Kraftfritt magnetfelt - Force-free magnetic field

En kraft-fri magnetfelt er et magnetisk felt som oppstår når plasmatrykket er så liten, i forhold til det magnetiske trykk , at plasmatrykket kan bli ignorert, og så bare den magnetiske trykk er vurdert. For et kraftfritt felt er den elektriske strømtettheten enten null eller parallelt med magnetfeltet. Navnet "kraftfri" kommer av å kunne forsømme styrken fra plasmaet.

Grunnleggende ligninger

Negierer effekten av tyngdekraften , leser Navier – Stokes-ligningen for et plasma, i jevn tilstand

${\ displaystyle 0 = - \ nabla p + \ mathbf {j} \ times \ mathbf {B},}$

hvor er det termiske trykket, er magnetfeltet og er den elektriske strømmen. Forutsatt at gasstrykket er lite sammenlignet med magnetisk trykk, dvs. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ mathbf {j}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p \ ll B ^ {2} / 2 \ mu}$

da kan trykket siktes bort. Her er plasmaets magnetiske permeabilitet . Derfor, ${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ mathbf {j} \ times \ mathbf {B} = 0}$.

Denne ligningen innebærer at: . for eksempel er strømtettheten enten null eller parallelt med magnetfeltet , og hvor er det en romlig varierende funksjon som skal bestemmes. Kombinere denne ligningen med Maxwells ligninger : ${\ displaystyle \ mu _ {0} \ mathbf {j} = \ alpha \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu \ mathbf {j}}$

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$

og vektoridentiteten:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B}) = 0}$

fører til et par ligninger for og : ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ alpha = 0,}$

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ alpha \ mathbf {B}.}$

Fysiske eksempler

I corona of the Sun kan forholdet mellom gasstrykket og magnetisk trykk lokalt være i orden 0,01 eller lavere, og i disse regionene kan magnetfeltet beskrives som kraftfritt.

Matematiske grenser

• Hvis strømtettheten er identisk null, er magnetfeltet potensial , dvs. gradienten til et skalärt magnetisk potensial .

Spesielt hvis ${\ displaystyle \ mathbf {j} = 0}$

da som innebærer det .${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ phi}$

Substitusjonen av denne inn i en av Maxwells ligninger , resulterer i Laplace-ligningen ,${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0}$,

som ofte lett kan løses, avhengig av de nøyaktige grensebetingelsene.

Denne grensen blir vanligvis referert til som det potensielle feltsaken.

• Hvis strømtettheten ikke er null, må den være parallell med magnetfeltet, dvs.

${\ displaystyle \ mu \ mathbf {j} = \ alpha \ mathbf {B}}$noe som innebærer at hvor er en viss skalarfunksjon.${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ alpha \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ alpha}$

så har vi ovenfra

${\ displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ alpha = 0}$

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ alpha \ mathbf {B}}$ , noe som innebærer det

${\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {B}) = \ nabla \ times (\ alpha \ mathbf {B})}$

Det er da to tilfeller:

Tilfelle 1: Proporsjonaliteten mellom strømtettheten og magnetfeltet er konstant overalt.

${\ displaystyle \ nabla \ times (\ alpha \ mathbf {B}) = \ alpha (\ nabla \ times \ mathbf {B}) = \ alpha ^ {2} \ mathbf {B}}$

og også

${\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {B}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = - \ nabla ^ { 2} \ mathbf {B}}$,

og så

${\ displaystyle - \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = \ alpha ^ {2} \ mathbf {B}}$

Dette er en Helmholtz-ligning .

Tilfelle 2: Proporsjonaliteten mellom strømtettheten og magnetfeltet er en funksjonsfunksjon.

${\ displaystyle \ nabla \ times (\ alpha \ mathbf {B}) = \ alpha (\ nabla \ times \ mathbf {B}) + \ nabla \ alpha \ times \ mathbf {B} = \ alpha ^ {2} \ mathbf {B} + \ nabla \ alpha \ times \ mathbf {B}}$

og slik er resultatet koblede ligninger:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} + \ alpha ^ {2} \ mathbf {B} = \ mathbf {B} \ ganger \ nabla \ alpha}$

og

${\ displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ alpha = 0}$

I dette tilfellet har likningene ikke en generell løsning, og må vanligvis løses numerisk.

Se også

• Laplaces ligning
• Helmholtz-ligningen

referanser

• Lav, Boon Chye, "Kraftfrie magnetfelt ". November 2000.