Elementære delere - Elementary divisors

I algebra , de elementære divisorene av en modul enn et hoved ideell domene (PID) forekommer i en utførelsesform av strukturen teoremet for finitely generert moduler enn en hoved ideell domene .

Hvis er en PID og en endelig generert -modul, er M isomorf til en endelig sum av formen ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle M \ cong R ^ {r} \ oplus \ bigoplus _ {i = 1} ^ {l} R / (q_ {i}) \ qquad {\ text {with}} r, l \ geq 0}$

der det er ikke- primære idealer .${\ displaystyle (q_ {i})}$

Listen over primære idealer er unik opp til orden (men et gitt ideal kan være til stede mer enn en gang, så listen representerer et multisett av primære idealer); elementene er unike bare opp til tilknytning , og kalles elementærdelere . Legg merke til at i en PID er ikke-primæridealene krefter som primære idealer, slik at elementærdelere kan skrives som krefter av irreducible elementer. Det ikke-negative heltalet kalles modulenes frie rangering eller Betti-nummer . ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle q_ {i} = p_ {i} ^ {r_ {i}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle M}$

Modulen bestemmes opp til isomorfisme ved å spesifisere dens frie rangering r , og for klasse av tilknyttede irredusible elementer p og hvert positivt heltall k antall ganger som p ^k forekommer blant elementærdelere. Elementærdelere kan fås fra listen over ufravikelige faktorer i modulen ved å dekomponere hver av dem så langt som mulig i parvise relativt primære (ikke-enhet) faktorer, som vil være krefter til ikke-reduserbare elementer. Denne spaltning tilsvarer maksimalt å dekomponere hvert undermodulen svarer til en invariant faktor ved hjelp av kinesisk resten teoremet for R . Motsatt, kjennelse av multiset M av elementære divisorer, kan de ufravikelige faktorene bli funnet, fra den endelige (som er et multiplum av alle andre), som følger. For hver ikke-reduserbare element p slik at en viss kraft p ^k oppstår i M , tar den høyeste slik kraft, fjerne den fra M , og multiplisere disse kreftene sammen for alle klasser av (assosiert) p for å gi den endelige invariant faktor; så lenge M ikke er tom, gjenta for å finne de ufravikelige faktorene før den.

Se også

• Invariant faktorer

referanser

• B. Hartley ; TIL Hawkes (1970). Ringer, moduler og lineær algebra . Chapman og Hall. ISBN  0-412-09810-5 . Kap.11, s.182.
• Kap. III.7, s.153 i Lang, Serge (1993), Algebra (Tredje utg.), Reading, messe: Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-55540-0 , Zbl  0848.13001

Denne abstrakte algebrarelaterte artikkelen er en stubbe . Du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den . v t e