Uklar sett - Fuzzy set

I matematikk er uklare sett (aka usikre sett ) litt som sett hvis elementer har grader av medlemskap. Fuzzy sett ble introdusert uavhengig av Lotfi A. Zadeh og Dieter Klaua  [ de ] i 1965 som en forlengelse av den klassiske forestillingen om sett. På samme tid definerte Salii (1965) en mer generell type struktur kalt en L -relasjon , som han studerte i en abstrakt algebraisk kontekst. Uklare relasjoner, som nå brukes gjennom uklar matematikk og har applikasjoner på områder somlingvistikk ( De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000 ), beslutningstaking ( Kuzmin 1982 ) og gruppering ( Bezdek 1978 ), er spesielle tilfeller av L -relasjoner når L er enhetsintervallet [0, 1].

I klassisk settteori vurderes medlemskapet av elementer i et sett i binære termer i henhold til en toverdig tilstand - et element hører enten til eller tilhører ikke settet. Derimot tillater uklar settteori en gradvis vurdering av medlemskapet i elementer i et sett; dette er beskrevet ved hjelp av en medlemsfunksjon verdsatt i det virkelige enhetsintervallet [0, 1]. Uklare sett generaliserer klassiske sett, siden indikatorfunksjonene (aka karakteristiske funksjoner) for klassiske sett er spesielle tilfeller av medlemsfunksjonene til uklare sett, hvis sistnevnte bare tar verdier 0 eller 1. I uklar settteori kalles klassiske toverdige sett vanligvis skarpe sett . Den uklare settteorien kan brukes på et bredt spekter av domener der informasjonen er ufullstendig eller upresis, for eksempel bioinformatikk .

Definisjon

Et uklart sett er et par der et sett (ofte nødvendig for å være tomt ) og en medlemsfunksjon. Referansesettet (noen ganger betegnet med eller ) kalles diskursunivers , og for hver kalles verdien karakteren av medlemskap i . Funksjonen kalles medlemsfunksjonen til det uklare settet .

For et endelig sett er det uklare settet ofte betegnet med

La . Da kalles det

  • ikke inkludert i det uklare settet hvis (ingen medlemmer),
  • fullt inkludert hvis (fullt medlem),
  • delvis inkludert hvis (uklart medlem).

Det (skarpe) settet til alle uklare settene i et univers er betegnet med (eller noen ganger bare ).

Skarpe sett knyttet til et uklart sett

For ethvert uklart sett og følgende skarpe sett er definert:

  • kalles dens α-cut (aka α-nivå sett )
  • kalles det sterke α-snittet (aka sterkt α-nivå sett )
  • kalles dens støtte
  • kalles kjernen (eller noen ganger kjernen ).

Vær oppmerksom på at noen forfattere forstår "kjernen" på en annen måte; se nedenfor.

Andre definisjoner

  • Et uklart sett er tomt ( ) iff (hvis og bare hvis)
  • To uklare sett og er like ( ) iff
  • Et uklart sett er inkludert i et uklart sett ( ) iff
  • For ethvert uklart sett , ethvert element som tilfredsstiller
kalles et kryssingspunkt .
  • Gitt et uklart sett , kalles alle , som ikke er tomme, for nivå A.
  • Den nivåmengde av A er mengden av alle nivåer som representerer forskjellige kutt. Det er bildet av :
  • For et uklart sett er høyden gitt av
hvor betegner supremum , som eksisterer fordi det er ikke-tomt og avgrenset ovenfor av 1. Hvis U er begrenset, kan vi ganske enkelt erstatte supremum med maksimum.
  • Et uklart sett sies å være normalisert iff
I det endelige tilfellet, der supremum er et maksimum, betyr dette at minst ett element i det uklare settet har fullt medlemskap. Et ikke-tomt fuzzy-sett kan normaliseres med resultat ved å dele medlemsfunksjonen til det fuzzy-settet med høyden:
Foruten likheter skiller dette seg fra den vanlige normaliseringen ved at normaliseringskonstanten ikke er en sum.
  • For uklare sett med reelle tall ( U ⊆ ℝ) med begrenset støtte, er bredden definert som
I tilfellet når er et begrenset sett, eller mer generelt et lukket sett , er bredden bare
I n -dimensjonalt tilfelle ( U ⊆ ℝ n ) kan ovenstående erstattes av n -dimensjonalt volum på .
Generelt kan dette defineres gitt et hvilket som helst målU , for eksempel ved integrering (f.eks. Lebesgue -integrasjon ) av .
  • Et ekte uklart sett ( U ⊆ ℝ) sies å være konveks (i uklar forstand, ikke å forveksle med et skarpt konveks sett ), iff
.
Uten tap av generalitet kan vi ta xy , som gir den tilsvarende formuleringen
.
Denne definisjonen kan utvides til en for et generelt topologisk rom U : vi sier at det uklare settet er konvekst når tilstanden Z av U er betinget
holder, hvor betegner grensen til Z og angir bildet av et sett X (her ) under en funksjon f (her ).

Uklare settoperasjoner

Selv om komplementet til et uklart sett har en enkelt vanligste definisjon, har de andre hovedoperasjonene, fagforening og kryss, en viss tvetydighet.

  • For et gitt uklart sett er komplementet (noen ganger betegnet som eller ) definert av følgende medlemsfunksjon:
.
  • La t være en t-norm , og s den tilsvarende s-normen (aka t-conorm). Gitt et par uklare sett , er krysset deres definert av:
,
og deres sammenslutning er definert av:
.

Ved definisjonen av t-normen ser vi at unionen og krysset er kommutativt , monotonisk , assosiativt og har både et null- og et identitetselement . For krysset er disse henholdsvis ∅ og U , mens for unionen er disse reversert. Foreningen av et uklar sett og dets komplement kan imidlertid ikke resultere i hele universet U , og skjæringspunktet mellom dem kan ikke gi det tomme settet ∅. Siden krysset og foreningen er assosiativ, er det naturlig å definere krysset og foreningen av en endelig familie av uklare sett rekursivt.

  • Hvis standard negatoren erstattes av en annen sterk negator , kan den uklare settforskjellen bli generalisert av
  • Trippelen av uklart kryss, forening og komplement danner en De Morgan Triplet . Det vil si at De Morgans lover strekker seg til denne trippelen.
Eksempler på uklare skjærings-/foreningspar med standard negator kan hentes fra prøver gitt i artikkelen om t-normer .
Det uklare krysset er ikke ideelt generelt, fordi standard t-norm min er den eneste som har denne egenskapen. Hvis den aritmetiske multiplikasjonen brukes som t-norm, er den resulterende uklare kryssoperasjonen ikke idempotent. Det vil si at iterativt å ta skjæringspunktet mellom et uklart sett med seg selv er ikke trivielt. Den definerer i stedet den m -m kraften til et uklart sett, som kan kanonisk generaliseres for ikke -heltall eksponenter på følgende måte:
  • For ethvert uklart sett og den femte kraften til er definert av medlemsfunksjonen:

Saken om eksponent to er spesiell nok til å bli gitt et navn.

  • For ethvert uklart sett er konsentrasjonen definert

Tar , vi har og

  • Gitt fuzzy sett , fuzzy sett forskjellen , også betegnet , kan defineres oversiktlig via medlemskap funksjon:
som betyr f.eks.
Et annet forslag til en bestemt forskjell kan være:
  • Forslag til symmetriske uklare settforskjeller har blitt fremsatt av Dubois og Prade (1980), enten ved å ta den absolutte verdien , gi
eller ved å bruke en kombinasjon av bare maks , min og standard negasjon, gi
Aksiomer for definisjon av generaliserte symmetriske forskjeller som er analoge med t-normer, t-conorms og negatorer har blitt foreslått av Vemur et al. (2014) med forgjengerne av Alsina et. al. (2005) og Bedregal et. al. (2009).
  • I motsetning til skarpe sett kan gjennomsnittsoperasjoner også defineres for uklare sett.

Uskilte uklare sett

I motsetning til den generelle uklarheten i kryss og fagforeningsoperasjoner, er det klarhet for usammenhengende uklare sett: To uklare sett er usammenhengende iff

som tilsvarer

og tilsvarer også

Vi husker at min / max er at / s-norm par, og alle andre vil fungere her også.

Uklare sett er usammenhengende hvis og bare hvis støttene er usammenhengende i henhold til standarddefinisjonen for skarpe sett.

For usammenhengende uklare sett vil ethvert kryss gi ∅, og enhver forening vil gi det samme resultatet, som er betegnet som

med sin medlemsfunksjon gitt av

Vær oppmerksom på at bare ett av begge summen er større enn null.

For usammenhengende uklare sett gjelder følgende:

Dette kan generaliseres til begrensede familier med uklare sett som følger: Gitt en familie med uklare sett med indekssett I (f.eks. I = {1,2,3, ..., n }). Denne familien er (parvis) usammenhengende iff

En familie med uklare sett er usammenhengende, ettersom familien med underliggende støtter er usammenhengende i standard forstand for familier med skarpe sett.

Uavhengig av t/s-norm-paret, vil krysset mellom en usammenhengende familie av uklare sett gi ∅ igjen, mens fagforeningen ikke har noen tvetydighet:

med sin medlemsfunksjon gitt av

Igjen er bare ett av summen større enn null.

For usammenhengende familier med uklare sett gjelder følgende:

Skalarkardinalitet

For et uklart sett med endelig støtte (dvs. et "endelig uklart sett"), er dets kardinalitet (aka skalarkardinalitet eller sigma-telling ) gitt av

.

I tilfelle U selv er et begrenset sett, er den relative kardinaliteten gitt av

.

Dette kan generaliseres for at divisoren skal være et ikke-tomt, uklart sett: For uklare sett med G ≠ ∅ kan vi definere den relative kardinaliteten ved å:

,

som ligner veldig på uttrykket for betinget sannsynlighet . Merk:

  • her.
  • Resultatet kan avhenge av det spesifikke krysset (t-norm) som er valgt.
  • For resultatet er utvetydig og ligner den tidligere definisjonen.

Avstand og likhet

For alle uklare sett kan medlemsfunksjonen betraktes som en familie . Sistnevnte er et metrisk mellomrom med flere beregninger kjent. En metrik kan stammer fra en norm (vektornorm) via

.

For eksempel, hvis er begrenset, dvs. at en slik beregning kan defineres av:

hvor og er sekvenser av reelle tall mellom 0 og 1.

For uendelig kan maksimumet erstattes av et overordnet. Fordi uklare sett er entydig definert av medlemsfunksjonen, kan denne metrikken brukes til å måle avstander mellom uklare sett i det samme universet:

,

som blir i prøven ovenfor:

Igjen for uendelig må maksimumet erstattes av et overordnet. Andre avstander (som den kanoniske 2-normen) kan avvike hvis uendelige uklare sett er for forskjellige, f.eks. Og .

Likhetstiltak (her betegnet med ) kan deretter avledes fra avstanden, f.eks. Etter et forslag fra Koczy:

hvis det er begrenset, ellers,

eller etter Williams og Steele:

hvis det er begrenset, ellers

hvor er en bratthetsparameter og .

En annen definisjon for intervallverdier (ganske "uklare") likhetstiltak er også gitt av Beg og Ashraf.

L -uskarpe sett

Noen ganger brukes mer generelle varianter av begrepet fuzzy sett, der medlemsfunksjoner tar verdier i en (fast eller variabel) algebra eller struktur av en gitt type; vanligvis er det nødvendig at det er minst en poset eller gitter . Disse kalles vanligvis L -fuzzy sett , for å skille dem fra de som er verdsatt over enhetsintervallet. De vanlige medlemsfunksjonene med verdier i [0, 1] kalles deretter [0, 1]-verdsatte medlemsfunksjoner. Denne typen generaliseringer ble først vurdert i 1967 av Joseph Goguen , som var student i Zadeh. En klassisk følge kan indikere sannhet og medlemsverdier med {f, t} i stedet for {0, 1}.

Atanassov og Baruah har gitt en forlengelse av uklare sett . Et intuisjonistisk fuzzy -sett (IFS) er preget av to funksjoner:

1. - medlemsgrad på x
2. -grad av ikke-medlemskap på x

med funksjoner med

Dette ligner en situasjon som en person betegnet ved å stemme

  • for et forslag : ( ),
  • mot det: ( ),
  • eller avstå fra å stemme: ( ).

Tross alt har vi en prosentandel av godkjenninger, en prosentandel av avslag og en prosentandel av avståelser.

For denne situasjonen kan spesielle "intuitive fuzzy" negatorer, t- og s-normer defineres. Med og ved å kombinere begge funksjonene til denne situasjonen ligner en spesiell type L -fuzzy sett.

Nok en gang har dette blitt utvidet ved å definere uskarpe bildesett (PFS) slik: A PFS A er preget av tre funksjoner som kartlegger U til [0, 1]:, "grad av positivt medlemskap", "grad av nøytralt medlemskap", og "grad av negativt medlemskap" henholdsvis og tilleggstilstand Dette utvider stemmeprøven ovenfor med en ekstra mulighet for "avslag på å stemme".

Med og spesielle "picture fuzzy" negatorer, t- og s-normer ligner dette bare en annen type L- fuzzy sett.

Neutrosofiske fuzzy sett

Noen viktige utviklingstrekk i introduksjonen av Fuzzy Set Concepts.

Konseptet med IFS er utvidet til to hovedmodeller. De to utvidelsene av IFS er nøytrosofiske fuzzy sett og Pythagorean fuzzy sett.

Neutrosophic fuzzy sets ble introdusert av Smarandache i 1998. I likhet med IFS har neutrosophic fuzzy sett de to foregående funksjonene: en for medlemskap og en annen for ikke-medlemskap . Den største forskjellen er at nøytrosofiske fuzzy sett har en funksjon til: ubestemt . Denne verdien indikerer graden av usikkerhet som enheten x tilhører settet. Dette konseptet med å ha ubestemt verdi kan være spesielt nyttig når man ikke kan være veldig trygg på medlems- eller ikke-medlemsverdiene for element x . Oppsummert er nøytrosofiske fuzzy sett assosiert med følgende funksjoner:

1. - medlemsgrad på x
2. -grad av ikke-medlemskap på x
3. - graden av ubestemt verdi på x

Uklare sett fra Pythagoras

Den andre forlengelsen av IFS er det som er kjent som Pythagorean fuzzy sets. Pythagoras fuzzy sett er mer fleksible enn IFS. IFS er basert på begrensningen , som i noen tilfeller kan betraktes som for restriktiv. Dette er grunnen til at Yager foreslo konseptet med pythagoranske uklare sett. Slike sett tilfredsstiller begrensningen , som minner om Pythagoras teorem. Pythagoranske fuzzy sett kan gjelde for virkelige applikasjoner der den forrige tilstanden ikke er gyldig. Imidlertid kan den mindre restriktive tilstanden til være egnet på flere domener.

Uklar logikk

Som en forlengelse av tilfellet med flerverdig logikk kan verdivurderinger ( ) av proposisjonsvariabler ( ) i et sett med medlemsgrader ( ) betraktes som medlemsfunksjoner som kartlegger predikater til uklare sett (eller mer formelt sett i et ordnet sett med uklare par, kalt et uklart forhold). Med disse verdivurderingene kan mange-verdsatt logikk utvides for å gi mulighet for uklare premisser hvorfra man kan trekke graderte konklusjoner.

Denne utvidelsen er noen ganger kalt "fuzzy logikk i snever forstand" i motsetning til "fuzzy logikk i bredere forstand", som oppsto i prosjektering innen automatisert kontroll og kunnskap prosjektering , og som omfatter mange emner som involverer fuzzy sett og "tilnærmet resonnement . "

Industrielle anvendelser av fuzzy sett i konteksten av "fuzzy logic in the wide sense" kan bli funnet på fuzzy logic .

Uklar nummer og eneste nummer

Et uklart nummer A er et uklart sett som tilfredsstiller alle følgende betingelser:

  • A er normalisert;
  • A er et konveks sett;
  •  ;
  • Medlemsfunksjonen er minst segmentalt kontinuerlig.

Hvis disse betingelsene ikke er oppfylt, er A ikke et uklart tall . Kjernen i dette uklare nummeret er en singleton ; beliggenheten er:

Når betingelsen om særegenheten til ikke er oppfylt, karakteriseres det uklare settet som et uklart intervall . Kjernen i dette uklare intervallet er et skarpt intervall med:

.

Uklare tall kan sammenlignes med tivoli -spillet "gjett din vekt", der noen gjetter deltakernes vekt, med nærmere gjetninger som er mer riktige, og hvor gjetteren "vinner" hvis han eller hun gjetter nær nok til deltakerens vekt, med den faktiske vekten er helt korrekt (kartlegging til 1 av medlemsfunksjonen).

Kjernen til et uklart intervall er definert som den "indre" delen, uten de "utgående" delene der medlemsverdien er konstant ad infinitum. Med andre ord er den minste delmengden av hvor som er konstant utenfor den, definert som kjernen.

Imidlertid er det andre begreper om uklare tall og intervaller, ettersom noen forfattere ikke insisterer på konveksitet.

Uklare kategorier

Bruken av settmedlemskap som en sentral komponent i kategoriteorien kan generaliseres til uklare sett. Denne tilnærmingen, som begynte i 1968 kort tid etter introduksjonen av uklar settteori, førte til utviklingen av Goguen -kategorier i det 21. århundre. I disse kategoriene, i stedet for å bruke to verdsatte settmedlemskap , brukes mer generelle intervaller, og kan være gitter som i L -fuzzy sett.

Uklar relasjonsligning

Den krusete forhold ligning er en ligning av formen A · R = B , hvor A og B er fuzzy sett, R er en uklar forhold, og A · R står for sammensetningen av A med  R .

Entropi

Et mål d av uklarhet for uklare sett med univers bør oppfylle følgende betingelser for alle :

  1. hvis er et skarpt sett:
  2. har en unik maksimal iff
Hvilket betyr at B er "skarpere" enn A .

I dette tilfellet kalles entropi av fuzzy set A .

For endelig er entropien til et uklar sett gitt av

,

eller bare

hvor er Shannons funksjon (naturlig entropifunksjon)

og er en konstant avhengig av måleenheten og logaritmebasen som brukes (her har vi brukt den naturlige basen e ). Den fysiske tolkning av k er Boltzmanns konstant k B .

La det være et uklart sett med en kontinuerlig medlemsfunksjon (uklar variabel). Deretter

og dens entropi er

Utvidelser

Det er mange matematiske konstruksjoner som ligner på eller er mer generelle enn uklare sett. Siden uklare sett ble introdusert i 1965, har mange nye matematiske konstruksjoner og teorier som behandler upresisjon, unøyaktighet, tvetydighet og usikkerhet blitt utviklet. Noen av disse konstruksjonene og teoriene er utvidelser av uklar settteori, mens andre prøver å matematisk modellere upresisjon og usikkerhet på en annen måte ( Burgin & Chunihin 1997 ; Kerre 2001 ; Deschrijver og Kerre, 2003).

Se også

Referanser

Bibliografi

  • Alkhazaleh, S. og Salleh, AR Fuzzy Soft Multiset Theory , Abstract and Applied Analysis, 2012, artikkel ID 350600, 20 s.
  • Atanassov, KT (1983) Intuisjonistiske uklare sett , VII ITKRs sesjon, Sofia (deponert i Central Sci.-Technical Library of Bulg. Acad. Of Sci., 1697/84) (på bulgarsk)
  • Atanasov, K. (1986) Intuitionistic Fuzzy Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 20, nr. 1, s. 87–96
  • Baruah, Hemanta K. (2011) The Theory of Fuzzy Sets: Beliefs and Realities, International Journal of Energy, Information and Communications, Vol. 2, Issue 2, 1 - 22.
  • Baruah, Hemanta K. (2012) En introduksjon til teorien om upresise sett: Mathematics of Partial Presence, International Journal of Computational and Mathematical Sciences, Vol. 2, nr. 2, 110 - 124.
  • Bezdek, JC (1978). "Uklare partisjoner og relasjoner og aksiomatisk grunnlag for gruppering". Uklare sett og systemer . 1 (2): 111–127. doi : 10.1016/0165-0114 (78) 90012-X .
  • Blizard, WD (1989) Virkelige flersett og uklare sett, uklare sett og systemer, v. 33, s. 77–97
  • Brown, JG (1971) A Note on Fuzzy Sets, Information and Control, v. 18, s. 32–39
  • Brutoczki Kornelia: Fuzzy Logic (Diploma) - Selv om dette manuset har mange rariteter og intracies på grunn av dets ufullstendighet, kan det brukes som en mal for trening for å fjerne disse problemene.
  • Burgin, M. Theory of Named Sets as a Foundational Basis for Mathematics, in Structures in Mathematical Theories, San Sebastian, 1990, s. 417–420
  • Burgin M. og Chunihin, A. (1997) Named Sets in the Analysis of Usikkerhet, in Methodological and Theoretical Problems of Mathematics and Information Sciences, Kiev, s. 72–85
  • Gianpiero Cattaneo og Davide Ciucci, "Heyting Wajsberg Algebras as an Abstract Environment Linking Fuzzy and Rough Sets" i JJ Alpigini et al. (Red.): RSCTC 2002, LNAI 2475, s. 77–84, 2002. doi : 10.1007/3-540-45813-1_10
  • Chamorro-Martínez, J. et al .: En diskusjon om uklar kardinalitet og kvantifisering. Noen applikasjoner innen bildebehandling , SciVerse ScienceDirect: Fuzzy Sets and Systems 257 (2014) 85–101, 30. mai 2013
  • Chapin, EW (1974) Set-valued Set Theory, I, Notre Dame J. Formal Logic, v. 15, s. 619–634
  • Chapin, EW (1975) Set-valued Set Theory, II, Notre Dame J. Formal Logic, v. 16, s. 255–267
  • Chris Cornelis, Martine De Cock og Etienne E. Kerre, [Intuisjonistisk fuzzy rough sets: at the crossroads of imperfect knowledge], Expert Systems, v. 20, issue 5, pp. 260–270, 2003
  • Cornelis, C., Deschrijver, C. og Kerre, EE (2004) Implikasjon i intuisjonistisk og intervall-verdsatt fuzzy settteori: konstruksjon, klassifisering, anvendelse, International Journal of Approximate Reasoning, v. 35, s. 55–95
  • De Cock, Martine; Bodenhofer, Ulrich; Kerre, Etienne E. (1-4. Oktober 2000). Modellering av språklige uttrykk ved hjelp av uklare relasjoner . Prosedyrer fra den sjette internasjonale konferansen om myk databehandling. Iizuka, Japan. s. 353–360. CiteSeerX  10.1.1.32.8117 .
  • Demirci, M. (1999) Ekte sett, uklare sett og systemer, v. 105, s. 377–384
  • Deschrijver, G .; Kerre, EE (2003). "Om forholdet mellom noen utvidelser av uklar settteori". Uklare sett og systemer . 133 (2): 227–235. doi : 10.1016/S0165-0114 (02) 00127-6 .
  • Didier Dubois, Henri M. Prade, red. (2000). Grunnleggende om uklare sett . Handbooks of Fuzzy Sets Series. 7 . Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0.
  • Feng F. Generalized Rough Fuzzy Sets Based on Soft Sets , Soft Computing, juli 2010, bind 14, utgave 9, s. 899–911
  • Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers Linguistique Theoretique Appliqee, 5, s. 47–63
  • Gogen, JA (1967) L-fuzzy Sets, Journal Math. Analysis Appl., V. 18, s. 145–174
  • Gottwald, S. (2006). "Universes of Fuzzy Sets and Axiomatizations of Fuzzy Set Theory. Part I: Model-Based and Axiomatic Approaches". Studia Logica . 82 (2): 211–244. doi : 10.1007/s11225-006-7197-8 . S2CID  11931230 .. Gottwald, S. (2006). "Universes of Fuzzy Sets and Axiomatizations of Fuzzy Set Theory. Part II: Category Theoretic Approaches". Studia Logica . 84 : 23–50. doi : 10.1007/s11225-006-9001-1 . S2CID  10453751 . fortrykk ..
  • Grattan-Guinness, I. (1975) Uklar medlemskap kartlagt på intervaller og mange verdifulle mengder. Z. Math. Logik. Grundladen Math. 22, s. 149–160.
  • Grzymala-Busse, J. Lære av eksempler basert på grove multisett, i Proceedings of the 2nd International Symposium on Methodologies for Intelligent Systems, Charlotte, NC, USA, 1987, s. 325–332
  • Gylys, RP (1994) Quantal sets and sheaves over quantales, Liet. Matem. Rink., V. 34, nr. 1, s. 9–31.
  • Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh, red. (1999). Matematikk av uklare sett: logikk, topologi og målteori . Handbooks of Fuzzy Sets Series. 3 . Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8.
  • Jahn, KU (1975) Intervall-wertige Mengen, Math.Nach. 68, s. 115–132
  • Kaufmann, Arnold . Introduksjon til teorien om uklare undergrupper. Vol. 2. Academic Pr, 1975.
  • Kerre, EE (2001). "Et første syn på alternativene til uklar settteori". I B. Reusch; KH. Temme (red.). Computational Intelligence in Theory and Practice . Heidelberg: Physica-Verlag. s. 55–72. doi : 10.1007/978-3-7908-1831-4_4 . ISBN 978-3-7908-1357-9. Mangler eller er tom |title=( hjelp )
  • George J. Klir; Bo Yuan (1995). Uklare sett og uklar logikk: teori og anvendelser . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-101171-7.
  • Kuzmin, VB (1982). "Bygg gruppebeslutninger i mellomrom med strenge og uklare binære forhold" (på russisk). Nauka, Moskva.
  • Lake, J. (1976) Sett, uklare sett, multisett og funksjoner , J. London Math. Soc., II Ser., V. 12, s. 323–326
  • Meng, D., Zhang, X. og Qin, K. Myke grove fuzzy sett og myke fuzzy grove sett , 'Computers & Mathematics with Applications', v. 62, nummer 12, 2011, s. 4635–4645
  • Miyamoto, S. Fuzzy Multisets og deres generaliseringer, i 'Multiset Processing', LNCS 2235, s. 225–235, 2001
  • Molodtsov, O. (1999) Soft set theory - første resultater, Computers & Mathematics with Applications, v. 37, nr. 4/5, s. 19–31
  • Moore, RE Interval Analysis, New York, Prentice-Hall, 1966
  • Nakamura, A. (1988) Fuzzy rough sets, 'Notes on Multiple-valued Logic in Japan', v. 9, s. 1–8
  • Narinyani, AS Underdetermined Sets - En ny datatype for kunnskapsrepresentasjon, Preprint 232, Project VOSTOK, utgave 4, Novosibirsk, Computing Center, USSR Academy of Sciences, 1980
  • Pedrycz, W. Shadowed -sett: representerer og behandler uklare sett, IEEE Transactions on System, Man og Cybernetics, del B, 28, 103–109, 1998.
  • Radecki, T. Level Fuzzy Sets, 'Journal of Cybernetics', bind 7, nummer 3–4, 1977
  • Radzikowska, AM og Etienne E. Kerre, EE On L-Fuzzy Rough Sets , Artificial Intelligence and Soft Computing-ICAISC 2004, 7. internasjonale konferanse, Zakopane, Polen, 7. – 11. Juni 2004, Prosedyrer; 01/2004
  • Salii, VN (1965). "Binære L-relasjoner". Izv. Vysh. Uchebn. Zaved. Matematika (på russisk). 44 (1): 133–145.
  • Ramakrishnan, TV og Sabu Sebastian (2010) 'A study on multi-fuzzy sets', Int. J. Appl. Matte. 23, 713–721.
  • Sabu Sebastian og Ramakrishnan, TV (2010) Multi-fuzzy sett, Int. Matte. Forum 50, 2471–2476.
  • Sabu Sebastian og Ramakrishnan, TV (2011) Multi-fuzzy sett: en forlengelse av fuzzy sett , Fuzzy Inf.Eng. 1, 35–43.
  • Sabu Sebastian og Ramakrishnan, TV (2011) Multi-fuzzy utvidelser av funksjoner, Advance in Adaptive Data Analysis 3, 339–350.
  • Sabu Sebastian og Ramakrishnan, TV (2011) Multi-fuzzy forlengelse av skarpe funksjoner ved hjelp av brofunksjoner , Ann. Uklar matematikk. Informere. 2 (1), 1–8
  • Sambuc, R. Funksjoner φ-floues: Application a l'aide au diagnostic en pathologie thyroidienne, Ph.D. Avhandling Univ. Marseille, Frankrike, 1975.
  • Seising, Rudolf: Fuzzification of Systems. The Genesis of Fuzzy Set Theory and its Initial Applications - Utviklingen fram til 1970 -tallet (Studies in Fuzziness and Soft Computing, Vol. 216) Berlin, New York, [et al.]: Springer 2007.
  • Smith, NJJ (2004) Uklarhet og uklare sett, 'J. av Phil. Logic ', 33, s. 165–235
  • Werro, Nicolas: Fuzzy Classification of Online Customers , University of Fribourg, Switzerland, 2008, Chapter 2
  • Yager, RR (1986) On Theory of Bags, International Journal of General Systems, v. 13, s. 23–37
  • Yao, YY, Kombinasjon av grove og uklare sett basert på α-nivå sett, i: Rough Sets and Data Mining: Analysis for Imprecise Data, Lin, TY and Cercone, N. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp. . 301–321, 1997.
  • YY Yao, En sammenlignende studie av uklare sett og grove sett, Informasjonsvitenskap, v. 109, utgave 1–4, 1998, s. 227 - 242
  • Zadeh, L. (1975) Konseptet med en språklig variabel og dens anvendelse på omtrentlige resonnementer –I, Inform. Sci., V. 8, s. 199–249
  • Hans-Jürgen Zimmermann (2001). Uklar settteori - og dens anvendelser (4. utg.). Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0.