_ {2} -m_ {2} u_ {1}+m_ {1} u_ {1}+m_ {2} u_ {2}} {m_ {1}+m_ {2}}} = {\ frac {u_ {1} (m_ {1} -m_ {2})+2m_ {2} u_ {2}} {m_ {1}+m_ {2}}}}$

${\ displaystyle v_ {2}}$ ≈ ${\ displaystyle {\ frac {u_ {2} (m_ {2} -m_ {1})+2m_ {1} u_ {1}} {m_ {1}+m_ {2}}}}$

Derfor gjelder den klassiske beregningen når hastigheten til begge kolliderende legemer er mye lavere enn lysets hastighet (~ 300 millioner m/s).

Relativistisk avledning ved bruk av hyperboliske funksjoner

Vi bruker den såkalte hastighetsparameteren (vanligvis kalt hurtigheten ) for å få: ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle v/c = \ tanh (s)}$

derfor får vi

${\ displaystyle {\ sqrt {1-{\ frac {v^{2}} {c^{2}}}}} = \ operatorname {sech} (s)}$

Relativistisk energi og momentum uttrykkes som følger:

${\ displaystyle E = {\ frac {mc^{2}} {\ sqrt {1-{\ frac {v^{2}} {c^{2}}}}}} = mc^{2} \ cosh (r)}$

${\ displaystyle p = {\ frac {mv} {\ sqrt {1-{\ frac {v^{2}} {c^{2}}}}}} = mc \ sinh (s)}$

Ligninger summen av energi og bevegelses kolliderende masser og , (hastigheter , , , tilsvarer de hastighetsparametre , , , ), etter å dividere med tilstrekkelig kraft , er som følger: ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle s_ {2}}$${\ displaystyle s_ {3}}$${\ displaystyle s_ {4}}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle m_ {1} \ cosh (s_ {1})+m_ {2} \ cosh (s_ {2}) = m_ {1} \ cosh (s_ {3})+m_ {2} \ cosh (s_ {4})}$

${\ displaystyle m_ {1} \ sinh (s_ {1})+m_ {2} \ sinh (s_ {2}) = m_ {1} \ sinh (s_ {3})+m_ {2} \ sinh (s_ {4})}$

og avhengig ligning, summen av ligningene ovenfor:

${\ displaystyle m_ {1} e^{s_ {1}}+m_ {2} e^{s_ {2}} = m_ {1} e^{s_ {3}}+m_ {2} e^{s_ {4}}}$

trekker firkanter begge sider ligninger "momentum" fra "energi" og bruker identiteten , etter enkelhet får vi: ${\ displaystyle \ cosh ^{2} (s)-\ sinh ^{2} (s) = 1}$

${\ displaystyle 2m_ {1} m_ {2} (\ cosh (s_ {1}) \ cosh (s_ {2})-\ sinh (s_ {2}) \ sinh (s_ {1})) = 2m_ {1 } m_ {2} (\ cosh (s_ {3}) \ cosh (s_ {4})-\ sinh (s_ {4}) \ sinh (s_ {3})))}$

for ikke-null masse, ved bruk av den hyperboliske trigonometriske identiteten cosh ( a - b ) = cosh ( a ) cosh ( b )-sinh ( b ) sinh ( a ), får vi:

${\ displaystyle \ cosh (s_ {1} -s_ {2}) = \ cosh (s_ {3} -s_ {4})}}$

som funksjoner er til og med får vi to løsninger: ${\ displaystyle \ cosh (s)}$

${\ displaystyle s_ {1} -s_ {2} = s_ {3} -s_ {4}}$

${\ displaystyle s_ {1} -s_ {2} =-s_ {3}+s_ {4}}$

fra den siste ligningen, som fører til en ikke-triviell løsning, løser vi og erstatter den avhengige ligningen, vi får og deretter har vi: ${\ displaystyle s_ {2}}$${\ displaystyle e^{s_ {1}}}$${\ displaystyle e^{s_ {2}}}$

${\ displaystyle e^{s_ {1}} = e^{s_ {4}} {\ frac {m_ {1} e^{s_ {3}}+m_ {2} e^{s_ {4}}} {m_ {1} e^{s_ {4}}+m_ {2} e^{s_ {3}}}}}$

${\ displaystyle e^{s_ {2}} = e^{s_ {3}} {\ frac {m_ {1} e^{s_ {3}}+m_ {2} e^{s_ {4}}} {m_ {1} e^{s_ {4}}+m_ {2} e^{s_ {3}}}}}$

Det er en løsning på problemet, men uttrykt ved parametrene for hastighet. Retursubstitusjon for å få løsningen for hastigheter er:

${\ displaystyle v_ {1}/c = \ tanh (s_ {1}) = {\ frac {e^{s_ {1}}-e^{-s_ {1}}} {e^{s_ {1} }+e^{-s_ {1}}}}}$

${\ displaystyle v_ {2}/c = \ tanh (s_ {2}) = {\ frac {e^{s_ {2}}-e^{-s_ {2}}} {e^{s_ {2} }+e^{-s_ {2}}}}}$

Erstatt de tidligere løsningene og erstatt: og , etter lang transformasjon, med å erstatte: får vi: ${\ displaystyle e^{s_ {3}} = {\ sqrt {\ frac {c+u_ {1}} {c-u_ {1}}}}}}$${\ displaystyle e^{s_ {4}} = {\ sqrt {\ frac {c+u_ {2}} {c-u_ {2}}}}}$${\ textstyle Z = {\ sqrt {\ left (1-u_ {1}^{2}/c^{2} \ right) \ left (1-u_ {2}^{2}/c^{2} \Ikke sant)}}}$

${\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {2m_ {1} m_ {2} c^{2} u_ {2} Z+2m_ {2}^{2} c^{2} u_ {2}-( m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}) u_ {1} u_ {2}^{2}+(m_ {1}^{2} -m_ {2}^{2}) c^{2} u_ {1}} {2m_ {1} m_ {2} c^{2} Z-2m_ {2}^{2} u_ {1} u_ {2}-(m_ {1}^{ 2} -m_ {2}^{2}) u_ {2}^{2}+(m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}) c^{2}}}}$

${\ displaystyle v_ {2} = {\ frac {2m_ {1} m_ {2} c^{2} u_ {1} Z+2m_ {1}^{2} c^{2} u_ {1}-( m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}) u_ {1}^{2} u_ {2}+(m_ {2}^{2} -m_ {1}^{2}) c^{2} u_ {2}} {2m_ {1} m_ {2} c^{2} Z-2m_ {1}^{2} u_ {1} u_ {2}-(m_ {2}^{ 2} -m_ {1}^{2}) u_ {1}^{2}+(m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}) c^{2}}}}$.

Todimensjonal

Når det gjelder to ikke-spinnende kolliderende kropper i to dimensjoner, bestemmes bevegelsen til legemene av de tre bevaringslovene for momentum, kinetisk energi og vinkelmoment. Den totale hastigheten til hvert legeme må deles i to vinkelrett hastigheter: en som tangerer de vanlige normale overflatene til de kolliderende legemene ved kontaktpunktet, den andre langs kollisjonslinjen. Siden kollisjonen bare gir kraft langs kollisjonslinjen, endres ikke hastighetene som tangerer kollisjonspunktet. Hastighetene langs kollisjonslinjen kan deretter brukes i de samme ligningene som en endimensjonal kollisjon. Slutthastighetene kan deretter beregnes ut fra de to nye komponenthastighetene og vil avhenge av kollisjonspunktet. Studier av todimensjonale kollisjoner utføres for mange kropper innenfor rammen av en todimensjonal gass .

To-dimensjonal elastisk kollisjon

I et sentrum av momentramme når som helst er hastighetene til de to legemene i motsatte retninger, med størrelser omvendt proporsjonal med massene. Ved en elastisk kollisjon endres ikke disse størrelsene. Retningene kan endres avhengig av kroppens former og slagpunktet. For eksempel, når det gjelder sfærer, er vinkelen avhengig av avstanden mellom (parallelle) baner til sentrene til de to legemene. Enhver endring av retningen er mulig: hvis denne avstanden er null, reverseres hastighetene i kollisjonen; hvis den er nær summen av radiene til sfærene, blir de to legemene bare svakt avbøyd.

Forutsatt at den andre partikkelen er i ro før kollisjonen, er avbøyningsvinklene til de to partiklene og er relatert til nedbøyningsvinkelen i systemet i massesenteret med ${\ displaystyle \ vartheta _ {1}}$${\ displaystyle \ vartheta _ {2}}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ tan \ vartheta _ {1} = {\ frac {m_ {2} \ sin \ theta} {m_ {1}+m_ {2} \ cos \ theta}}, \ qquad \ vartheta _ {2} = {\ frac {{\ pi}-{\ theta}} {2}}.}$

Størrelsene på partikkelenes hastighet etter kollisjonen er:

${\ displaystyle v '_ {1} = v_ {1} {\ frac {\ sqrt {m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}+2m_ {1} m_ {2} \ cos \ theta}} {m_ {1}+m_ {2}}}, \ qquad v '_ {2} = v_ {1} {\ frac {2m_ {1}} {m_ {1}+m_ {2}}} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}.}$

To-dimensjonal kollisjon med to objekter i bevegelse

De siste x- og y -hastighetskomponentene i den første ballen kan beregnes som:

${\ displaystyle {\ begin {align} v '_ {1x} & = {\ frac {v_ {1} \ cos (\ theta _ {1}-\ varphi) (m_ {1} -m_ {2})+ 2m_ {2} v_ {2} \ cos (\ theta _ {2}-\ varphi)} {m_ {1}+m_ {2}}} \ cos (\ varphi)+v_ {1} \ sin (\ theta _ {1}-\ varphi) \ cos (\ varphi +{\ tfrac {\ pi} {2}}) \\ [0.8em] v '_ {1y} & = {\ frac {v_ {1} \ cos (\ theta _ {1}-\ varphi) (m_ {1} -m_ {2})+2m_ {2} v_ {2} \ cos (\ theta _ {2}-\ varphi)} {m_ {1} +m_ {2}}} \ sin (\ varphi) +v_ {1} \ sin (\ theta _ {1}-\ varphi) \ sin (\ varphi +{\ tfrac {\ pi} {2}}) \ slutt {align}}}$

hvor v ₁ og v ₂ er skalarstørrelsene til objektets to opprinnelige hastigheter, er m ₁ og m ₂ deres masse, θ ₁ og θ ₂ er bevegelsesvinklene, det vil si (som betyr å bevege seg direkte ned til høyre er enten en −45 ° vinkel eller en 315 ° vinkel), og liten phi ( φ ) er kontaktvinkelen. (For å få x- og y -hastighetene til den andre ballen, må man bytte alle 1 -abonnementene med 2 -abonnementene.) ${\ displaystyle v_ {1x} = v_ {1} \ cos \ theta _ {1}, \; v_ {1y} = v_ {1} \ sin \ theta _ {1}}$

Denne ligningen er avledet fra det faktum at samspillet mellom de to legemene lett beregnes langs kontaktvinkelen, noe som betyr at objektets hastigheter kan beregnes i en dimensjon ved å rotere x- og y -aksen for å være parallelle med kontaktvinkelen til objekter, og deretter rotert tilbake til den opprinnelige retningen for å få de sanne x- og y -komponentene i hastighetene

I en vinkelfri fremstilling beregnes de endrede hastighetene ved hjelp av sentrene x ₁ og x ₂ på tidspunktet for kontakt som

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ mathbf {v} '_ {1} & = \ mathbf {v} _ {1}-{\ frac {2m_ {2}} {m_ {1}+m_ {2} }} \ {\ frac {\ langle \ mathbf {v} _ {1}-\ mathbf {v} _ {2}, \, \ mathbf {x} _ {1}-\ mathbf {x} _ {2} \ rangle} {\ | \ mathbf {x} _ {1}-\ mathbf {x} _ {2} \ |^{2}}} \ (\ mathbf {x} _ {1}-\ mathbf {x} _ {2}), \\\ mathbf {v} '_ {2} & = \ mathbf {v} _ {2}-{\ frac {2m_ {1}} {m_ {1}+m_ {2}} } \ {\ frac {\ langle \ mathbf {v} _ {2}-\ mathbf {v} _ {1}, \, \ mathbf {x} _ {2}-\ mathbf {x} _ {1} \ rangle} {\ | \ mathbf {x} _ {2}-\ mathbf {x} _ {1} \ |^{2}}} \ (\ mathbf {x} _ {2}-\ mathbf {x} _ {1}) \ end {align}}}$

hvor vinkelbrakettene indikerer det indre produktet (eller prikkproduktet ) av to vektorer.

Se også

• Kollisjon
• Uelastisk kollisjon
• Restitusjonskoeffisient

Referanser

Generelle referanser

• Raymond, David J. "10.4.1 Elastiske kollisjoner". En radikalt moderne tilnærming til innledende fysikk: bind 1: grunnleggende prinsipper . Socorro, NM: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.

Eksterne linker

• Rigid Body Collision Resolution i tre dimensjoner, inkludert en avledning som bruker bevaringslovene
• VNE Rigid Body Collision Simulation Small Open Source 3D-motor med lettfattelig implementering av elastiske kollisjoner i C
• Visualiser 2-D Collision Gratis simulering av 2-partikkel kollisjon med brukerjusterbar restitusjonskoeffisient og partikkelhastigheter (krever Adobe Shockwave)
• 2-dimensjonale elastiske kollisjoner uten trigonometri Forklaring til hvordan man beregner 2-dimensjonale elastiske kollisjoner ved hjelp av vektorer
• Bouncescope Gratis simulator av elastiske kollisjoner av dusinvis av brukerkonfigurerbare objekter
• Håndtering av ball vs ballkollisjon med Flash Flash -manus for å håndtere elastiske kollisjoner mellom et hvilket som helst antall sfærer
• Elastisk kollisjonsavledning
• Avledning av elastisk kollisjonsformel hvis en av kulenes hastighet er 0