Euklids elementer -Euclid's Elements

Elementer

Den frontispiece av Sir Henry Billingsley første engelske versjonen av Euklids Elementer , 1570
Forfatter	Euklid
Språk	Gamle grekerland
Emne	Euklidisk geometri , elementær tallteori , ubetydelige linjer
Sjanger	Matematikk
Publiseringsdato	c. 300 f.Kr.
Sider	13 bøker

The Elements ( antikk gresk : Στοιχεῖον Stoikheîon ) er en matematisk avhandling som består av 13 bøker tilskrevet den gamle greske matematikeren Euklid i Alexandria , Ptolemaic Egypt c. 300 f.Kr. Det er en samling definisjoner, postulater , proposisjoner ( teorier og konstruksjoner ) og matematiske bevis på proposisjonene. Bøkene dekker plan og solid euklidisk geometri , elementær tallteori og ubetydelige linjer. Elements er den eldste eksisterende deduktive behandling i stor skala av matematikk . Den har vist seg å være avgjørende for utviklingen av logikk og moderne vitenskap , og dens logiske stringens ble ikke overgått før på 1800 -tallet.

Euclids elementer er blitt omtalt som den mest vellykkede og innflytelsesrike læreboken som noen gang er skrevet. Det var et av de aller tidligste matematiske verkene som ble trykt etter trykkpressens oppfinnelse, og har blitt anslått til å være nummer to bare etter Bibelen i antall utgaver som ble utgitt siden den første utskriften i 1482, og tallet var godt over tusen . I århundrer, da quadrivium ble inkludert i læreplanen til alle universitetsstudenter, var kunnskap om minst en del av Euclids elementer nødvendig for alle studenter. Først på 1900 -tallet, da innholdet ble universelt undervist gjennom andre skolebøker, sluttet det å bli betraktet som noe alle utdannede hadde lest.

Geometri dukket opp som en uunnværlig del av standardutdanningen til den engelske herren i det attende århundre; I den viktorianske perioden ble det også en viktig del av utdanningen av håndverkere, barn på styreskoler, kolonifag og i mindre grad kvinner. Standard lærebok for dette formålet var ingen ringere enn Euclids The Elements .

Historie

Et fragment av Euklides elementer på en del av Oxyrhynchus papyri

Grunnlag i tidligere arbeider

En belysning fra et manuskript basert på Adelard of Baths oversettelse av Elements , ca. 1309–1316; Adelards er den eldste overlevende oversettelsen av elementene til latin, utført på 1100-tallet og oversatt fra arabisk.

Forskere mener at elementene i stor grad er en samling av forslag basert på bøker av tidligere greske matematikere.

Proclus (412–485 e.Kr.), en gresk matematiker som levde rundt syv århundrer etter Euklid, skrev i sin kommentar til elementene : "Euklid, som satte sammen elementene , samlet mange av Eudoxus 'teoremer, og perfeksjonerte mange av Theaetetus ', og også bringe til irrebragabel demonstrasjon de tingene som bare ble løst bevist av forgjengerne ".

Pythagoras (ca. 570–495 f.Kr.) var sannsynligvis kilden for de fleste bøkene I og II, Hippokrates of Chios (ca. 470–410 f.Kr., ikke den bedre kjente Hippokrates of Kos ) for bok III og Eudoxus fra Cnidus (ca. . 408–355 f.Kr.) for bok V, mens bøkene IV, VI, XI og XII sannsynligvis kom fra andre matematikere fra Pythagoras eller Athen. The Elements kan ha vært basert på en tidligere lærebok av Hippokrates av Chios, som også kan ha sin opprinnelse bruk av bokstaver for å referere til tall.

Overføring av teksten

I det fjerde århundre e.Kr. produserte Theon of Alexandria en utgave av Euklid som ble så mye brukt at den ble den eneste gjenværende kilden til François Peyrards oppdagelse i Vatikanet i 1808 av et manuskript som ikke er hentet fra Theons. Dette manuskriptet, Heiberg -manuskriptet, er fra et bysantinsk verksted rundt 900 og er grunnlaget for moderne utgaver. Papyrus Oxyrhynchus 29 er et ørlite fragment av et enda eldre manuskript, men inneholder bare uttalelsen til ett forslag.

Selv om det er kjent for Cicero , finnes det for eksempel ingen registrering av at teksten ble oversatt til latin før Boethius i det femte eller sjette århundre. Araberne mottok elementene fra bysantinene rundt 760; denne versjonen ble oversatt til arabisk under Harun al Rashid ca. 800. Den bysantinske lærde Arethas bestilte kopiering av et av de eksisterende greske manuskriptene til Euklides på slutten av 800 -tallet. Selv om det var kjent i Byzantium, gikk elementene tapt for Vest -Europa til rundt 1120, da den engelske munken Adelard av Bath oversatte det til latin fra en arabisk oversettelse.

Euclidis - Elementorum libri XV Paris, Hieronymum de Marnef & Guillaume Cavelat, 1573 (andre utgave etter utgaven 1557); i 8: 350, (2) s. THOMAS – STANFORD, tidlige utgaver av Euclids elementer , nr. 32. Nevnt i oversettelsen til TL Heath. Privat samling Hector Zenil.

Den første trykte utgaven dukket opp i 1482 (basert på Campanus of Novaras 1260 -utgave), og siden har den blitt oversatt til mange språk og utgitt i omtrent tusen forskjellige utgaver. Theons greske utgave ble gjenopprettet i 1533. I 1570 ga John Dee et mye respektert "matematisk forord", sammen med store notater og tilleggsmateriale, til den første engelske utgaven av Henry Billingsley .

Kopier av den greske teksten eksisterer fremdeles, noen av dem finnes i Vatikanbiblioteket og Bodleian -biblioteket i Oxford. Manuskriptene som er tilgjengelige, er av variabel kvalitet og ufullstendig ufullstendige. Ved nøye analyse av oversettelsene og originalene har det blitt stilt hypoteser om innholdet i originalteksten (kopier av disse er ikke lenger tilgjengelige).

Gamle tekster som refererer til selve elementene , og til andre matematiske teorier som var aktuelle på det tidspunktet den ble skrevet, er også viktige i denne prosessen. Slike analyser er utført av JL Heiberg og Sir Thomas Little Heath i deres utgaver av teksten.

Også av betydning er scholia , eller merknader til teksten. Disse tilleggene, som ofte skilte seg fra hovedteksten (avhengig av manuskriptet), akkumulerte seg gradvis over tid etter hvert som meninger varierte om hva som var verdt å forklare eller videre studere.

Innflytelse

En side med marginalia fra den første trykte utgaven av Elements , trykt av Erhard Ratdolt i 1482

The Elements blir fortsatt betraktet som en mester i anvendelsen av logikken til matematikk . I historisk sammenheng har den vist seg å være enormt innflytelsesrik på mange vitenskapsområder . Forskerne Nicolaus Copernicus , Johannes Kepler , Galileo Galilei , Albert Einstein og Sir Isaac Newton ble alle påvirket av elementene , og brukte sin kunnskap om det på arbeidet sitt. Matematikere og filosofer, som Thomas Hobbes , Baruch Spinoza , Alfred North Whitehead og Bertrand Russell , har forsøkt å lage sine egne grunnleggende "elementer" for sine respektive disipliner, ved å vedta de aksiomatiserte deduktive strukturer som Euclids arbeid introduserte.

Den stramme skjønnheten i den euklidiske geometrien har blitt sett av mange i den vestlige kulturen som et glimt av et system fra perfeksjon og sikkerhet fra en annen verden. Abraham Lincoln hadde en kopi av Euclid i salbagen, og studerte den sent på kvelden ved lamper; han fortalte at han sa til seg selv: "Du kan aldri opprette advokat hvis du ikke forstår hva demonstrasjon betyr; og jeg forlot situasjonen min i Springfield, dro hjem til min fars hus og ble der til jeg kunne komme med noen forslag i seks bøker av Euklid ved synet ". Edna St. Vincent Millay skrev i sonetten sin " Euklid alene har sett på Beauty bare ", "O blendende time, o hellige, forferdelige dag, da først akselen inn i synet hans lyste av lys anatomisert!". Albert Einstein husket en kopi av elementene og et magnetisk kompass som to gaver som hadde stor innflytelse på ham som gutt, og omtalte Euklides som den "hellige lille geometri -boken".

Elements suksess skyldes først og fremst den logiske presentasjonen av det meste av matematisk kunnskap som er tilgjengelig for Euklid. Mye av materialet er ikke originalt for ham, selv om mange av bevisene er hans. Imidlertid oppmuntret Euclids systematiske utvikling av emnet sitt, fra et lite sett med aksiomer til dype resultater, og konsistensen i hans tilnærming gjennom elementene , til bruk som lærebok i omtrent 2000 år. The Elements påvirker fortsatt moderne geometri bøker. Videre er den logiske, aksiomatiske tilnærmingen og de strenge bevisene fortsatt hjørnesteinen i matematikken.

I moderne matematikk

En av de mest bemerkelsesverdige innflytelsene til Euklid på moderne matematikk er diskusjonen om det parallelle postulatet . I bok I viser Euklid fem postulater, hvorav den femte bestemmer

Hvis et linjesegment krysser to rette linjer som danner to innvendige vinkler på samme side som summerer til mindre enn to rette vinkler , møtes de to linjene, hvis de forlenges på ubestemt tid, på den siden som vinklene summerer til mindre enn to rette vinkler.

De forskjellige versjonene av det parallelle postulatet resulterer i forskjellige geometrier.

Dette postulatet plaget matematikere i århundrer på grunn av sin tilsynelatende kompleksitet sammenlignet med de fire andre postulatene. Det ble gjort mange forsøk på å bevise det femte postulatet basert på de fire andre, men de lyktes aldri. Til slutt i 1829 publiserte matematiker Nikolai Lobachevsky en beskrivelse av akutt geometri (eller hyperbolisk geometri ), en geometri som antok en annen form for det parallelle postulatet. Det er faktisk mulig å lage en gyldig geometri uten det femte postulatet helt, eller med forskjellige versjoner av det femte postulatet ( elliptisk geometri ). Hvis man tar det femte postulatet som gitt, er resultatet euklidisk geometri .

Innhold

• Bok 1 inneholder 5 postulater (inkludert det berømte parallelle postulatet ) og 5 vanlige forestillinger, og dekker viktige temaer for plangeometri som Pythagoras teorem , likhet med vinkler og områder , parallellitet, summen av vinklene i en trekant og konstruksjonen forskjellige geometriske figurer.
• Bok 2 inneholder en rekke lemmaer om likheten mellom rektangler og firkanter, noen ganger referert til som " geometrisk algebra ", og avsluttes med en konstruksjon av det gylne snittet og en måte å konstruere et kvadrat på som er like stort som et rektilinealt planfigur.
• Bok 3 omhandler sirkler og deres egenskaper: å finne senteret, innskrevne vinkler, tangenter , kraften til et punkt, Thales 'teorem .
• Boken 4 konstruerer incircle og omskrevne sirkelen av en trekant, så vel som regulære polygoner med 4, 5, 6, og 15 sider.
• Bok 5, om størrelsesforhold , gir den svært sofistikerte proporsjonsteorien sannsynligvis utviklet av Eudoxus , og beviser egenskaper som "veksling" (hvis a  : b  :: c  : d , så a  : c  :: b  : d ).
• Bok 6 gjelder proporsjoner for plangeometri, spesielt konstruksjon og anerkjennelse av lignende figurer.
• Bok 7 omhandler elementær tallteori: delbarhet , primtall og deres forhold til sammensatte tall , Euklides algoritme for å finne den største fellesdeleren , finne det minst felles multiplumet .
• Bok 8 omhandler konstruksjon og eksistens av geometriske sekvenser av heltall.
• Bok 9 bruker resultatene fra de to foregående bøkene og gir uendeligheten av primtall og konstruksjonen av alle like perfekte tall .
• Bok 10 beviser irrasjonaliteten til kvadratrøttene til ikke-firkantede heltall (f.eks. ) Og klassifiserer kvadratrøttene til uoverstigelige linjer i tretten usammenhengende kategorier. Euklid introduserer her begrepet "irrasjonell", som har en annen betydning enn det moderne begrepet irrasjonelle tall . Han gir også en formel for å produsere pytagoreiske tripler .${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$
• Bok 11 generaliserer resultatene fra bok 6 til solide figurer: vinkelrett, parallellisme, volumer og likhet med parallellepipeder .
• Bok 12 studerer volumene av kjegler , pyramider og sylindere i detalj ved å bruke utmattelsesmetoden , en forløper for integrering , og viser for eksempel at volumet på en kjegle er en tredjedel av volumet til den tilsvarende sylinderen. Den avsluttes med å vise at volumet i en kule er proporsjonalt med terningen i dens radius (i moderne språk) ved å tilnærme volumet ved en forening av mange pyramider.
• Bok 13 konstruerer de fem vanlige platoniske faste stoffene som er innskrevet i en sfære og sammenligner forholdet mellom kantene og radiusen til sfæren.

Euclids metode og presentasjonsstil

En animasjon som viser hvordan Euklid konstruerte en sekskant (bok IV, forslag 15). Hver todimensjonale figur i elementene kan konstrueres ved hjelp av bare et kompass og en rette.

Codex Vaticanus 190

Euklides aksiomatiske tilnærming og konstruktive metoder hadde stor innflytelse.

Mange av Euklides forslag var konstruktive, og demonstrerte eksistensen av en figur ved å detaljere trinnene han brukte for å konstruere objektet ved hjelp av et kompass og en rettning . Hans konstruktive tilnærming vises selv i geometriens postulater, ettersom det første og tredje postulatet om eksistensen av en linje og sirkel er konstruktivt. I stedet for å si at linjer og sirkler eksisterer i henhold til hans tidligere definisjoner, uttaler han at det er mulig å 'konstruere' en linje og sirkel. Det ser også ut til at han må konstruere det i et tidligere forslag for at han skal bruke en figur i et av bevisene sine. For eksempel beviser han pytagorasetningen ved først å skrive inn en firkant på sidene av en høyre trekant, men bare etter å ha konstruert en firkant på en gitt linje ett forslag tidligere.

Som det var vanlig i gamle matematiske tekster, da et forslag trengte bevis i flere forskjellige tilfeller, beviste Euklid ofte bare en av dem (ofte den vanskeligste), og overlot de andre til leseren. Senere redaktører som Theon interpolerte ofte sine egne bevis på disse sakene.

Forslag plottet med linjer koblet fra aksiomer på toppen og andre foregående forslag, merket med bok.

Euklides presentasjon var begrenset av de matematiske ideene og notasjonene i felles valuta i hans epoke, og dette får behandlingen til å virke vanskelig for den moderne leseren noen steder. For eksempel var det ingen forestilling om en vinkel større enn to rette vinkler, tallet 1 ble noen ganger behandlet atskilt fra andre positive heltall, og ettersom multiplikasjon ble behandlet geometrisk, brukte han ikke produktet av mer enn 3 forskjellige tall. Den geometriske behandlingen av tallteori kan ha vært fordi alternativet ville ha vært det ekstremt vanskelige alexandriske tallsystemet .

Presentasjonen av hvert resultat er gitt i en stilisert form, som, selv om den ikke er oppfunnet av Euklid, blir anerkjent som typisk klassisk. Den har seks forskjellige deler: Først er det 'uttale', som angir resultatet i generelle termer (dvs. uttalelsen i forslaget). Deretter kommer 'setting-out', som gir figuren og angir bestemte geometriske objekter med bokstaver. Deretter kommer 'definisjonen' eller 'spesifikasjonen', som gjengir uttalelsen i form av den spesifikke figuren. Deretter følger 'konstruksjonen' eller 'maskinen'. Her utvides det opprinnelige tallet for å videresende beviset. Deretter følger selve beviset. Til slutt kobler "konklusjonen" beviset til uttalelsen ved å angi de spesifikke konklusjonene som er trukket i beviset, i de generelle vilkårene i uttalelsen.

Det gis ingen indikasjoner på resonnementsmetoden som førte til resultatet, selv om dataene gir instruksjoner om hvordan man skal forholde seg til problemene man møter i de fire første bøkene i elementene . Noen forskere har prøvd å finne feil i Euklides bruk av figurer i bevisene sine, og anklaget ham for å skrive bevis som var avhengige av de spesifikke figurene som ble tegnet i stedet for den generelle underliggende logikken, spesielt angående forslag II til bok I. Imidlertid er Euclids originale bevis på dette proposisjon, er generell, gyldig og er ikke avhengig av figuren som brukes som eksempel for å illustrere en gitt konfigurasjon.

Kritikk

Euclids liste over aksiomer i elementene var ikke uttømmende, men representerte prinsippene som var de viktigste. Bevisene hans påkaller ofte aksiomatiske forestillinger som ikke opprinnelig ble presentert i listen over aksiomer. Senere redaktører har interpolert Euclids implisitte aksiomatiske antagelser i listen over formelle aksiomer.

For eksempel, i den første konstruksjonen av bok 1, brukte Euklid en forutsetning som verken var postulert eller bevist: at to sirkler med sentre i avstanden til radiusen deres vil skjære hverandre i to punkter. Senere, i den fjerde konstruksjonen, brukte han superposisjon (flyttet trekanter oppå hverandre) for å bevise at hvis to sider og vinklene er like, så er de kongruente ; i løpet av disse betraktningene bruker han noen egenskaper ved superposisjon, men disse egenskapene er ikke beskrevet eksplisitt i avhandlingen. Hvis superposisjon skal betraktes som en gyldig metode for geometrisk bevis, vil all geometri være full av slike bevis. For eksempel kan proposisjoner I.1 - I.3 bevises trivielt ved å bruke superposisjon.

Matematiker og historiker WW Rouse Ball satte kritikken i perspektiv og bemerket at "det faktum at i to tusen år [ elementene ] var den vanlige læreboken om emnet, gir en sterk antagelse om at det ikke er uegnet for dette formålet."

Apokryfe

Det var ikke uvanlig i gammel tid å tilskrive berømte forfattere verk som ikke ble skrevet av dem. Det er på denne måten at de apokryfe bøkene XIV og XV of the Elements noen ganger ble inkludert i samlingen. Den falske boken XIV ble sannsynligvis skrevet av Hypsicles på grunnlag av en avhandling av Apollonius . Boken fortsetter Euklids sammenligning av vanlige faste stoffer innskrevet i sfærer, med hovedresultatet at forholdet mellom overflatene til dodekaeder og icosahedron innskrevet i samme sfære er det samme som forholdet mellom volumene, og forholdet er

$${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {10} {3 (5-{\ sqrt {5}})}}}} = {\ sqrt {\ frac {5+{\ sqrt {5}}} {6}} }.}$$

Den falske bok XV ble sannsynligvis skrevet, i hvert fall delvis, av Isidore fra Milet . Denne boken dekker emner som å telle antall kanter og solide vinkler i de faste stoffene, og finne målet på dihedrale vinkler på ansikter som møtes i en kant.

Utgaver

Den italienske jesuitten Matteo Ricci (til venstre) og den kinesiske matematikeren Xu Guangqi (til høyre) publiserte den kinesiske utgaven av Euclid's Elements (幾何 原本) i 1607.

Bevis på den pytagoreiske læresetning i Byrne 's The Elements of Euclid og publisert i farget versjon i 1847.

• 1460 -tallet, Regiomontanus (ufullstendig)
• 1482, Erhard Ratdolt (Venezia), første trykte utgave
• 1533, editio princeps av Simon Grynäus
• 1557, av Jean Magnien og Pierre de Montdoré  [ fr ] , anmeldt av Stephanus Gracilis (bare proposisjoner, ingen fulle bevis, inkluderer original gresk og latinsk oversettelse)
• 1572, Commandinus latinsk utgave
• 1574, Christoph Clavius

Oversettelser

• 1505, Bartolomeo Zamberti  [ de ] (latin)
• 1543, Niccolò Tartaglia (italiensk)
• 1557, Jean Magnien og Pierre de Montdoré, anmeldt av Stephanus Gracilis (gresk til latin)
• 1558, Johann Scheubel (tysk)
• 1562, Jacob Kündig (tysk)
• 1562, Wilhelm Holtzmann (tysk)
• 1564–1566, Pierre Forcadel  [ fr ] de Béziers (fransk)
• 1570, Henry Billingsley (engelsk)
• 1572, Commandinus (latin)
• 1575, Commandinus (italiensk)
• 1576, Rodrigo de Zamorano (spansk)
• 1594, Typographia Medicea (utgave av den arabiske oversettelsen av The Recension of Euclids "Elements"
• 1604, Jean Errard  [ fr ] de Bar-le-Duc (fransk)
• 1606, Jan Pieterszoon Dou (nederlandsk)
• 1607, Matteo Ricci , Xu Guangqi (kinesisk)
• 1613, Pietro Cataldi (italiensk)
• 1615, Denis Henrion (fransk)
• 1617, Frans van Schooten (nederlandsk)
• 1637, L. Carduchi (spansk)
• 1639, Pierre Hérigone (fransk)
• 1651, Heinrich Hoffmann (tysk)
• 1651, Thomas Rudd (engelsk)
• 1660, Isaac Barrow (engelsk)
• 1661, John Leeke og Geo. Serle (engelsk)
• 1663, Domenico Magni (italiensk fra latin)
• 1672, Claude François Milliet Dechales (fransk)
• 1680, Vitale Giordano (italiensk)
• 1685, William Halifax (engelsk)
• 1689, Jacob Knesa (spansk)
• 1690, Vincenzo Viviani (italiensk)
• 1694, Ant. Ernst Burkh v. Pirckenstein (tysk)
• 1695, Claes Jansz Vooght (nederlandsk)
• 1697, Samuel Reyher (tysk)
• 1702, Hendrik Coets (nederlandsk)
• 1705, Charles Scarborough (engelsk)
• 1708, John Keill (engelsk)
• 1714, Chr. Schessler (tysk)
• 1714, W. Whiston (engelsk)
• 1720-årene, Jagannatha Samrat (sanskrit, basert på den arabiske oversettelsen av Nasir al-Din al-Tusi)
• 1731, Guido Grandi (forkortelse til italiensk)
• 1738, Ivan Satarov (russisk fra fransk)
• 1744, Mårten Strömer (svensk)
• 1749, Dechales (italiensk)
• 1745, Ernest Gottlieb Ziegenbalg (dansk)
• 1752, Leonardo Ximenes (italiensk)
• 1756, Robert Simson (engelsk)
• 1763, Pibo Steenstra (nederlandsk)
• 1768, Angelo Brunelli (portugisisk)
• 1773, 1781, JF Lorenz (tysk)
• 1780, Baruch Schick av Shklov (hebraisk)
• 1781, 1788 James Williamson (engelsk)
• 1781, William Austin (engelsk)
• 1789, Pr. Suvoroff nad Yos. Nikitin (russisk fra gresk)
• 1795, John Playfair (engelsk)
• 1803, HC Linderup (dansk)
• 1804, François Peyrard (fransk). Peyrard oppdaget i 1808 Vaticanus Graecus 190 , som gjør ham i stand til å gi en første definitive versjon i 1814–1818
• 1807, Józef tsjekkisk (polsk basert på greske, latinske og engelske utgaver)
• 1807, JKF Hauff (tysk)
• 1818, Vincenzo Flauti (italiensk)
• 1820, Benjamin av Lesbos (moderne gresk)
• 1826, George Phillips (engelsk)
• 1828, Joh. Josh og Ign. Hoffmann (tysk)
• 1828, Dionysius Lardner (engelsk)
• 1833, ES Unger (tysk)
• 1833, Thomas Perronet Thompson (engelsk)
• 1836, H. Falk (svensk)
• 1844, 1845, 1859, PR Bråkenhjelm (svensk)
• 1850, FAA Lundgren (svensk)
• 1850, HA Witt og ME Areskong (svensk)
• 1862, Isaac Todhunter (engelsk)
• 1865, Sámuel Brassai (ungarsk)
• 1873, Masakuni Yamada (japansk)
• 1880, Vachtchenko-Zakhartchenko (russisk)
• 1897, Thyra Eibe (dansk)
• 1901, Max Simon (tysk)
• 1907, František Servít (tsjekkisk)
• 1908, Thomas Little Heath (engelsk)
• 1939, R. Catesby Taliaferro (engelsk)
• 1999, Maja Hudoletnjak Grgić (bok I-VI) (kroatisk)
• 2009, Irineu Bicudo ( brasiliansk portugisisk )
• 2019, Ali Sinan Sertöz (tyrkisk)

Foreløpig på trykk

• Euclids elementer-Alle de tretten bøkene er komplett i ett bind , Basert på Heaths oversettelse, Green Lion Press ISBN  1-888009-18-7 .
• The Elements: Books I – XIII-Complete and Unabridged, (2006) Oversatt av Sir Thomas Heath, Barnes & Noble ISBN  0-7607-6312-7 .
• The Thirteen Books of Euclid's Elements , oversettelse og kommentarer av Heath, Thomas L. (1956) i tre bind. Dover Publications. ISBN  0-486-60088-2 (bind 1), ISBN  0-486-60089-0 (bind 2), ISBN  0-486-60090-4 (bind 3)

Gratis versjoner

• Euclids Elements Redux, bind 1 , inneholder bøker I – III, basert på John Caseys oversettelse.
• Euclid's Elements Redux, bind 2 , inneholder bøker IV – VIII, basert på John Caseys oversettelse.

Referanser

Merknader

Sitater

Kilder

Eksterne linker

• Flerspråklig utgave av Elementa i Bibliotheca Polyglotta
• Euklid (1997) [c. 300 f.Kr.]. David E. Joyce (red.). "Elementer" . Hentet 2006-08-30 . I HTML med Java-baserte interaktive figurer.
• Richard Fitzpatricks tospråklige utgave (PDF-fil som kan lastes ned fritt, sett i to-kolonne-format med den originale gresk ved siden av en moderne engelsk oversettelse; også tilgjengelig på trykk som ISBN  979-8589564587 )
• Heaths engelske oversettelse (HTML, uten tallene, offentlig domene) (åpnet 4. februar 2010)
  • Heaths engelske oversettelse og kommentar, med figurene (Google Books): bind. 1 , bind. 2 , bind. 3 , bind. 3 c. 2
• Oliver Byrnes utgave fra 1847 (også arrangert på archive.org ) - en uvanlig versjon av Oliver Byrne som brukte farge i stedet for etiketter som ABC (skannede sidebilder, offentlig domene)
• Webtilpasset versjon av Byrne's Euclid designet av Nicholas Rougeux
• Videotilpasning , animert og forklart av Sandy Bultena, inneholder bøker I-VII.
• The First Six Books of the Elements av John Casey og Euclid skannet av Project Gutenberg .
• Å lese Euklid - et kurs i hvordan man leser Euklid på originalgresk, med engelske oversettelser og kommentarer (HTML med figurer)
• Sir Thomas Mores manuskript
• Latinsk oversettelse av Aethelhard av Bath
• Euclid Elements - Den opprinnelige greske teksten gresk HTML
• Clay Mathematics Institute Historical Archive - De tretten bøkene om Euklids elementer kopiert av Stephen the Clerk for Arethas of Patras, i Konstantinopel i 888 e.Kr.
• Kitāb Taḥrīr uṣūl li-Ūqlīdis Arabisk oversettelse av de tretten bøkene Euklids elementer av Nasīr al-Dīn al-Ṭūsī. Utgitt av Medici Oriental Press (også Typographia Medicea). Faks som er arrangert av Islamic Heritage Project .
• Euclids Elements Redux , en åpen lærebok basert på Elements
• 1607 kinesiske oversettelser trykt på nytt som en del av Siku Quanshu , eller "Complete Library of the Four Treasuries."