Grad – Shafranov-ligning - Grad–Shafranov equation
Den Grad-Shafranov ligningen ( H. Grad og H. Rubin (1958); Vitalii Dmitrievich Shafranov (1966)) er likevektsligningen i ideelle magnetohydro (MHD) for en to-dimensjonal plasma , for eksempel den aksesymmetriske toroidale plasma i en tokamak . Denne ligningen har samme form som Hicks-ligningen fra væskedynamikk. Denne ligningen er en to-dimensjonal , ikke-lineær , elliptisk partiell differensialligning oppnådd fra reduksjonen av de ideelle MHD ligninger til to dimensjoner, ofte for tilfellet av toroidale axisymmetry (tilfelle relevante i en tokamak). Med de sylindriske koordinatene styres fluksfunksjonen av ligningen,
Likevektens natur, enten det er en tokamak , omvendt feltklemme, etc. bestemmes i stor grad av valgene til de to funksjonene og i tillegg til grenseforholdene.
Derivasjon (i kartesiske koordinater)
I det følgende antas det at systemet er todimensjonalt med som den uforanderlige aksen, dvs. for alle størrelser. Da kan magnetfeltet skrives i kartesiske koordinater som
eller mer kompakt,
hvor er vektorpotensialet for magnetfeltet i planet (x- og y-komponentene). Merk at basert på denne formen for B kan vi se at A er konstant langs en gitt magnetfelt linje, siden er overalt vinkelrett på B . (Vær også oppmerksom på at -A er fluksfunksjonen nevnt ovenfor.)
To-dimensjonale, stasjonære, magnetiske strukturer er beskrevet av balansen mellom trykkrefter og magnetiske krefter, dvs.
hvor p er plasmatrykket og j er den elektriske strømmen. Det er kjent at p er konstant langs en hvilken som helst feltlinje, (igjen siden er overalt vinkelrett på B ). I tillegg betyr den todimensjonale antagelsen ( ) at z- komponenten på venstre side må være null, så z-komponenten til magnetkraften på høyre side må også være null. Dette betyr at , dvs. er parallelt med .
Høyre side av forrige ligning kan betraktes i to deler:
der tegnet betegner komponenten i planet vinkelrett på aksen. Den del av strømmen i den ovenstående ligning kan skrives i form av en-dimensjonal vektor som potensiale
.
In-plane feltet er
,
og ved å bruke Maxwell – Ampères ligning, blir strømmen i plan gitt av
.
For at denne vektoren skal være parallell med etter behov, må vektoren være vinkelrett på , og må derfor som en feltlinjevariant.
Omorganisering av kryssproduktene ovenfor fører til
,
og
Disse resultatene kan erstattes i uttrykket for å gi:
Siden og er konstanter langs en feltlinje, og fungerer bare av , derav og . Dermed gir utregning og omorganisering av vilkår ligningen Grad – Shafranov :
Shafranov, VD (1966) Plasma-likevekt i et magnetfelt , Anmeldelser av Plasma Physics , Vol. 2, New York: Consultants Bureau, s. 103.
Woods, Leslie C. (2004) Physics of plasmas , Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, kapittel 2.5.4
Haverkort, JW (2009) Axisymmetric Ideal MHD Tokamak Equilibria . Merknader om Grad-Shafranov-ligningen, utvalgte aspekter av ligningen og dens analytiske løsninger.