Flytskjema (matematikk) - Flow graph (mathematics)

En flytdiagram er en form for digraf assosiert med et sett med lineære algebraiske eller differensiallikninger:

"En graf for signalflyt er et nettverk av noder (eller punkter) som er sammenkoblet av rettet grener, som representerer et sett med lineære algebraiske ligninger. Nodene i en flytdiagram brukes til å representere variablene eller parametrene, og de tilkoblende grenene representerer koeffisientene relatere disse variablene til hverandre. Flytegrafen er assosiert med en rekke enkle regler som gjør det mulig å oppnå alle mulige løsninger [relatert til ligningene]. "

Selv om denne definisjonen bruker begrepene "signal-flow-graf" og "flow-graf" om hverandre, brukes ofte begrepet "signal-flow-graf" for å betegne Mason-signal-flow-grafen , Mason er opphavsmannen til denne terminologien i sitt arbeid på elektriske nettverk. På samme måte bruker noen forfattere begrepet "flytdiagram" for å referere strengt til Coates-flytdiagrammet . Ifølge Henley & Williams:

"Nomenklaturen er langt fra standardisert, og ... ingen standardisering kan forventes i overskuelig fremtid."

En betegnelse "flytgraf" som inkluderer både Mason-grafen og Coates-grafen, og en rekke andre former for slike grafer virker nyttige, og er enig med Abrahams og Coverleys og med Henley og Williams tilnærming.

Et rettet nettverk - også kjent som et strømningsnettverk - er en bestemt type flytdiagram. Et nettverk er en graf med reelle tall knyttet til hver av kantene, og hvis grafen er en digraf, er resultatet et rettet nettverk . Et flytgraf er mer generelt enn et rettet nettverk, ved at kantene kan være forbundet med gevinst, gren gevinster eller transmittanser , eller til og med funksjoner av Laplace-operatoren s , i hvilket tilfelle de kalles overføringsfunksjoner .

Det er et nært forhold mellom grafer og matriser og mellom digrafer og matriser. "Den algebraiske teorien om matriser kan brukes på grafteorien for å oppnå resultater elegant", og omvendt benyttes grafteoretiske tilnærminger basert på flytegrafer for løsning av lineære algebraiske ligninger.

Henter en flytdiagram fra ligninger

Et eksempel på en signalflytgraf

Flytdiagram for tre samtidige ligninger. Kantene på hver node er farget forskjellig bare for vekt.

Et eksempel på en flytdiagram koblet til noen startligninger presenteres.

Sett med ligninger skal være konsistente og lineært uavhengige. Et eksempel på et slikt sett er:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

Konsistens og uavhengighet av ligningene i settet er etablert fordi determinanten av koeffisienter er ikke-null, så en løsning kan bli funnet ved bruk av Cramer's regel .

Ved hjelp av eksemplene fra underavsnittet Elementer av signalstrømningsgrafer , konstruerer vi grafen I figuren, en signalstrømningsgraf i dette tilfellet. Gå til node x _{1 for} å kontrollere at grafen representerer ligningene som er gitt . Se på pilene som kommer til denne noden (farget grønt for vekt) og vektene som er festet til dem. Ligningen for x ₁ oppfylles ved å likne den med summen av nodene som er festet til de innkommende pilene ganget med vektene som er festet til disse pilene. På samme måte gir de røde pilene og vektene ligningen for x ₂ , og de blå pilene for x ₃ .

Et annet eksempel er det generelle tilfellet av tre samtidige ligninger med uspesifiserte koeffisienter:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} & c_ {13} \\ c_ {21} & c_ {22} & c_ {23} \\ c_ {31} & c_ {32} & c_ {33} \ slutt {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begynn {bmatrix} y_ {1} \\ y_ {2} \\ y_ {3} \ end {bmatrix}}}$

For å sette opp flytskjemaet omformes ligningene slik at hver identifiserer en enkelt variabel ved å legge den til hver side. For eksempel:

${\ displaystyle \ left (c_ {11} +1 \ right) x_ {1} + c_ {12} x_ {2} + c_ {13} x_ {3} -y_ {1} = x_ {1} \.}$

Ved å bruke diagrammet og oppsummere hendelsesgrenene til x _{1, ser vi at} denne ligningen er oppfylt.

Da alle tre variablene går inn i disse omarbeidede ligningene på en symmetrisk måte, blir symmetrien beholdt i grafen ved å plassere hver variabel i hjørnet av en like-sidig trekant. Å rotere tallet 120 ° tillater ganske enkelt indeksene. Denne konstruksjonen kan utvides til flere variabler ved å plassere noden for hver variabel i toppunktet til en vanlig polygon med så mange hjørner som det er variabler.

For å være meningsfylt er koeffisientene selvfølgelig begrenset til verdier slik at ligningene er uavhengige og konsistente.

Se også

• Coates-graf
• Signal-flow-graf

Videre lesning

• Richard A. Brualdi, Dragos Cvetkovic (2008). "Determinants" . En kombinatorisk tilnærming til matriksteori og dens applikasjoner . Chapman & Hall / CRC. s. 63 ff . ISBN   9781420082234 . En diskusjon av Coates og Mason flytgrafer.

Referanser