Gimbal lås - Gimbal lock

Gimbal låst fly. Når pitch (green) og yaw (magenta) gimbals blir justert, endres til rull (blå) og yaw gjelder samme rotasjon til flyet.

Å legge til en fjerde rotasjonsakse kan løse problemet med kardanlås, men det krever at den ytterste ringen blir aktivt drevet slik at den holder seg 90 grader ut av justeringen med den innerste aksen (svinghjulakslen). Uten aktiv kjøring av den ytterste ringen kan alle fire aksene justeres i et plan som vist ovenfor, og igjen føre til kardanlås og manglende evne til å rulle.

Kardan lås er tapet av en frihetsgrad i en tre-dimensjonal, tre- slingrebøylen mekanisme som oppstår når aksene for to av de tre slingrebøylene blir drevet inn i en parallell konfigurasjon, "låse" systemet i rotasjon i en degenerert to- dimensjonale rom.

Ordet lås er misvisende: ingen gimbal er bundet. Alle de tre kardanene kan fortsatt rotere fritt rundt sine respektive fjæringsakser. Likevel, på grunn av den parallelle orienteringen av to av kardanaksens akser, er det ingen kardang tilgjengelig for å imøtekomme rotasjon rundt en akse.

Gimbals

En gimbal er en ring som er opphengt slik at den kan rotere rundt en akse. Gimbals er vanligvis nestet hverandre for å imøtekomme rotasjon rundt flere akser.

De vises i gyroskoper og i treghetsmåleenheter for å tillate at den indre gimbalens orientering forblir fast mens den ytre gimbalsuspensjonen antar noen retning. I kompass- og svinghjulsenergilagringsmekanismer tillater de at gjenstander blir stående. De brukes til å orientere thrustere på raketter.

Noen koordinatsystemer i matematikk oppfører seg som om det var ekte gimbaler som ble brukt til å måle vinklene, spesielt Euler-vinkler .

I tilfeller av tre eller færre nestede gimbaler, vil gimbal lock uunngåelig forekomme på et tidspunkt i systemet på grunn av egenskapene til å dekke mellomrom (beskrevet nedenfor).

I ingeniørfag

Mens bare to spesifikke orienteringer gir nøyaktig kardanlås, møter praktiske mekaniske kardanledd vanskeligheter nær disse retningene. Når et sett med gimbaler er nær den låste konfigurasjonen, krever små rotasjoner på gimbalplattformen store bevegelser av de omkringliggende gimbalene. Selv om forholdet bare er uendelig ved gimbal-låsepunktet, er de praktiske hastighets- og akselerasjonsgrensene til gimbalene - på grunn av treghet (som følge av massen til hver gimbalring), lagerfriksjon, strømningsmotstanden til luft eller annen væske som omgir gimbaler (hvis de ikke er i vakuum) og andre fysiske og tekniske faktorer - begrenser bevegelsen til plattformen nær det punktet.

I to dimensjoner

Gimbal-lås kan forekomme i gimbalsystemer med to frihetsgrader, for eksempel en teodolit med rotasjoner rundt en azimut og høyde i to dimensjoner. Disse systemene kan kardanlåses ved senit og nadir , fordi azimut på disse punktene ikke er godt definert, og rotasjon i azimutretningen endrer ikke retningen teodolitten peker på.

Vurder å spore et helikopter som flyr mot teodolitten fra horisonten. Teodolitten er et teleskop montert på et stativ slik at det kan bevege seg i azimut og høyde for å spore helikopteret. Helikopteret flyr mot teodolitten og spores av teleskopet i høyde og azimut. Helikopteret flyr rett over stativet (dvs. det er i senit) når det skifter retning og flyr 90 grader til forrige kurs. Teleskopet kan ikke spore denne manøveren uten et diskontinuerlig hopp i en eller begge kardinalretningene. Det er ingen kontinuerlig bevegelse som gjør at den kan følge målet. Det er i kardanlås. Så det er uendelig mange retninger rundt senit som teleskopet ikke kontinuerlig kan spore alle bevegelser av et mål for. Merk at selv om helikopteret ikke går gjennom senitt, men bare i nærheten av senitt, slik at gimbal-lås ikke oppstår, må systemet fortsatt bevege seg eksepsjonelt raskt for å spore det, ettersom det raskt går fra det ene lageret til det andre. Jo nærmere Zenith nærmeste punkt er, jo raskere må dette gjøres, og hvis det faktisk går gjennom Zenith, blir grensen for disse "stadig raskere" bevegelsene uendelig rask, nemlig diskontinuerlig.

For å komme seg fra kardanlås må brukeren gå rundt senittet - eksplisitt: reduser høyden, endre azimut for å matche azimut av målet, og endre deretter høyden for å matche målet.

Matematisk tilsvarer dette det faktum at sfæriske koordinater ikke definerer et koordinatdiagram på sfæren ved senit og nadir. Alternativt kan det tilsvarende kart T ² → S ² fra torusen T ² til sfæren S ² (gitt ved punkt med gitt asimut og elevasjon) er ikke et dekke kart på disse punktene.

I tre dimensjoner

Gimbal med 3 rotasjonsakser. Et sett med tre gimbaler montert sammen for å tillate tre frihetsgrader: rull, pitch og yaw. Når to kardanmer roterer rundt samme akse, mister systemet en grad av frihet.

Normal situasjon: de tre gimbalene er uavhengige

Gimbal-lås: to av de tre gimbalene er i samme plan, en grad av frihet går tapt

Tenk på et tilfelle av en nivåavkjenningsplattform på et fly som flyr rett nord med sine tre kardanakser gjensidig vinkelrett (dvs. rulle- , stignings- og girvinkler hver null). Hvis flyet kaster seg opp 90 grader, blir flyet og plattformens girakse gimbal parallell med rulleaksen gimbal, og endringer rundt yaw kan ikke lenger kompenseres for.

Løsninger

Dette problemet kan overvinnes ved bruk av en fjerde kardan, aktivt drevet av en motor for å opprettholde en stor vinkel mellom kardanaksler og rulleaksler. En annen løsning er å rotere en eller flere av kardanene til en vilkårlig posisjon når kardanlås oppdages og dermed tilbakestille enheten.

Moderne praksis er å unngå bruk av gimbals helt. I sammenheng med treghetsnavigasjonssystemer , kan det gjøres ved å montere treghetssensorene direkte på karosseriet (dette kalles et strapdown- system) og integrere sensert rotasjon og akselerasjon digitalt ved hjelp av quaternionmetoder for å utlede kjøretøyets orientering og hastighet. En annen måte å erstatte kardanmer er å bruke væskelager eller et flotasjonskammer.

På Apollo 11

En velkjent kardanlås hendelse skjedde i Apollo 11 Moon-oppdraget. På dette romfartøyet ble et sett med gimbaler brukt på en treghetsmåleenhet (IMU). Ingeniørene var klar over gimbal-låseproblemet, men hadde nektet å bruke en fjerde gimbal. Noe av begrunnelsen bak denne avgjørelsen fremgår av følgende sitat:

"Fordelene med den overflødige gimbalen ser ut til å oppveies av utstyrets enkelhet, størrelsesfordeler og tilsvarende underforstått pålitelighet til den direkte tre grad av frihetsenhet."

-  David Hoag, Apollo Lunar Surface Journal

De foretrakk en alternativ løsning ved hjelp av en indikator som ville bli utløst når det var nesten 85 grader.

"I nærheten av det punktet, i en lukket stabiliseringssløyfe, kunne momentmotorene teoretisk beordres å snu kardan 180 grader øyeblikkelig. I stedet blinket datamaskinen i LM en" gimbal lock "-varsel ved 70 grader og frøs IMU ved 85 grader "

-  Paul Fjeld, Apollo Lunar Surface Journal

I stedet for å prøve å kjøre gimbalene raskere enn de kunne gå, ga systemet ganske enkelt opp og frøs plattformen. Fra dette punktet vil romfartøyet måtte flyttes manuelt vekk fra kardanlåsposisjonen, og plattformen må justeres manuelt med stjernene som referanse.

Etter at Lunar Module hadde landet, tullet Mike Collins ombord på Command Module: "Hva med å sende meg en fjerde gimbal til jul?"

Robotikk

Industriell robot som opererer i et støperi.

I robotikk blir kardellås ofte referert til som "håndleddsflip" på grunn av bruken av et "triple-roll wrist" i robotarmer , der tre akser i håndleddet, som styrer kjeften, stigningen og rullen, alle går gjennom en felles poeng.

Et eksempel på en håndleddsvipp, også kalt en håndleddet singularitet, er når banen som roboten kjører gjennom får den første og tredje aksen til robotens håndledd til å stille seg opp. Den andre håndleddsaksen prøver deretter å dreie 180 ° på null tid for å opprettholde retningen til endeffektoren. Resultatet av en singularitet kan være ganske dramatisk og kan ha ugunstige effekter på robotarmen, slutteffektoren og prosessen.

Viktigheten av å unngå singulariteter i robotikk har ført til at American National Standard for Industrial Robots and Robot Systems - Safety Requirements definerer det som "en tilstand forårsaket av kollinær innretting av to eller flere robotakser som resulterer i uforutsigbar robotbevegelse og hastigheter".

I anvendt matematikk

Problemet med kardanlås vises når man bruker Euler-vinkler i anvendt matematikk; utviklere av 3D- dataprogrammer , for eksempel 3D-modellering , innebygde navigasjonssystemer og videospill, må passe på å unngå det.

På formelt språk forekommer kardanlås fordi kartet fra Euler-vinkler til rotasjoner (topologisk, fra 3-torus T ³ til det virkelige projiserende rommet RP ^3, som er det samme som rommet for 3d-rotasjoner SO3) ikke er en lokal homeomorfisme kl. hvert punkt, og dermed på noen punkter må rangen (frihetsgrader) synke under 3, på hvilket tidspunkt kardanlås oppstår. Eulervinkler gir et middel for å gi en numerisk beskrivelse av enhver rotasjon i tredimensjonalt rom ved hjelp av tre tall, men ikke bare er denne beskrivelsen ikke unik, men det er noen punkter der ikke alle endringer i målområdet (rotasjoner) kan realiseres ved en endring i kilderommet (Euler-vinkler). Dette er en topologisk begrensning - det er ikke noe dekkekart fra 3-torus til det 3-dimensjonale virkelige projiserende rommet; det eneste (ikke-trivielle) dekkekartet er fra 3-sfæren, som ved bruk av kvaternioner .

For å gjøre en sammenligning, alle oversettelser kan beskrives ved hjelp av tre tall , og , som rekken av tre påfølgende lineære bevegelser langs tre vinkelrette akser , og akser. Det samme gjelder for rotasjoner: alle rotasjoner kan beskrives ved hjelp av tre tall , og , som rekken av tre rotasjonsbevegelser rundt om tre akser som står vinkelrett den ene til den neste. Denne likheten mellom lineære koordinater og vinkelkoordinater gjør Euler-vinkler veldig intuitive , men dessverre lider de av gimbal-låseproblemet. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

Tap av en grad av frihet med Euler-vinkler

En rotasjon i 3D-rom kan representeres numerisk med matriser på flere måter. En av disse representasjonene er:

${\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \\ 0 & \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} \ cos \ beta & 0 & \ sin \ beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \ sin \ beta & 0 & \ cos \ beta \ end {bmatrix}} {\ begynn {bmatrix} \ cos \ gamma & - \ sin \ gamma & 0 \\\ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ end {aligned}}}$

Et eksempel som er verdt å undersøke, skjer når . Å vite at og , blir uttrykket ovenfor lik: ${\ displaystyle \ beta = {\ tfrac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle \ cos {\ tfrac {\ pi} {2}} = 0}$${\ displaystyle \ sin {\ tfrac {\ pi} {2}} = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \\ 0 & \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos \ gamma & - \ sin \ gamma & 0 \\\ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\ 0 og 0 og 1 \ end {bmatrix}} \ end {justert}}}$

Gjennomføring av matrisemultiplikasjon :

${\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ - \ cos \ alpha & \ sin \ alpha & 0 \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} \ cos \ gamma & - \ sin \ gamma & 0 \\\ sin \ gamma & \ cos \ gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ sin \ alpha \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ sin \ gamma & - \ sin \ alpha \ sin \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ gamma & 0 \\ - \ cos \ alpha \ cos \ gamma + \ sin \ alfa \ sin \ gamma & \ cos \ alpha \ sin \ gamma + \ sin \ alpha \ cos \ gamma & 0 \ end {bmatrix}} \ end {justert}}}$

Og til slutt ved hjelp av trigonometriformlene :

${\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ sin (\ alpha + \ gamma) & \ cos (\ alpha + \ gamma) & 0 \\ - \ cos (\ alpha + \ gamma) & \ sin (\ alpha + \ gamma) & 0 \ end {bmatrix}} \ end {aligned}}}$

Endring av verdiene til og i matrisen ovenfor har de samme effektene: rotasjonsvinkelen endres, men rotasjonsaksen forblir i retning: den siste kolonnen og den første raden i matrisen endres ikke. Den eneste løsningen for og å gjenopprette forskjellige roller er å endre . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ alpha + \ gamma}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ beta}$

Det er mulig å forestille seg et fly rotert av de ovennevnte Euler-vinklene ved bruk av XYZ- konvensjonen. I dette tilfellet er den første vinkelen - tonehøyde. Yaw er deretter satt til og den endelige rotasjonen - av - er igjen flyets tonehøyde. På grunn av kardanlås har den mistet en av gradene av frihet - i dette tilfellet muligheten til å rulle. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle \ gamma}$

Det er også mulig å velge en annen konvensjon for å representere en rotasjon med en matrise ved hjelp av Euler-vinkler enn XYZ- konvensjonen ovenfor, og også velge andre variasjonsintervaller for vinklene, men til slutt er det alltid minst en verdi som en grad av frihet er tapt.

Problemet med gimbal-lås gjør ikke Euler-vinkler "ugyldige" (de fungerer alltid som et veldefinert koordinatsystem), men det gjør dem uegnet til noen praktiske bruksområder.

Alternativ orienteringsrepresentasjon

Årsaken til kardanlås representerer en retning som tre aksiale rotasjoner med Euler-vinkler . En potensiell løsning er derfor å representere orienteringen på en annen måte. Dette kan være som en rotasjonsmatrise , en kvaternjon (se kvaternioner og romlig rotasjon ) eller en lignende orienteringsrepresentasjon som behandler orienteringen som en verdi i stedet for tre separate og relaterte verdier. Gitt en slik fremstilling, lagrer brukeren retningen som en verdi. For å bruke vinkelendringer endres retningen ved en delta-vinkel / akserotasjon. Den resulterende orienteringen må normaliseres på nytt for å forhindre at flytende punktfeil fra påfølgende transformasjoner akkumuleres. For matriser krever re-normalisering av resultatet konvertering av matrisen til nærmeste ortonormale representasjon . For kvaternjoner krever re-normalisering å utføre kvaternionsnormalisering .

Se også

• Diagrammer på SO (3)
• Flydynamikk
• Grid north (tilsvarende navigasjonsproblem på polare ekspedisjoner)
• Treghetsnavigasjonssystem
• Bevegelsesplanlegging
• Kvaternjoner og romlig rotasjon

Referanser

Eksterne linker

• Gimbal Lock - Forklart på YouTube
• Gimbal Lock på 30 sekunder på YouTube