Elektrisk feltvisning - Electric-field screening

I fysikk er screening demping av elektriske felt forårsaket av tilstedeværelse av mobile ladningsbærere . Det er en viktig del av oppførselen til ladningsbærende væsker , for eksempel ioniserte gasser (klassiske plasma ), elektrolytter og ladningsbærere i elektroniske ledere ( halvledere , metaller ). I et fluid, med en gitt permittivitet ε , sammensatt av elektrisk ladede bestanddeler, samhandler hvert par partikler (med ladninger q ₁ og q ₂ ) gjennom Coulomb -kraften som

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {4 \ pi \ varepsilon \ left | \ mathbf {r} \ right |^{2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}}}$,

hvor vektoren r er den relative posisjonen mellom ladningene. Denne interaksjonen kompliserer den teoretiske behandlingen av væsken. For eksempel gir en naiv kvantemekanisk beregning av grunnstatens energitetthet uendelig, noe som er urimelig. Vanskeligheten ligger i det faktum at selv om Coulomb -kraften avtar med avstand som 1/ r ² , er gjennomsnittlig antall partikler ved hver avstand r proporsjonalt med r ² , forutsatt at væsken er ganske isotrop . Som et resultat har en svingning i ladningen på et hvilket som helst tidspunkt ikke-ubetydelige effekter på store avstander.

I virkeligheten undertrykkes disse langdistanseffektene av strømmen av partikler som svar på elektriske felt. Denne strømmen reduserer den effektive interaksjonen mellom partikler til en kortdistanse "screenet" Coulomb-interaksjon. Dette systemet tilsvarer det enkleste eksempelet på en renormalisert interaksjon (se avsnitt 1.2.1 og 3.2 av  ).

I faststofffysikk , spesielt for metaller og halvledere , beskriver screeningseffekten det elektrostatiske feltet og Coulomb-potensialet til et ion inne i det faste stoffet. I likhet med at kjernens elektriske felt reduseres inne i et atom eller ion på grunn av skjermingseffekten , reduseres de elektriske feltene til ioner i ledende faste stoffer ytterligere av skyen av ledningselektroner .

Beskrivelse

Tenk på en væske sammensatt av elektroner som beveger seg i en jevn bakgrunn med positiv ladning (en-komponent plasma). Hvert elektron har en negativ ladning. I følge Coulombs interaksjon frastøter negative ladninger hverandre. Følgelig vil dette elektronet frastøte andre elektroner og skape et lite område rundt seg selv der det er færre elektroner. Denne regionen kan behandles som et positivt ladet "screeninghull". Sett på stor avstand har dette screeninghullet effekten av en overlagt positiv ladning som avbryter det elektriske feltet produsert av elektronet. Bare på korte avstander, inne i hullområdet, kan elektronens felt detekteres. For et plasma kan denne effekten gjøres eksplisitt ved en -kroppsberegning (se avsnitt 5 i ). Hvis bakgrunnen består av positive ioner, forsterker deres tiltrekning av elektronet av interesse ovennevnte screeningsmekanisme. I atomfysikk eksisterer det en tysk effekt for atomer med mer enn ett elektronskall: skjermingseffekten . I plasmafysikk kalles elektrisk felt screening også Debye screening eller skjerming. Den manifesterer seg på makroskopiske skalaer ved en kappe ( Debye -kappe ) ved siden av et materiale som plasmaet er i kontakt med. ${\ displaystyle N}$ 

Det siktede potensiell bestemmer inter atomic force og fonon dispersjonen forhold på metaller. Det screenede potensialet brukes til å beregne den elektroniske båndstrukturen til et stort utvalg materialer, ofte i kombinasjon med pseudopotensielle modeller. Screeningseffekten fører til den uavhengige elektron -tilnærmingen , som forklarer prediktiv kraften til innledende modeller av faste stoffer som Drude -modellen , den frie elektronmodellen og den nesten frie elektronmodellen .

Teori og modeller

Den første teoretiske behandlingen av elektrostatisk screening, på grunn av Peter Debye og Erich Hückel , omhandlet en stasjonær punktladning innebygd i en væske.

Tenk på en væske av elektroner i en bakgrunn av tunge, positivt ladede ioner. For enkelhets skyld ignorerer vi bevegelsen og den romlige fordelingen av ionene, og tilnærmer dem som en enhetlig bakgrunnsladning. Denne forenklingen er tillatt siden elektronene er lettere og mer bevegelige enn ionene, forutsatt at vi anser avstander som er mye større enn den ioniske separasjonen. I fysikk av kondensert stoff omtales denne modellen som jellium .

Skjermede Coulomb -interaksjoner

La ρ betegne antallet tetthet av elektroner, og φ det elektriske potensialet . I begynnelsen er elektronene jevnt fordelt slik at det er null nettoladning på hvert punkt. Derfor φ er i utgangspunktet en konstant samt.

Vi introduserer nå en fast punktladning Q ved opprinnelsen. Den tilhørende ladningstettheten er Qδ ( r ), hvor δ ( r ) er Dirac delta -funksjonen . Etter at systemet har kommet tilbake til likevekt, la endringen i elektrontettheten og det elektriske potensialet være henholdsvis Δρ ( r ) og Δφ ( r ). Ladetettheten og det elektriske potensialet er relatert til Poissons ligning , som gir

${\ displaystyle -\ nabla ^{2} [\ Delta \ phi (r)] = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} [Q \ delta (r) -e \ Delta \ rho (r )]}}$,

hvor ε ₀ er vakuumpermittiviteten .

For å fortsette må vi finne en andre uavhengige ligning relatert til Δρ og Δφ . Vi vurderer to mulige tilnærminger, hvor de to størrelsene er proporsjonale: Debye - Hückel -tilnærmingen, gyldig ved høye temperaturer (f.eks. Klassiske plasmaer), og Thomas - Fermi -tilnærmingen, gyldig ved lave temperaturer (f.eks. Elektroner i metaller).

Tilnærming til Debye - Hückel

I tilnærmingen til Debye - Hückel opprettholder vi systemet i termodynamisk likevekt, ved en temperatur T høy nok til at væskepartiklene følger Maxwell – Boltzmann -statistikken . På hvert punkt i rommet har tettheten til elektroner med energi j formen

${\ displaystyle \ rho _ {j} (r) = \ rho _ {j}^{(0)} (r) \; \ exp \ venstre [{\ frac {e \ phi (r)} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right]}$

hvor k _B er Boltzmanns konstant . Forstyrre φ og utvide eksponentiell til første ordre, får vi

${\ displaystyle e \ Delta \ rho \ simeq \ varepsilon _ {0} k_ {0}^{2} \ Delta \ phi}$

hvor

${\ displaystyle k_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {\ rho e^{2}} {\ varepsilon _ {0} k _ {\ mathrm { B}} T}}}}$

Den tilhørende lengden λ _D ≡ 1/ k ₀ kalles Debye -lengden . Debye -lengden er den grunnleggende lengdeskalaen til et klassisk plasma.

Thomas - Fermi tilnærming

I tilnærmingen Thomas - Fermi, oppkalt etter Llewellyn Thomas og Enrico Fermi , opprettholdes systemet på et konstant elektronkjemisk potensial ( Fermi -nivå ) og ved lav temperatur. Den tidligere tilstanden tilsvarer i et reelt eksperiment å holde metallet/væsken i elektrisk kontakt med en fast potensialforskjell med bakken . Det kjemiske potensialet μ er per definisjon energien ved å tilsette et ekstra elektron til væsken. Denne energien kan brytes ned til en kinetisk T -del og den potensielle energien . Siden det kjemiske potensialet holdes konstant,

${\ displaystyle \ Delta \ mu = \ Delta Te \ Delta \ phi = 0}$.

Hvis temperaturen er ekstremt lav, kommer oppførselen til elektronene i nærheten av den kvantemekaniske modellen til en Fermi -gass . Vi har således omtrentlig T av den kinetiske energien til et ytterligere elektron i Fermi-gass-modellen, som er rett og slett den Fermienergien E _F . Fermi -energien for et 3D -system er relatert til tettheten av elektroner (inkludert spinnegenerasjon) av

${\ displaystyle \ rho = 2 {\ frac {1} {(2 \ pi)^{3}}} \ venstre ({\ frac {4} {3}} \ pi k _ {\ mathrm {F}}^{ 3} \ høyre), \ quad E _ {\ mathrm {F}} = {\ frac {\ hbar ^{2} k_ {F} ^{2}} {2m}},}$

hvor k _F er Fermi -bølvektoren. Forstyrrende på første ordre, finner vi det

${\ displaystyle \ Delta \ rho \ simeq {\ frac {3 \ rho} {2E _ {\ mathrm {F}}}} \ Delta E _ {\ mathrm {F}}}$.

Innsetting av dette inn i den ovenstående ligning for Δμ utbytter

${\ displaystyle e \ Delta \ rho \ simeq \ varepsilon _ {0} k_ {0}^{2} \ Delta \ phi}$

hvor

${\ displaystyle k_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {3e^{2} \ rho} {2 \ varepsilon _ {0} E _ {\ mathrm {F}}}}} = {\ sqrt {\ frac {me ^{2} k _ {\ mathrm {F}}} {\ varepsilon _ {0} \ pi ^{2} \ hbar ^{2}}} }}$

kalles Thomas - Fermi screeningbølgevektor.

Dette resultatet følger av ligningene til en Fermi-gass, som er en modell for ikke-interagerende elektroner, mens væsken, som vi studerer, inneholder Coulomb-interaksjonen. Derfor er tilnærmingen Thomas - Fermi bare gyldig når elektrontettheten er lav, slik at partikkelinteraksjonene er relativt svake.

Resultat: Screenet potensial

Resultatene våre fra tilnærmingen Debye - Hückel eller Thomas - Fermi kan nå settes inn i Poissons ligning. Resultatet er

${\ displaystyle \ left [\ nabla ^{2} -k_ {0} ^{2} \ right] \ phi (r) =-{\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}} \ delta (r )}$,

som er kjent som den screenede Poisson -ligningen . Løsningen er

${\ displaystyle \ phi (r) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}} e^{-k_ {0} r}}$,

som kalles et screenet Coulomb -potensial. Det er et Coulomb -potensial multiplisert med et eksponensielt dempende begrep, med styrken til dempningsfaktoren gitt av størrelsen på k ₀ , Debye eller Thomas - Fermi -bølvektoren. Vær oppmerksom på at dette potensialet har samme form som Yukawa -potensialet . Denne screening gir en dielektrisk funksjon . ${\ displaystyle \ varepsilon (r) = \ varepsilon _ {0} e^{k_ {0} r}}$

Mange-kroppsteori

Klassisk fysikk og lineær respons

En mekanisk -kroppstilnærming gir sammen utledningen av screeningseffekt og Landau -demping . Den omhandler en enkelt realisering av et enkomponentplasma hvis elektroner har en hastighetsdispersjon (for et termisk plasma må det være mange partikler i en Debye-sfære, et volum hvis radius er Debye-lengden). Ved å bruke elektronens lineariserte bevegelse i sitt eget elektriske felt, gir det en likning av typen ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ Phi = S}$,

hvor er en lineær operator, er en kildebetegnelse på grunn av partiklene, og er Fourier-Laplace-transformasjonen av det elektrostatiske potensialet. Når man erstatter en integral over en jevn fordelingsfunksjon med den diskrete summen over partiklene , får man ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

${\ displaystyle \ epsilon (\ mathbf {k}, \ omega) \, \ Phi (\ mathbf {k}, \ omega) = S (\ mathbf {k}, \ omega)}$,

hvor er plasmapermittiviteten, eller dielektrisk funksjon, klassisk oppnådd ved en linearisert Vlasov-Poisson-ligning (seksjon 6.4 av ), er bølgevektoren, er frekvensen og er summen av kildetermene som skyldes partiklene (ligning (20) av ). ${\ displaystyle \ epsilon (\ mathbf {k}, \ omega)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle S (\ mathbf {k}, \ omega)}$${\ displaystyle N}$ 

Ved invers Fourier-Laplace-transformasjon er potensialet som skyldes hver partikkel summen av to deler (avsnitt 4.1 av  ). Den ene tilsvarer eksitasjonen av Langmuir -bølger av partikkelen, og den andre er dens screenede potensial, som klassisk oppnådd ved en linearisert Vlasovian -beregning som involverer en testpartikkel (avsnitt 9.2 i  ). Det screenede potensialet er det ovenfor screenede Coulomb -potensialet for et termisk plasma og en termisk partikkel. For en raskere partikkel blir potensialet modifisert (avsnitt 9.2 i  ). Ved å erstatte en integral over en jevn fordelingsfunksjon for den diskrete summen over partiklene i , gir det Vlasovian uttrykk som muliggjør beregning av Landau demping (seksjon 6.4 av ). ${\ displaystyle S (\ mathbf {k}, \ omega)}$ 

Kvantemekanisk tilnærming

I virkelige metaller er screeningseffekten mer kompleks enn beskrevet ovenfor i Thomas - Fermi -teorien. Antagelsen om at ladningsbærerne (elektronene) kan reagere på hvilken som helst bølgevektor er bare en tilnærming. Imidlertid er det ikke energisk mulig for et elektron i eller på en Fermi -overflate å reagere ved bølgevektorer kortere enn Fermi -bølvektoren. Denne begrensningen er relatert til Gibbs -fenomenet , der Fourier -serier for funksjoner som varierer raskt i rommet ikke er gode tilnærminger med mindre et veldig stort antall termer i serien beholdes. I fysikk er dette fenomenet kjent som Friedel -svingninger , og gjelder både for overflate- og bulk -screening. I hvert tilfelle faller ikke det elektriske nettfeltet eksponensielt i rommet, men snarere som en invers kraftlov multiplisert med et oscillerende begrep. Teoretiske beregninger kan hentes fra kvantehydrodynamikk og tetthet funksjonell teori (DFT).

Se også

• Bjerrum lengde
• Debye lengde

Referanser

Eksterne linker

• Fitzpatrick, Richard (2011-03-31). "Debye Shielding" . University of Texas i Austin . Hentet 2018-07-12 .