Generert regressor - Generated regressor

I det minste kvadraters estimeringsproblemer, noen ganger kan ikke en eller flere regressorer spesifisert i modellen observeres. En måte å omgå dette problemet er å estimere eller generere regressorer fra observerbare data. Denne genererte regressormetoden er også anvendbar for uobserverte instrumentelle variabler . Under noen regelmessige forhold bevares konsistens og asymptotisk normalitet av estimatene til minste kvadrat, men asymptotisk varians har en annen form generelt.

Anta at interessemodellen er følgende:

${\ displaystyle y_ {i} = g (x_ {1i}, x_ {2i}, \ beta) + u_ {i}}$

hvor g er en betinget middelfunksjon og dens form er kjent opp til endelig dimensjonal parameter β. Her er ikke observerbar, men vi vet at for noen funksjoner er h kjent opp til parameter , og en tilfeldig prøve er tilgjengelig. Anta at vi har en jevn estimator for den som bruker observasjonene . Deretter kan β estimeres ved hjelp av (ikke-lineære) minste kvadrater . Noen eksempler på oppsettet ovenfor inkluderer Anderson et al. (1976 og Barro (1977).${\ displaystyle x_ {2i}}$${\ displaystyle x_ {2i} = h (w_ {i}, \ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle y_ {i} = g (x_ {1i}, x_ {2i}, \ beta) + u_ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {\ gamma}}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {x_ {2i}}} = h (w_ {i}, {\ hat {\ gamma}})}$

Dette problemet faller inn i rammen av totrinns M-estimator, og dermed kan konsistens og asymptotisk normalitet av estimatoren verifiseres ved å bruke den generelle teorien om totrinns M-estimator. Som i generelt to-trinns M-estimator-problem, er asymptotisk varians av en generert regressorestimator vanligvis forskjellig fra estimatoren med alle regressorer observert. Likevel, i noen spesielle tilfeller, er de asimptotiske variansene til de to estimatene identiske. For å gi et slikt eksempel, bør du vurdere innstillingen der regresjonsfunksjonen er lineær i parameteren og uobservert regressor er en skalar. Å betegne koeffisienten til uobservert regressor av hvis og da den asymptotiske variansen er uavhengig av om observering av regressoren.${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta = 0}$${\ displaystyle E [\ triangledown \ gamma h (W, \ gamma) U] = 0}$

Med mindre modifikasjoner i modellen, er formuleringen ovenfor også anvendelig for estimering av instrumentvariabler. Anta at modellen av interesse er lineær i parameteren. Feilbegrep er korrelert med noen av regressorene, og modellen spesifiserer noen instrumentelle variabler, som ikke er observerbare men har representasjonen . Hvis en konsistent estimator av er tilgjengelig ved hjelp som instrumenter, kan parameteren av interesse bli estimert ved IV. I likhet med ovenstående tilfelle følger konsistens og asymptotisk normalitet under milde forhold, og den asymptotiske variansen har en annen form enn observert IV-tilfelle. Likevel er det tilfeller der de to estimatorene har den samme asymptotiske variansen. Et slikt tilfelle oppstår hvis det i dette spesielle tilfellet kan utføres konklusjon på den estimerte parameteren med den vanlige IV standardfeilestimatoren. ${\ displaystyle z_ {i} = h (w_ {i}, \ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ hat {\ gamma}}}$${\ displaystyle {\ hat {z}} _ {i} = h (w_ {i}, {\ hat {\ gamma}})}$${\ displaystyle E [\ triangledown \ gamma h (W, \ gamma)] = 0 [4]}$

referanser