Fresnel ligninger - Fresnel equations

Delvis overføring og refleksjon av en puls som beveger seg fra et lavt til et høyt brytningsindeksmedium.

Ved nesten streifende innfall, media grensesnitt vises speilaktig særlig på grunn av refleksjon av den s polarisasjon, til tross for å være dårlige reflektorer ved normalt innfall. Polariserte solbriller blokkere s polarisasjon, noe som reduserer blending fra horisontale flater.

De Fresnels ligninger (eller Fresnel-koeffisienter ) beskriver refleksjon og transmisjon av lys (eller elektromagnetisk stråling generelt) når innfallende på en grenseflate mellom forskjellige optiske media . De ble utledet ved Augustin Fresnel ( / f r eɪ n ɛ l / ), som var den første til å forstå at lys er en tverrgående bølge , selv om ingen klar over at de "vibrasjon" av bølge var elektrisk og magnetiske felt . For første gang kunne polarisering forstås kvantitativt, ettersom Fresnels ligninger korrekt forutslo den forskjellige oppførselen til bølger av s- og p -polariseringene som inntraff på et materialgrensesnitt.

Oversikt

Når lys rammer grensesnittet mellom et medium med brytningsindeks n ₁ og et andre medium med brytningsindeks n ₂ , kan både refleksjon og brytning av lyset forekomme. Fresnel -ligningene gir forholdet mellom den reflekterte bølgens elektriske felt og den innfallende bølgens elektriske felt, og forholdet mellom den overførte bølgens elektriske felt og hendelsesbølgeens elektriske felt, for hver av to komponenter i polarisering. ( Magnetfeltene kan også relateres ved bruk av lignende koeffisienter.) Disse forholdene er generelt komplekse, og beskriver ikke bare de relative amplituder, men også faseskiftene ved grensesnittet.

Ligningene antar at grensesnittet mellom mediene er flatt og at mediene er homogene og isotrope . Det innfallende lyset antas å være en plan bølge , som er tilstrekkelig for å løse ethvert problem siden ethvert innfallende lysfelt kan dekomponeres til plane bølger og polarisasjoner.

S- og P -polarisasjoner

Forekomstplanet er definert av den innkommende strålingens forplantningsvektor og overflatenes normale vektor.

Det er to sett med Fresnel -koeffisienter for to forskjellige lineære polariseringskomponenter i hendelsesbølgen. Siden enhver polarisasjonstilstand kan løses til en kombinasjon av to ortogonale lineære polarisasjoner, er dette tilstrekkelig for ethvert problem. På samme måte har upolarisert (eller "tilfeldig polarisert") lys like mye kraft i hver av to lineære polarisasjoner.

Polarisasjonen s refererer til polarisering av en bølges elektriske felt normal til forekomstplanet ( z -retningen i avledningen nedenfor); da er magnetfeltet i forekomstplanet. P -polarisasjonen refererer til polarisering av det elektriske feltet i forekomstplanet ( xy -planet i avledningen nedenfor); da er magnetfeltet normalt for forekomstplanet.

Selv om reflektiviteten og overføringen er avhengig av polarisering, er det ved normal forekomst ( θ  = 0) ingen forskjell mellom dem, så alle polariseringstilstander styres av et enkelt sett med Fresnel -koeffisienter (og et annet spesialtilfelle er nevnt nedenfor der det er sant ).

Effekt (intensitet) refleksjon og overføringskoeffisienter

Variabler som brukes i Fresnel -ligningene

Effektkoeffisienter: luft til glass

Effektkoeffisienter: glass til luft

I diagrammet på høyre side, en innfallende plan bølge i retningen av strålen IO treffer grenseflate mellom to medier med brytningsindekser n ₁ og n ₂ i punktet O . En del av bølgen reflekteres i retning ELLER , og en del brytes i retning OT . Vinklene som hendelsen, reflekterte og brytede stråler gjør til normalen for grensesnittet er gitt som θ _i , θ _r og θ _t .

Forholdet mellom disse vinklene er gitt av refleksjonsloven :

${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {i}} = \ theta _ {\ mathrm {r}},}$

og Snells lov :

${\ displaystyle n_ {1} \ sin \ theta _ {\ mathrm {i}} = n_ {2} \ sin \ theta _ {\ mathrm {t}}.}$

Atferden til lys som rammer grensesnittet løses ved å vurdere de elektriske og magnetiske feltene som utgjør en elektromagnetisk bølge , og lovene om elektromagnetisme , som vist nedenfor . Forholdet mellom bølgeres elektriske felt (eller magnetfelt) amplituder oppnås, men i praksis er man oftere interessert i formler som bestemmer effektkoeffisienter , siden effekt (eller bestråling ) er det som kan måles direkte ved optiske frekvenser. Kraften til en bølge er generelt proporsjonal med kvadratet til den elektriske (eller magnetiske) feltamplituden.

Vi kaller brøkdel av den innfallende effekt som reflekteres fra grenseflaten i reflektans (eller "reflektivitet", eller "kraft refleksjonskoeffisient") R , og den fraksjonen som blir avbøyd inn i det andre medium kalles transmittans (eller "transmisjonsevne" eller "power transmisjonskoeffisienten") T  . Vær oppmerksom på at dette er det som vil bli målt rett på hver side av et grensesnitt og ikke tar hensyn til demping av en bølge i et absorberende medium etter overføring eller refleksjon.

Den reflektans for S-polarisert lys vil si

${\ displaystyle R _ {\ mathrm {s}} = \ left | {\ frac {Z_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}} -Z_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {t }}} {Z_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}}+Z_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {t}}}} \ right |^{2},}$

mens refleksjonen for p-polarisert lys er

${\ displaystyle R _ {\ mathrm {p}} = \ left | {\ frac {Z_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {t}} -Z_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i }}} {Z_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {t}}+Z_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}}}} \ right |^{2},}$

hvor Z ₁ og Z ₂ er bølgeimpedansene til henholdsvis media 1 og 2.

Vi antar at media er ikke-magnetiske (dvs. μ ₁ = μ ₂ = μ ₀ ), som vanligvis er en god tilnærming ved optiske frekvenser (og for transparente medier ved andre frekvenser). Deretter bestemmes bølgeimpedansene utelukkende av brytningsindeksene n ₁ og n ₂ :

${\ displaystyle Z_ {i} = {\ frac {Z_ {0}} {n_ {i}}} \ ,,}$

hvor Z ₀ er impedansen til ledig plass og i  = 1, 2. Ved å gjøre denne substitusjonen, får vi ligninger ved bruk av brytningsindeksene:

${\ displaystyle R _ {\ mathrm {s}} = \ left | {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}} -n_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {t }}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}}+n_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {t}}}} \ høyre |^{2} = \ venstre | {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}} -n_ {2} {\ sqrt {1- \ venstre ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ theta _ {\ mathrm {i}} \ right)^{2}}}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}}+n_ {2} {\ sqrt {1- \ venstre ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ theta _ {\ mathrm {i}} \ høyre)^{2}}}}} \ høyre |^{2} \ !,}$

${\ displaystyle R _ {\ mathrm {p}} = \ left | {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {t}} -n_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i }}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {t}}+n_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}}}} \ høyre |^{2} = \ venstre | {\ frac {n_ {1} {\ sqrt {1- \ venstre ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ theta _ {\ mathrm {i}} \ høyre)^{ 2}}}-n_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}}} {n_ {1} {\ sqrt {1- \ venstre ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2} }} \ sin \ theta _ {\ mathrm {i}} \ right)^{2}}}+n_ {2} \ cos \ theta _ {\ mathrm {i}}}} \ right |^{2} \ !.}$

Den andre formen for hver ligning er avledet fra den første ved å eliminere θ _t ved hjelp av Snells lov og trigonometriske identiteter .

Som en konsekvens av energibesparelse kan man finne den overførte kraften (eller mer korrekt, bestråling : kraft per arealenhet) ganske enkelt som den delen av den innfallende kraften som ikke reflekteres: 

${\ displaystyle T _ {\ mathrm {s}} = 1-R _ {\ mathrm {s}}}$

og

${\ displaystyle T _ {\ mathrm {p}} = 1-R _ {\ mathrm {p}}}$

Vær oppmerksom på at alle slike intensiteter måles i form av en bølges bestråling i retning normal til grensesnittet; dette er også det som måles i typiske eksperimenter. Dette tallet kan oppnås fra bestråling i retning av en hendelse eller reflektert bølge (gitt med størrelsen på en bølges Poynting -vektor ) multiplisert med cos  θ for en bølge i en vinkel θ til normalretningen (eller ekvivalent, ved å ta prikkproduktet av Poynting -vektoren med enhetsvektoren normal til grensesnittet). Denne komplikasjonen kan ignoreres når det gjelder refleksjonskoeffisienten, siden cos  θ _i  = cos  θ _r , slik at forholdet mellom reflektert og innfallende bestråling i bølgeretningen er det samme som i retningen normal til grensesnittet.

Selv om disse forholdene beskriver den grunnleggende fysikken, er man i mange praktiske anvendelser opptatt av "naturlig lys" som kan beskrives som upolarisert. Det betyr at det er like mye kraft i s- og p -polariseringene, slik at materialets effektive reflektivitet bare er gjennomsnittet av de to reflektivitetene:

${\ displaystyle R _ {\ mathrm {eff}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre (R _ {\ mathrm {s}}+R _ {\ mathrm {p}} \ høyre).}$

For applikasjoner med lav presisjon som involverer upolarisert lys, for eksempel datagrafikk , i stedet for å nøye beregne den effektive refleksjonskoeffisienten for hver vinkel, brukes Schlicks tilnærming ofte.

Spesielle tilfeller

Normal forekomst

For tilfellet med normal innfallsvinkel , og det er ingen forskjell mellom S- og P-polarisasjon. Dermed forenkles refleksjonen til ${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {i}} = \ theta _ {\ mathrm {t}} = 0}$

${\ displaystyle R = \ left | {\ frac {n_ {1} -n_ {2}} {n_ {1}+n_ {2}}} \ right |^{2}}$.

For vanlig glass ( n ₂ ≈ 1.5) omgitt av luft ( n ₁  = 1), kan effektreflektansen ved normal forekomst sees på å være omtrent 4%, eller 8% som utgjør begge sider av en glassrute.

Brewsters vinkel

Ved en dielektrisk grensesnitt fra n- ₁ til n- ₂ , er det en bestemt innfallsvinkel ved hvilken R _p går til null og en p-polarisert innfallende bølge er utelukkende brytes, og dermed alt reflektert lys er S-polarisert. Denne vinkelen er kjent som Brewsters vinkel , og er rundt 56 ° for n ₁  = 1 og n ₂  = 1,5 (typisk glass).

Total intern refleksjon

Når lys som beveger seg i et tettere medium, rammer overflaten til et mindre tett medium (dvs. n ₁ > n ₂ ), utover en bestemt forekomstvinkel kjent som den kritiske vinkelen , reflekteres alt lys og R _s = R _p = 1 . Dette fenomenet, kjent som total intern refleksjon , forekommer ved forekomstvinkler som Snells lov forutsier at sinus for brytningsvinkelen ville overstige enhet (mens faktisk synd  θ  ≤ 1 for alle virkelige θ ). For glass med n  = 1,5 omgitt av luft, er den kritiske vinkelen omtrent 41 °.

Kompleks amplituderefleksjon og overføringskoeffisienter

De ovennevnte ligningene knyttet til krefter (som for eksempel kan måles med et fotometer ) er avledet fra Fresnel -ligningene som løser det fysiske problemet når det gjelder komplekse amplituder for elektromagnetiske felt , dvs. vurderer fase i tillegg til effekt (som er viktig i flerveisformering for eksempel). De underliggende ligningene gir generelt komplekse verdier av disse EM-feltene og kan ha flere forskjellige former, avhengig av formalismen som brukes. De komplekse amplitudekoeffisientene er vanligvis representert med små bokstaver r og t (mens effektkoeffisientene er store).

Amplitudekoeffisienter: luft til glass

Amplitudekoeffisienter: glass til luft

I det følgende er refleksjonskoeffisienten r forholdet mellom den reflekterte bølgens elektriske feltkompleksamplitude og den for den innfallende bølgen. Overføringskoeffisienten t er forholdet mellom den overførte bølgens elektriske feltkompleksamplitude og den for hendelsen. Vi krever separate formler for s- og p -polariseringene. I hvert tilfelle antar vi en hendende planbølge i en innfallsvinkel på et plangrensesnitt, reflektert i en vinkel , og med en overført bølge i en vinkel , som tilsvarer figuren ovenfor. Vær oppmerksom på at i tilfeller av et grensesnitt til et absorberende materiale (der n er komplekst) eller total intern refleksjon, kan det hende at overføringsvinkelen ikke blir evaluert til et reelt tall. ${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {i}}}$${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {r}}}$${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {t}}}$

Vi vurderer tegnet på en bølges elektriske felt i forhold til en bølges retning. Følgelig, for p -polarisering ved normal forekomst, er den positive retningen til det elektriske feltet for en hendelsesbølge (til venstre) motsatt den av en reflektert bølge (også til venstre); for s polarisering er begge like (oppover).

Ved å bruke disse konvensjonene,

${\ displaystyle {\ begin {align} r _ {\ text {s}} & = {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-n_ {2} \ cos \ theta _ { \ text {t}}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}, \\ [3pt] t_ {\ text {s}} & = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+n_ { 2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}, \\ [3pt] r _ {\ text {p}} & = {\ frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i }}-n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}, \\ [3pt] t _ {\ text {p}} & = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}. \ end {align}}}$

Man kan se at t _s = r _s + 1 og n ₂/n ₁t _p = r _p +1 . Man kan skrive lignende ligninger som gjelder forholdet mellom magnetiske felt i bølgene, men disse er vanligvis ikke nødvendig.

Fordi de reflekterte og innfallende bølgene forplanter seg i det samme mediet og gjør den samme vinkelen med normalen til overflaten, er effektrefleksjonskoeffisienten R bare kvadratiske størrelsen på r : 

${\ displaystyle R = | r |^{2}.}$

På den annen side er beregningen av kraftoverføringskoeffisienten T mindre enkel, siden lyset beveger seg i forskjellige retninger i de to mediene. Dessuten er bølgeimpedansene i de to mediene forskjellige; effekten er bare proporsjonal med kvadratet av amplituden når medias impedanser er de samme (som de er for den reflekterte bølgen). Dette resulterer i:

${\ displaystyle T = {\ frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}}} | t |^{ 2}.}$

Faktoren til n ₂ / n ₁ er det gjensidige av forholdet mellom medienes bølgeimpedanser (siden vi antar μ  =  μ ₀ ). Faktoren til cos ( θ _t )/cos ( θ _i ) er fra å uttrykke kraft i den normale retning til grensesnittet, for både hendelsen og overførte bølger.

Ved total intern refleksjon der kraftoverføringen T er null, beskriver t likevel det elektriske feltet (inkludert fasen) like utenfor grensesnittet. Dette er et flyktig felt som ikke forplanter seg som en bølge (altså T  = 0), men som har nullverdier veldig nær grensesnittet. Faseskiftet til den reflekterte bølgen ved total intern refleksjon kan på samme måte oppnås fra fasevinklene til r _p og r _s (hvis størrelser er enhet). Disse faseskiftene er forskjellige for s- og p- bølger, som er det velkjente prinsippet som total intern refleksjon brukes til å utføre polarisasjonstransformasjoner .

Alternative former

I formelen ovenfor for r _s‍ , hvis vi setter (Snells lov) og multipliserer teller og nevner med${\ displaystyle n_ {2} = n_ {1} \ sin \ theta _ {\ text {i}}/\ sin \ theta _ {\ text {t}}}$1/n ₁ synd θ _t ‍ , får vi 

${\ displaystyle r _ {\ tekst {s}} =-{\ frac {\ sin (\ theta _ {\ tekst {i}}-\ theta _ {\ tekst {t}})} {\ sin (\ theta _ {\ text {i}}+\ theta _ {\ text {t}})}}}}$

Hvis vi gjør det samme med formelen for r _p‍ , er resultatet lett vist å være ekvivalent med 

${\ displaystyle r _ {\ tekst {p}} = {\ frac {\ tan (\ theta _ {\ tekst {i}}-\ theta _ {\ tekst {t}})} {\ tan (\ theta _ { \ text {i}}+\ theta _ {\ text {t}})}}}}$

Disse formlene er henholdsvis kjent som Fresnels sinuslov og Fresnels tangentlov . Selv om disse uttrykkene ved normal forekomst reduseres til 0/0, kan man se at de gir de riktige resultatene i grensen som θ _i → 0 . ‍

Flere overflater

Når lys gjør flere refleksjoner mellom to eller flere parallelle overflater, forstyrrer de mange lysstrålene generelt hverandre, noe som resulterer i nettoverførings- og refleksjonsamplituder som er avhengig av lysets bølgelengde. Forstyrrelsen blir imidlertid bare sett når overflatene er på avstander som er sammenlignbare med eller mindre enn lysets koherenslengde , som for vanlig hvitt lys er få mikrometer; det kan være mye større for lys fra en laser .

Et eksempel på interferens mellom refleksjoner er de iriserende fargene som sees i en såpeboble eller i tynne oljefilmer på vann. Bruksområdene inkluderer Fabry – Pérot interferometre , antirefleksbelegg og optiske filtre . En kvantitativ analyse av disse effektene er basert på Fresnel -ligningene, men med ytterligere beregninger for å ta hensyn til forstyrrelser.

Den overførings-matrise-metoden , eller den rekursive Rouard metoden kan brukes til å løse fler overflaten problemer.

Historie

I 1808 oppdaget Étienne-Louis Malus at når en lysstråle ble reflektert fra en ikke-metallisk overflate i passende vinkel, oppførte den seg som en av de to strålene som kom fra et dobbeltbrytende kalsittkrystall. Senere laget han begrepet polarisering for å beskrive denne oppførselen. I 1815 ble avhengigheten til polariseringsvinkelen av brytningsindeksen bestemt eksperimentelt av David Brewster . Men årsaken til den avhengigheten var et så dypt mysterium at Thomas Young i slutten av 1817 ble beveget til å skrive:

Den store vanskeligheten for alle, det vil si å tildele en tilstrekkelig grunn til refleksjon eller ikke -refleksjon av en polarisert stråle, vil sannsynligvis lenge forbli, for å ødelegge forfengeligheten til en ambisiøs filosofi, fullstendig uløst av noen teori.

I 1821 avledet Augustin-Jean Fresnel imidlertid resultater som tilsvarer sine sinus- og tangenslover (ovenfor), ved å modellere lysbølger som tverrgående elastiske bølger med vibrasjoner vinkelrett på det som tidligere hadde blitt kalt polarisasjonsplanet . Fresnel bekreftet umiddelbart ved eksperiment at ligningene korrekt forutslo polarisasjonsretningen til den reflekterte strålen når den innfallende strålen ble polarisert ved 45 ° til forekomstplanet, for lys som hendte fra luft på glass eller vann; spesielt ga ligningene den riktige polarisasjonen i Brewsters vinkel. Den eksperimentelle bekreftelsen ble rapportert i et "etterskrift" til arbeidet der Fresnel først avslørte sin teori om at lysbølger, inkludert "upolariserte" bølger, var rent tverrgående.

Detaljer om Fresnels avledning, inkludert de moderne formene for sinusloven og tangentloven, ble gitt senere, i et memoar som ble lest for det franske vitenskapsakademiet i januar 1823. Denne avledningen kombinerte bevaring av energi med kontinuitet i den tangensielle vibrasjonen ved grensesnittet , men klarte ikke å tillate noen tilstand på den normale komponenten av vibrasjon. Den første avledningen fra elektromagnetiske prinsipper ble gitt av Hendrik Lorentz i 1875.

I det samme memoaret fra januar 1823 fant Fresnel at for innfallsvinkler større enn den kritiske vinkelen, ga formlene hans for refleksjonskoeffisientene ( r _s og r _p ) komplekse verdier med enhetsstørrelser. Siden han bemerket at størrelsen, som vanlig, representerte forholdet mellom toppamplituder, gjettet han at argumentet representerte faseskiftet og verifiserte hypotesen eksperimentelt. Verifiseringen involverte

• beregning av forekomstvinkelen som ville introdusere en total faseforskjell på 90 ° mellom s- og p -komponentene, for forskjellige antall totale interne refleksjoner i den vinkelen (vanligvis var det to løsninger),
• utsetter lyset for det totale antallet interne refleksjoner i den innfallsvinkelen, med en innledende lineær polarisering ved 45 ° til forekomstplanet, og
• sjekke at den endelige polarisasjonen var sirkulær .

Dermed hadde han endelig en kvantitativ teori for det vi nå kaller Fresnel -romben - en enhet han hadde brukt i eksperimenter, i en eller annen form, siden 1817 (se Fresnel -romben §  Historie ).

Suksessen til den komplekse refleksjonskoeffisienten inspirerte James MacCullagh og Augustin-Louis Cauchy , fra 1836, til å analysere refleksjon fra metaller ved å bruke Fresnel-ligningene med en kompleks brytningsindeks .

Fire uker før han presenterte sin fullførte teori om total intern refleksjon og romben, la Fresnel frem et memoar der han introduserte de nødvendige begrepene lineær polarisering , sirkulær polarisering og elliptisk polarisering , og der han forklarte optisk rotasjon som en art av dobbeltbrytning : lineært polarisert lys kan oppløses i to sirkulært polariserte komponenter som roterer i motsatte retninger, og hvis disse forplanter seg med forskjellige hastigheter, vil faseforskjellen mellom dem-derav orienteringen til deres lineært polariserte resultant-variere kontinuerlig med avstand.

Således markerte Fresnels tolkning av de komplekse verdiene til hans refleksjonskoeffisienter sammenløpet av flere strømmer av hans forskning og uten tvil den essensielle fullføringen av hans rekonstruksjon av fysisk optikk på tverrbølgehypotesen (se Augustin-Jean Fresnel ).

Teori

Her utleder vi systematisk ovennevnte relasjoner fra elektromagnetiske lokaler.

Materialparametere

For å beregne meningsfulle Fresnel -koeffisienter må vi anta at mediet er (omtrent) lineært og homogent . Dersom mediet er også isotropisk , de fire feltvektorer E ,  B ,  D ,  H er beslektet med ‍  

D  = ϵ E 

B  = μ H   ,

hvor ϵ og μ er skalarer, henholdsvis kjent som (elektrisk) permittivitet og (magnetisk) permeabilitet av mediet. For et vakuum, disse har verdiene iU ^ ₀ og u ₀ , respektivt. Derfor definerer vi den relative permittiviteten (eller dielektriske konstanten ) ϵ _rel  =  ϵ / ϵ ₀  , og den relative permeabiliteten μ _rel  =  μ / μ ₀ .

I optikk er det vanlig å anta at mediet er ikke-magnetisk, slik at μ _rel  = 1. For ferromagnetiske materialer ved radio-/mikrobølgefrekvenser må større verdier av μ _rel tas i betraktning. Men for optisk transparente medier og for alle andre materialer ved optiske frekvenser (unntatt mulige metamaterialer ), er μ _rel faktisk veldig nær 1; det vil si μ  ≈  μ ₀ .

I optikk kjenner man vanligvis brytningsindeksen n til mediet, som er forholdet mellom lysets hastighet i et vakuum ( c ) og lysets hastighet i mediet. I analysen av delvis refleksjon og transmisjon, er man også interessert i den elektromagnetiske bølge impedans Z , som er forholdet mellom amplituden av E med amplituden av H . Det er derfor ønskelig å uttrykke n og Z i form av ϵ og μ , og deretter relatere Z til n . Det sistnevnte forhold, men vil gjøre det praktisk å utlede refleksjonsfaktorene i form av bølge admittansen Y , som er den resiproke verdi av bølge impedans Z .

Når det gjelder ensartede plane sinusformede bølger, er bølgeimpedansen eller innrømmelsen kjent som mediumets indre impedans eller innrømmelse. Denne saken er den som Fresnel -koeffisientene skal utledes for.

Elektromagnetiske planbølger

I en ensartet sinusformet elektromagnetisk bølge har det elektriske feltet E formen

${\ displaystyle \ mathbf {E_ {k}} e^{i (\ mathbf {k \ cdot r} -\ omega t)},}$

( 1 )

hvor E _k er (konstant) kompleks amplitudevektor,  i er den imaginære enheten ,  k er bølgevektoren (hvis størrelse k er det kantede bølgetallet ),  r er posisjonsvektoren ,  ω er vinkelfrekvensen ,  t er tiden, og det er forstått at den virkelige delen av uttrykket er det fysiske feltet. Verdien av uttrykket er uendret hvis posisjonen r varierer i en retning som er normal til k ; derfor er k normalt for bølgefrontene .

For å fremme fase ved vinkelen φ , erstatter vi wt ved wt + φ  (det vil si, vi erstatte -ωt ved -ωt-φ ),  med det resultat at (kompleks) felt multipliseres med e ^-iφ . Så en fase forhånd er ekvivalent med multiplikasjon med en kompleks konstant med en negativ argument . Dette blir mer åpenbart når feltet ( 1 ) regnes som E _k e ^{i k⋅r} e ^−iωt , der den siste faktoren inneholder tidsavhengigheten. Denne faktoren innebærer også at differensieringstid svarer til multiplikasjon med -iω .  ‍   

Hvis ℓ er komponenten til r i retning k  , kan feltet ( 1 ) skrives E _k e ^{i ( kℓ − ωt )} . Hvis argumentet av e ^{i (⋯)} er for å være konstant,  ℓ  må øke i hastighet er kjent som fasehastigheten ( v _s ) . Dette er igjen lik . Å løse for k gir ‍  ‍ ${\ displaystyle \ omega /k \ ,, \,}$  ‍ ${\ displaystyle c/n}$

${\ displaystyle k = n \ omega /c \,}$.

( 2 )

Som vanlig dropper vi den tidsavhengige faktoren e ^ωiωt som er ment å multiplisere hver kompleks ^feltmengde . Det elektriske feltet for en ensartet plan sinusbølge vil da bli representert av den stedsavhengige fasoren

${\ displaystyle \ mathbf {E_ {k}} e^{i \ mathbf {k \ cdot r}}}$.

( 3 )

For felt i den formen reduseres Faradays lov og Maxwell-Ampère-loven til henholdsvis 

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ omega \ mathbf {B} & = \ mathbf {k} \ times \ mathbf {E} \\\ omega \ mathbf {D} & =-\ mathbf {k} \ times \ mathbf {H} \,. \ end {align}}}$

Ved å sette B = μ H og D = ϵ E , som ovenfor, kan vi eliminere B og D for å oppnå ligninger i bare E og H :          ‍‍

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ omega \ mu \ mathbf {H} & = \ mathbf {k} \ times \ mathbf {E} \\\ omega \ epsilon \ mathbf {E} & =-\ mathbf {k } \ ganger \ mathbf {H} \,. \ ende {justert}}}$

Hvis materialparametrene ϵ og μ er reelle (som i et tapsfritt dielektrikum), viser disse ligningene at k  , E  , H    danner en høyrehendt ortogonal triade , slik at de samme ligningene gjelder størrelsene til de respektive vektorene. Ved å ta størrelsesligningene og erstatte fra ( 2 ), får vi

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu cH & = nE \\\ epsilon cE & = nH \ ,, \ end {align}}}$

hvor H og E er størrelsene av H og E .  Å multiplisere de to siste ligningene gir

${\ displaystyle n = c \, {\ sqrt {\ mu \ epsilon}} \ ,.}$

( 4 )

Deling (eller kryssmultiplikasjon) av de samme to ligningene gir H = YE , hvor     ‍‍

${\ displaystyle Y = {\ sqrt {\ epsilon /\ mu}} \,}$.

( 5 )

Dette er den iboende innrømmelsen .

Fra ( 4 ) får vi fasehastigheten . For et vakuum reduseres dette til . Å dele det andre resultatet med det første gir ‍ ${\ displaystyle c /n = 1 {\ big /} \! {\ sqrt {\ mu \ epsilon \,}}}$ ‍ ${\ displaystyle c = 1 {\ big /} \! {\ sqrt {\ mu _ {0} \ epsilon _ {0}}}}$ 

${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ mu _ {\ text {rel}} \ epsilon _ {\ text {rel}}}}} \,}$.

For et ikke-magnetisk medium (det vanlige tilfellet) blir dette . ${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ epsilon _ {\ text {rel}}}}}$

( Å ta den inverse verdi av ( 5 ), finner vi at den indre impedans er . I vakuum dette tar verdien kjent som impedansen av ledig plass . Ved divisjon, . For et ikke-magnetisk medium, blir dette )${\ textstyle Z = {\ sqrt {\ mu /\ epsilon}}}$${\ textstyle Z_ {0} = {\ sqrt {\ mu _ {0}/\ epsilon _ {0}}} \, \ approx 377 \, \ Omega \ ,,}$‍${\ textstyle Z/Z_ {0} = {\ sqrt {\ mu _ {\ text {rel}}/\ epsilon _ {\ text {rel}}}}}$ ${\ displaystyle Z = Z_ {0} {\ big /} \! {\ sqrt {\ epsilon _ {\ text {rel}}}} = Z_ {0} /n.}$

Bølgevektorene

Innfallende, reflekterte og overførte bølge vektorer ( k _I‍ , k _r‍ , og k _t  ), for forekomst av et medium med brytningsindeks n ₁ til et medium med brytningsindeks n ₂ . De røde pilene er vinkelrett på bølgevektorene.

I kartesiske koordinater ( x ,  y , z )‍ , la regionen y < 0 ha brytningsindeks n ₁  , innebygd adgang Y ₁  , etc., og la regionen y > 0 ha brytningsindeks n ₂  , innebygd inngang Y ₂  , etc . Da er xz -planet grensesnittet, og y -aksen er normal for grensesnittet (se diagram). La i og j (i fet skrift roman typen ) er enhetsvektorene i x og y- retningene, henholdsvis. La forekomstplanet være xy -planet (sidens plan), med forekomstvinkelen θ _i målt fra j mot i . La brytningsvinkelen, målt i samme forstand, være θ _t , der abonnementet t står for transmittert (reservere r for reflektert ). ‍   ‍‍   ‍ 

I fravær av Doppler-skift , ω endrer ikke på refleksjon eller refraksjon. Derfor ( 2 ) er størrelsen på bølgevektoren proporsjonal med brytningsindeksen.

Så, for et gitt ω , hvis vi omdefinerer k som størrelsen på bølgevektoren i referansemediet (for hvilket n  = ‍1 ), har bølgevektoren størrelsen n ₁ k i det første mediet (område y < 0 i diagram) og størrelsen n ₂ k i det andre mediet. Ut fra størrelsene og geometrien finner vi at bølgevektorene er ‍   ‍

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {k} _ {\ text {i}} & = n_ {1} k (\ mathbf {i} \ sin \ theta _ {\ text {i}}+\ mathbf {j} \ cos \ theta _ {\ text {i}}) \\ [. 5ex] \ mathbf {k} _ {\ text {r}} & = n_ {1} k (\ mathbf {i} \ sin \ theta _ {\ text {i}}-\ mathbf {j} \ cos \ theta _ {\ text {i}}) \\ [. 5ex] \ mathbf {k} _ {\ text {t}} & = n_ {2} k (\ mathbf {i} \ sin \ theta _ {\ text {t}}+\ mathbf {j} \ cos \ theta _ {\ text {t}}) \\ & = k (\ mathbf {i} \, n_ {1} \ sin \ theta _ {\ text {i}}+\ mathbf {j} \, n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}) \ ,, \ slutt {align}}}$

der det siste trinnet bruker Snells lov. De tilsvarende punktproduktene i fasorformen ( 3 ) er

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {k} _ {\ text {i}} \ mathbf {\ cdot r} & = n_ {1} k (x \ sin \ theta _ {\ text {i}} +y \ cos \ theta _ {\ text {i}}) \\\ mathbf {k} _ {\ text {r}} \ mathbf {\ cdot r} & = n_ {1} k (x \ sin \ theta _ {\ text {i}}-y \ cos \ theta _ {\ text {i}}) \\\ mathbf {k} _ {\ text {t}} \ mathbf {\ cdot r} & = k (n_ {1} x \ sin \ theta _ {\ text {i}}+n_ {2} y \ cos \ theta _ {\ text {t}}) \,. \ End {justert}}}$

( 6 )

Derfor:

Kl  .${\ displaystyle y = 0 \ ,, ~~~ \ mathbf {k} _ {\ text {i}} \ mathbf {\ cdot r} = \ mathbf {k} _ {\ text {r}} \ mathbf {\ cdot r} = \ mathbf {k} _ {\ text {t}} \ mathbf {\ cdot r} = n_ {1} kx \ sin \ theta _ {\ text {i}} \,}$

( 7 )

De s komponentene

For s polarisering er E -feltet parallelt med z -aksen og kan derfor beskrives med komponenten i z  -retningen. La refleksjons og transmisjons-koeffisienter være r _s og t _s  , respektivt. Hvis det hendende E -feltet blir tatt for å ha enhetsamplitude, er fasformen ( 3 ) av z  -komponenten

${\ displaystyle E _ {\ text {i}} = e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {i}} \ mathbf {\ cdot r}},}$

( 8 )

og de reflekterte og overførte feltene, i samme form, er

${\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {r}} & = r_ {s \,} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {r}} \ mathbf {\ cdot r}} \\ E _ {\ text {t}} & = t_ {s \,} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {t}} \ mathbf {\ cdot r}}. \ End {align}} }$

( 9 )

Under tegnkonvensjonen som brukes i denne artikkelen, er en positiv refleksjon eller overføringskoeffisient en som bevarer retningen til det tverrgående feltet, noe som betyr (i denne sammenhengen) feltet som er normalt for forekomstplanet. For s polarisering betyr det E -feltet. Hvis hendelsen, reflekterte og overførte E -felt (i ligningene ovenfor) er i z  -retningen ("ut av siden"), er de respektive H -feltene i retningene til de røde pilene, siden k  , E  , H danne en høyrehendt ortogonal triade. De H- felt kan derfor beskrives ved deres komponenter i retningene av de piler, betegnet med H _I  , H _R , H _t . Siden H = YE ,        ‍      ‍

${\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ text {i}} & = \, Y_ {1} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {i}} \ mathbf {\ cdot r}} \\ H _ {\ text {r}} & = \, Y_ {1} r_ {s \,} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {r}} \ mathbf {\ cdot r}} \ \ H _ {\ text {t}} & = \, Y_ {2} t_ {s \,} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {t}} \ mathbf {\ cdot r}}. \ slutt {align}}}$

( 10 )

Ved grensesnittet, ved de vanlige grensesnittforholdene for elektromagnetiske felt , må tangensielle komponenter i E- og H -feltene være kontinuerlige; det er,

${\ displaystyle \ left. {\ begin {align} E _ {\ text {i}}+E _ {\ text {r}} & = E _ {\ text {t}} \\ H _ {\ text {i}} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-H _ {\ text {r}} \ cos \ theta _ {\ text {i}} & = H _ {\ text {t}} \ cos \ theta _ {\ text {t}} \ end {align}} ~~ \ right \} ~~~ {\ text {at}} ~~ y = 0 \,}$.

( 11 )

Når vi erstatter fra ligninger ( 8 ) til ( 10 ) og deretter fra ( 7 ), avbrytes eksponensielle faktorer, slik at grensesnittforholdene reduseres til samtidige ligninger

${\ displaystyle {\ begin {align} 1+r _ {\ text {s}} & = \, t _ {\ text {s}} \\ Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}- Y_ {1} r _ {\ text {s}} \ cos \ theta _ {\ text {i}} & = \, Y_ {2} t _ {\ text {s}} \ cos \ theta _ {\ text {t }} \ ,, \ ende {justert}}}$

( 12 )

som lett løses for r _s og t _s‍ , gir

${\ displaystyle r _ {\ text {s}} = {\ frac {Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}$

( 13 )

og

${\ displaystyle t _ {\ text {s}} = {\ frac {2Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}} +Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \,}$.

( 14 )

Ved normal forekomst ( θ _i = θ _t = 0), angitt med et ekstra abonnement 0, blir disse resultatene ‍   

${\ displaystyle r _ {\ text {s0}} = {\ frac {Y_ {1} -Y_ {2}} {Y_ {1}+Y_ {2}}}}$

( 15 )

og

${\ displaystyle t _ {\ text {s0}} = {\ frac {2Y_ {1}} {Y_ {1}+Y_ {2}}} \,}$.

( 16 )

Ved beiteinnfall ( θ _i → 90 °) har vi cos θ _i → 0 , derav r _s → −1 og t _s → 0 . ‍      ‍        

De p komponentene

For p- polarisering, den innfallende, reflekterte og overførte E- felt er parallelt med de røde pilene, og kan derfor beskrives ved deres komponenter i retningene av disse piler. La disse komponentene være E _i  , E _r , E _t (omdefinere symbolene for den nye konteksten). La refleksjon og overføringskoeffisienter være r _p og t _p . Så, hvis hendelses E -feltet blir tatt for å ha enhetsamplitude, har vi    ‍  

${\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {i}} & = e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {i}} \ mathbf {\ cdot r}} \\ E _ {\ text {r}} & = r_ {p \,} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {r}} \ mathbf {\ cdot r}} \\ E _ {\ text {t}} & = t_ {p \,} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {t}} \ mathbf {\ cdot r}}. \ end {justert}}}$

( 17 )

Hvis E- felt er i retningene av pilene røde, deretter, i rekkefølge for k  , E  , H for å danne en høyrehendt ortogonal triade, de respektive H feltene må være i -z-  retningen ( "inn i side") og kan derfor beskrives av komponentene i den retningen. Dette er i overensstemmelse med den vedtatte skilt konvensjon, nemlig at en positiv refleksjon eller transmisjonskoeffisienten er en som bevarer retningen av feltet tverrgående ( i H- felt i tilfelle av p- polarisasjonen ) . Avtalen mellom det andre feltet og de røde pilene avslører en alternativ definisjon av tegnkonvensjonen: at en positiv refleksjon eller overføringskoeffisient er en som feltvektoren i forekomstplanet peker mot samme medium før og etter refleksjon eller overføring.      

Så, for hendelsen, reflekterte og overførte H -felt, la de respektive komponentene i -z  -retningen være H _i  , H _r , H _t . Siden H = YE ,   ‍      ‍

${\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ text {i}} & = \, Y_ {1} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {i}} \ mathbf {\ cdot r}} \\ H _ {\ text {r}} & = \, Y_ {1} r_ {p \,} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {r}} \ mathbf {\ cdot r}} \ \ H _ {\ text {t}} & = \, Y_ {2} t_ {p \,} e^{i \ mathbf {k} _ {\ text {t}} \ mathbf {\ cdot r}}. \ slutt {align}}}$

( 18 )

I grensesnittet må tangensielle komponenter i E- og H -feltene være kontinuerlige; det er,

${\ displaystyle \ left. {\ begin {align} E _ {\ text {i}} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-E _ {\ text {r}} \ cos \ theta _ {\ text { i}} & = E _ {\ tekst {t}} \ cos \ theta _ {\ tekst {t}} \\ H _ {\ tekst {i}}+H _ {\ tekst {r}} & = H _ {\ tekst {t}} \ end {align}} ~~ \ right \} ~~~ {\ text {at}} ~~ y = 0 \,}$.

( 19 )

Når vi erstatter fra ligninger ( 17 ) og ( 18 ) og deretter fra ( 7 ), avbrytes eksponensielle faktorer igjen, slik at grensesnittforholdene reduseres til

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-r _ {\ text {p}} \ cos \ theta _ {\ text {i}} & = \, t _ {\ text {p}} \ cos \ theta _ {\ text {t}} \\ Y_ {1}+Y_ {1} r _ {\ text {p}} & = \, Y_ {2} t _ {\ text {p} } \,. \ end {align}}}$

( 20 )

Løsning for r _p og t _p‍ , finner vi

${\ displaystyle r _ {\ text {p}} = {\ frac {Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}$

( 21 )

og

${\ displaystyle t _ {\ text {p}} = {\ frac {2Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} +Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \,}$.

( 22 )

Ved normal forekomst ( θ _i = θ _t = 0), angitt med et ekstra abonnement 0, blir disse resultatene ‍   

${\ displaystyle r _ {\ text {p0}} = {\ frac {Y_ {2} -Y_ {1}} {Y_ {2}+Y_ {1}}}}$

( 23 )

og

${\ displaystyle t _ {\ text {p0}} = {\ frac {2Y_ {1}} {Y_ {2}+Y_ {1}}} \,}$.

( 24 )

Ved beiteinnfall ( θ _i → 90 °) har vi igjen cos θ _i → 0 , derav r _p → −1 og t _p → 0 . ‍      ‍        

Ved å sammenligne ( 23 ) og ( 24 ) med ( 15 ) og ( 16 ), ser vi at ved normal forekomst, under den vedtatte tegnkonvensjonen, er overføringskoeffisientene for de to polarisasjonene like, mens refleksjonskoeffisientene har like store størrelser, men motsatte tegn . Selv om denne sammenstøtet av tegn er en ulempe med konvensjonen, er den medfølgende fordelen at skiltene er enige om beitehendelsen .

Effektforhold (reflektivitet og transmissivitet)

Den Poynting vektor for en bølge er en vektor hvis komponent i hvilken som helst retning er den irradians (effekt pr arealenhet) av det bølge på en flate vinkelrett på den retningen. For en plan sinusformet bølge er Poynting -vektoren‍ 1/2‍Re { E  x H ^* },  hvor E og H skyldes bare til den bølge det gjelder, og stjernene betegner kompleks konjugering. Inne i et tapsfritt dielektrikum (det vanlige tilfellet) er E og H i fase, og i rette vinkler til hverandre og til bølgevektoren k  ; så for s polarisering, ved bruk av z- og xy -komponentene i henholdsvis E og H (eller for p -polarisering, ved bruk av xy- og -z -komponentene i E og H ), blir bestrålingen i k -retningen ganske enkelt gitt av EH /2 ,‍ som er E ² / 2Z i et medium av indre impedans Z  = 1 / Y . For å beregne bestrålingen i den normale retning til grensesnittet, slik vi vil kreve i definisjonen av kraftoverføringskoeffisienten, kunne vi bare bruke x -komponenten (i stedet for hele xy -komponenten) til H eller E eller, tilsvarende, ganske enkelt multiplisere EH / 2 med riktig geometrisk faktor, og får ( E ² / 2Z )  cos  θ . ‍   

Fra ligninger ( 13 ) og ( 21 ), ved å ta kvadratiske størrelser, finner vi at reflektiviteten (forholdet mellom reflektert kraft og innfallende kraft) er

${\ displaystyle R _ {\ text {s}} = \ left | {\ frac {Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t }}} {Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \ høyre |^{2}}$

( 25 )

for s polarisering, og

${\ displaystyle R _ {\ text {p}} = \ left | {\ frac {Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t }}} {Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \ høyre |^{2}}$

( 26 )

for p -polarisasjonen. Vær oppmerksom på at når du sammenligner effektene til to slike bølger i samme medium og med samme  cos θ , er impedansen og de geometriske faktorene nevnt ovenfor identiske og avbrytes. Men ved beregning av kraftoverføringen (nedenfor) må disse faktorene tas i betraktning.  

Den enkleste måten å oppnå kraftoverføringskoeffisienten ( transmissivitet , forholdet mellom overført effekt og innfallende effekt i normal retning til grensesnittet , dvs. y -retningen) er å bruke R  +  T  = 1‍ (energibesparelse). På denne måten finner vi

${\ displaystyle T _ {\ text {s}} = 1-R _ {\ text {s}} = \, {\ frac {4 \, {\ text {Re}} \ {Y_ {1} Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} \ cos \ theta _ {\ text {t}} \}} {\ venstre | Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+Y_ {2 } \ cos \ theta _ {\ text {t}} \ right |^{2}}}}$

( 25T )

for s polarisering, og

${\ displaystyle T _ {\ text {p}} = 1-R _ {\ text {p}} = \, {\ frac {4 \, {\ text {Re}} \ {Y_ {1} Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} \ cos \ theta _ {\ text {t}} \}} {\ venstre | Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+Y_ {1 } \ cos \ theta _ {\ text {t}} \ right |^{2}}}}$

( 26T )

for p -polarisasjonen.

Når det gjelder et grensesnitt mellom to tapsfrie medier (for hvilke ϵ og μ er reelle og positive), kan man oppnå disse resultatene direkte ved å bruke de kvadratiske størrelsene til amplitudeoverføringskoeffisientene som vi fant tidligere i ligninger ( 14 ) og ( 22 ) . Men, for gitt amplitude (som nevnt ovenfor), er komponenten av den Poynting vektor i y er retningen proporsjonal med den geometriske faktor cos  θ‍ og omvendt proporsjonal med bølge impedans Z . Ved å bruke disse korreksjonene på hver bølge, får vi to forhold som multipliserer kvadratet til amplitudeoverføringskoeffisienten:

${\ displaystyle T _ {\ text {s}} = \ left ({\ frac {2Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text { i}}+Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \ høyre)^{2} {\ frac {\, Y_ {2} \,} {Y_ {1}}} \ , {\ frac {\ cos \ theta _ {\ text {t}}} {\ cos \ theta _ {\ text {i}}}} = {\ frac {4Y_ {1} Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {\ left (Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ tekst {t}} \ høyre)^{2}}}}$

( 27 )

for s polarisering, og

${\ displaystyle T _ {\ text {p}} = \ left ({\ frac {2Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text { i}}+Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \ høyre)^{2} {\ frac {\, Y_ {2} \,} {Y_ {1}}} \ , {\ frac {\ cos \ theta _ {\ text {t}}} {\ cos \ theta _ {\ text {i}}}} = {\ frac {4Y_ {1} Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {\ left (Y_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+Y_ {1} \ cos \ theta _ {\ tekst {t}} \ høyre)^{2}}}}$

( 28 )

for p -polarisasjonen. De to siste ligningene gjelder bare for tapsløse dielektrikker, og bare ved forekomstvinkler som er mindre enn den kritiske vinkelen (utover dette, selvfølgelig, T  = 0  ).

Lige brytningsindekser

Fra ligninger ( 4 ) og ( 5 ) ser vi at to forskjellige medier vil ha samme brytningsindeks, men forskjellige innleggelser, hvis forholdet mellom permeabilitetene er det inverse av forholdet mellom permittivitetene. I den uvanlige situasjonen har vi θ _t = θ _i (det vil si at den overførte strålen ikke er avviket), slik at kosinusene i ligningene ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) og ( 25 ) til ( 28 ) avbryte, og alle refleksjons- og overføringsforhold blir uavhengige av forekomstvinkelen; med andre ord blir forholdene for normal forekomst gjeldende for alle vinkler av forekomst. Når den utvides til sfærisk refleksjon eller spredning, resulterer dette i Kerker -effekten for Mie -spredning .    ‍

Ikke-magnetiske medier

Siden Fresnel-ligningene ble utviklet for optikk, er de vanligvis gitt for ikke-magnetiske materialer. Divisjon ( 4 ) med ( 5 )) gir

${\ displaystyle Y = {\ frac {n} {\, c \ mu \,}}}$.

For ikke-magnetiske medier kan vi erstatte vakuumpermeabiliteten μ ₀ med μ , slik at

${\ displaystyle Y_ {1} = {\ frac {n_ {1}} {\, c \ mu _ {0}}} ~~; ~~~ Y_ {2} = {\ frac {n_ {2}} { \, c \ mu _ {0}}} \,}$;

det vil si at adgangene ganske enkelt er proporsjonale med de tilsvarende brytningsindeksene. Når vi gjør disse substitusjonene i ligningene ( 13 ) til ( 16 ) og ligningene ( 21 ) til ( 26 ), utgår faktoren cμ ₀ . For amplitudekoeffisientene får vi:

${\ displaystyle r _ {\ text {s}} = {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}$

( 29 )

${\ displaystyle t _ {\ text {s}} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}} +n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \,}$

( 30 )

${\ displaystyle r _ {\ text {p}} = {\ frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}} {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}}}$

( 31 )

${\ displaystyle t _ {\ text {p}} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}} {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} +n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \,}$.

( 32 )

For normal forekomst reduseres disse til:

${\ displaystyle r _ {\ text {s0}} = {\ frac {n_ {1} -n_ {2}} {n_ {1}+n_ {2}}}}$

( 33 )

${\ displaystyle t _ {\ text {s0}} = {\ frac {2n_ {1}} {n_ {1}+n_ {2}}}}$

( 34 )

${\ displaystyle r _ {\ text {p0}} = {\ frac {n_ {2} -n_ {1}} {n_ {2}+n_ {1}}}}$

( 35 )

${\ displaystyle t _ {\ text {p0}} = {\ frac {2n_ {1}} {n_ {2}+n_ {1}}} \,}$.

( 36 )

Effektrefleksjonskoeffisientene blir:

${\ displaystyle R _ {\ text {s}} = \ left | {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t }}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \ høyre |^{2}}$

( 37 )

${\ displaystyle R _ {\ text {p}} = \ left | {\ frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}-n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t }}} {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}}+n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t}}}} \ høyre |^{2}}$.

( 38 )

De kraftoverføring kan så finnes fra T  = 1 -  R .

Brewsters vinkel

For like permeabiliteter (f.eks. Ikke-magnetiske medier), hvis θ _i og θ _t er komplementære , kan vi erstatte sin θ _t med cos θ _i , og sin θ _i med cos θ _t , slik at telleren i ligning ( 31 ) blir n ₂ sin θ _t - n ₁ sin θ _i , som er null (etter Snells lov). Derfor er r _p = 0 og bare den s-polariserte komponenten reflekteres. Dette er det som skjer i Brewster -vinkelen . Erstatte cos θ _jeg for sin θ _t i Snell lov, vi lett få ‍  ‍‍  ‍‍  ‍‍  ‍‍ ‍  ‍ ‍     ‍  ‍‍  ‍

${\ displaystyle \ theta _ {\ text {i}} = \ arctan (n_ {2}/n_ {1})}}$

( 39 )

for Brewsters vinkel.

Like tillatelser

Selv om det ikke oppstår i praksis, kan ligningene også gjelde for to medier med en felles permittivitet, men forskjellige brytningsindekser på grunn av forskjellige permeabiliteter. Fra ligningene ( 4 ) og ( 5 ), hvis ε er festet i stedet for μ , deretter Y blir omvendt proporsjonal med n , med det resultat at indeksene 1 og 2 i ligningene ( 29 ) til ( 38 ) er byttet om (på grunn tilleggstrinn med å multiplisere teller og nevner med n ₁ n ₂ ). Derfor i ( 29 ) og ( 31 ) vil uttrykkene for r _s og r _p når det gjelder brytningsindekser bli byttet ut, slik at Brewsters vinkel ( 39 ) vil gi r _s = 0 i stedet for r _p = 0 , og ev. strålen reflektert i den vinkelen vil være p-polarisert i stedet for s-polarisert. På samme måte vil Fresnels sinuslov gjelde for p -polarisasjonen i stedet for s -polarisasjonen, og hans tangentlov for s -polarisasjonen i stedet for p -polarisasjonen.        ‍‍

Denne polarisasjonsbryteren har en analog i den gamle mekaniske teorien om lysbølger (se § Historie ovenfor). Man kunne forutsi refleksjonskoeffisienter som stemte overens med observasjon ved å anta (som Fresnel) at forskjellige brytningsindekser skyldes forskjellige tettheter og at vibrasjonene var normale for det som da ble kalt polarisasjonsplanet , eller ved å anta (som MacCullagh og Neumann ) at forskjellige brytningsindekser skyldes forskjellige elastisiteter og at vibrasjonene var parallelle med det planet. Derfor er betingelsen for like tillatelser og ulik permeabilitet, selv om den ikke er realistisk, av en viss historisk interesse.

Se også

• Jones -beregning
• Polarisasjonsblanding
• Indeks-matchende materiale
• Felt- og effektmengder
• Fresnel rhomb , Fresnels apparat for å produsere sirkulært polarisert lys
• Spesiell refleksjon
• Schlicks tilnærming
• Snells vindu
• Røntgenreflektivitet
• Forekomstplan
• Refleksjoner av signaler på ledende linjer

Merknader

Referanser

Kilder

• M. Born og E. Wolf, 1970, Principles of Optics , 4. utg., Oxford: Pergamon Press.
• JZ Buchwald, 1989, The Rise of the Wave Theory of Light: Optical Theory and Experiment in the Early 19th Century , University of Chicago Press, ISBN  0-226-07886-8 .
• RE Collin, 1966, Foundations for Microwave Engineering , Tokyo: McGraw-Hill.
• O. Darrigol, 2012, A History of Optics: From Greek Antiquity to the Ninenthenth Century , Oxford, ISBN  978-0-19-964437-7 .
• A. Fresnel, 1866 (red.  H. de Senarmont, E. Verdet og L. Fresnel), Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , Paris: Imprimerie Impériale (3 bind  , 1866–70), bind. 1 (1866) .
• E. Hecht, 1987, Optics , 2. utg., Addison Wesley, ISBN  0-201-11609-X .
• E. Hecht, 2002, Optics , 4. utg., Addison Wesley, ISBN  0-321-18878-0 .
• FA Jenkins og HE White, 1976, Fundamentals of Optics , 4. utg., New York: McGraw-Hill, ISBN  0-07-032330-5 .
• H. Lloyd, 1834, "Report on the progress and present state of physical optics" , Report of the Fourth Meeting of the British Association for the Advancement of Science (holdt i Edinburgh i 1834), London: J. Murray, 1835, s. .  295-413.
• W. Whewell, 1857, History of the Inductive Sciences: From the Earlyly to the Present Time , 3. utg., London: JW Parker & Son, vol.  2 .
• ET Whittaker , 1910, A History of theories of Aether and Electricity: From the Age of Descartes to the slutten of the 19th Century , London: Longmans, Green, & Co.

Videre lesning

• Woan, G. (2010). Cambridge Handbook of Physics Formulas . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
• Griffiths, David J. (2017). "Kapittel 9.3: Elektromagnetiske bølger i materie". Introduksjon til elektrodynamikk (4. utg.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42041-9.
• Band, YB (2010). Lys og materie: Elektromagnetisme, optikk, spektroskopi og lasere . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-89931-0.
• Kenyon, IR (2008). The Light Fantastic - Introduksjon til klassisk og kvanteoptikk . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856646-5.
• Encyclopaedia of Physics (2. utgave) , RG Lerner , GL Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. utgave) , CB Parker, 1994, ISBN  0-07-051400-3