Fishers ligning - Fisher's equation

Numerisk simulering av Fisher – KPP-ligningen. I farger: løsningen u ( t , x ); i prikker: skråning som tilsvarer den teoretiske hastigheten til den vandrende bølgen.
Ronald Fisher i 1913

I matematikk er Fishers ligning (oppkalt etter statistiker og biolog Ronald Fisher ), også kjent som Kolmogorov – Petrovsky – Piskunov-ligningen (oppkalt etter Andrey Kolmogorov , Ivan Petrovsky og Nikolai Piskunov ), KPP-ligning eller Fisher – KPP-ligning den delvise differensiallikningen :

Det er et slags reaksjonsdiffusjonssystem som kan brukes til å modellere befolkningsvekst og bølgeforplantning.

Detaljer

Fishers ligning tilhører klassen av reaksjon – diffusjonsligning : den er faktisk en av de enkleste halvlinjære reaksjons-diffusjonsligningene, den som har det inhomogene begrepet

som kan utstille vandrende bølgeløsninger som bytter mellom likevektstilstander gitt av . Slike ligninger forekommer f.eks. I økologi , fysiologi , forbrenning , krystallisering , plasmafysikk og generelt faseovergangsproblemer .

Fisher foreslo denne ligningen i sin artikkel fra 1937 bølgen av fremgang av fordelaktige gener i sammenheng med populasjonsdynamikk for å beskrive den romlige spredningen av en fordelaktig allel og utforsket dens vandrende bølgeløsninger. For hver bølgehastighet ( i dimensjonsløs form) innrømmer den vandrende bølgeløsninger av formen

hvor øker og

Det vil si at løsningen bytter fra likevektstilstand u = 0 til likevektstilstand u = 1. Ingen slik løsning eksisterer for c  <2. Bølgeformen for en gitt bølgehastighet er unik. Reisebølgeløsningene er stabile mot forstyrrelser i nærområdet, men ikke for forstyrrelser i langt felt som kan tykkere halen. Man kan bevise ved hjelp av sammenligningsprinsippet og superløsningsteorien at alle løsninger med kompakte initialdata konvergerer til bølger med minimumshastighet.

For den spesielle bølgehastigheten kan alle løsninger bli funnet i lukket form, med

hvor er vilkårlig, og de ovennevnte grensevilkårene er oppfylt for .

Bevis på eksistensen av vandrende bølgeløsninger og analyse av egenskapene deres gjøres ofte ved hjelp av faseplassmetoden .

KPP-ligning

Samme år (1937) som Fisher, Kolmogorov, Petrovsky og Piskunov introduserte den mer generelle reaksjons-diffusjonsligningen

hvor er en tilstrekkelig jevn funksjon med egenskapene som og for alle . Dette har også de reisende bølgeløsningene diskutert ovenfor. Fishers ligning oppnås ved innstilling og omskalering av koordinaten med faktoren . Et mer generelt eksempel er gitt av med . Kolmogorov, Petrovsky og Piskunov diskuterte eksemplet med i sammenheng med populasjonsgenetikk .

Se også

Referanser

Eksterne linker