Gyllen vinkel - Golden angle

Den gyldne vinkelen er vinkelen som er redusert av den mindre (røde) buen når to buer som utgjør en sirkel er i det gyldne forholdet

I geometri er den gyldne vinkelen den minste av de to vinklene opprettet ved å snitte omkretsen av en sirkel i henhold til det gyldne forholdet ; det vil si i to buer slik at forholdet mellom lengden på den mindre buen og lengden på den større buen er det samme som forholdet mellom lengden på den større buen og hele sirkelens omkrets.

La algebraisk la a + b være sirkelens omkrets , delt inn i en lengre bue med lengde a og en mindre bue med lengde b slik at

${\ displaystyle {\ frac {a + b} {a}} = {\ frac {a} {b}}}$

Den gyldne vinkelen er da vinkelen som er undertrykket av den mindre bue med lengde b . Den måler omtrent 137,5077640500378546463487 ... ° OEIS :  A096627 eller i radianer 2.39996322972865332 ... OEIS :  A131988 .

Navnet kommer fra den gyldne vinkelens forbindelse til det gyldne forholdet φ ; den nøyaktige verdien av den gyldne vinkelen er

${\ displaystyle 360 ​​\ left (1 - {\ frac {1} {\ varphi}} \ right) = 360 (2- \ varphi) = {\ frac {360} {\ varphi ^ {2}}} = 180 ( 3 - {\ sqrt {5}}) {\ text {grader}}}$

eller

${\ displaystyle 2 \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {\ varphi}} \ right) = 2 \ pi (2- \ varphi) = {\ frac {2 \ pi} {\ varphi ^ {2 }}} = \ pi (3 - {\ sqrt {5}}) {\ text {radians}},}$

hvor ekvivalensene følger av kjente algebraiske egenskaper av det gyldne forholdet.

Ettersom sinus og cosinus er transcendentale tall , kan den gylne vinkelen ikke konstrueres ved hjelp av en rettlinje og et kompass .

Derivasjon

Det gyldne forhold er lik φ  =  a / b gitt betingelsene ovenfor.

La ƒ være brøkdelen av omkretsen som er undertrykket av den gyldne vinkelen, eller tilsvarende, den gyldne vinkelen delt på sirkelens vinkelmåling.

${\ displaystyle f = {\ frac {b} {a + b}} = {\ frac {1} {1+ \ varphi}}.}$

Men siden

${\ displaystyle {1+ \ varphi} = \ varphi ^ {2},}$

det følger at

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {\ varphi ^ {2}}}}$

Dette er samme som å si at cp  ² golden vinkler kan passe i en sirkel.

Brøkdelen av en sirkel okkupert av den gyldne vinkelen er derfor

${\ displaystyle f \ ca. 0.381966. \,}$

Den gylne vinkelen g kan derfor tilnærmes numerisk i grader som:

${\ displaystyle g \ approx 360 \ times 0.381966 \ approx 137.508 ^ {\ circ}, \,}$

eller i radianer som:

${\ displaystyle g \ ca 2 \ pi \ ganger 0.381966 \ ca 2.39996. \,}$

Gylden vinkel i naturen

Vinkelen mellom suksessive blomster i noen blomster er den gyldne vinkelen.

Den gylne vinkelen spiller en viktig rolle i teorien om phyllotaxis ; for eksempel er den gylne vinkelen vinkelen som skiller blomster på en solsikke . Analyse av mønsteret viser at det er veldig følsomt for vinkelen som skiller den enkelte primordia , med Fibonacci-vinkelen som gir parastichy med optimal pakningstetthet.

Matematisk modellering av en plausibel fysisk mekanisme for blomsterutvikling har vist mønsteret som oppstår spontant fra løsningen av en ikke-lineær partiell differensialligning på et plan.

Referanser

Eksterne linker

• Golden Angle på MathWorld