Gyroradius - Gyroradius

Den gyroradius (også kjent som rotasjonsradius , Larmor radius eller syklotron radius ) er radius av den sirkulære bevegelsen til en ladet partikkel i nærvær av et ensartet magnetisk felt . I SI-enheter er den ikke-relativistiske gyroradius gitt av

${\ displaystyle r_ {g} = {\ frac {mv _ {\ perp}} {| q | B}}}$

der er massen til partikkelen, er den komponent av hastighetsvinkelrett på retningen av det magnetiske felt, er den elektriske ladningen av partikkelen, og er styrken av det magnetiske felt. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v _ {\ perp}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle B}$

Den vinkelfrekvensen av denne sirkelbevegelse er kjent som gyrofrequency , eller syklotronfrekvensen , og kan uttrykkes som

${\ displaystyle \ omega _ {g} = {\ frac {| q | B} {m}}}$

i enheter av radianer /sekund.

Varianter

Det er ofte nyttig å gi gyrofrekvensen et tegn med definisjonen

${\ displaystyle \ omega _ {g} = {\ frac {qB} {m}}}$

eller uttrykk det i enheter av hertz med

${\ displaystyle f_ {g} = {\ frac {qB} {2 \ pi m}}}$.

For elektroner kan denne frekvensen reduseres til

${\ displaystyle f_ {g, e} = (2,8 \ ganger 10^{10} \, \ mathrm {hertz} /\ mathrm {tesla}) \ ganger B}$.

I cgs-enheter gyroradius

${\ displaystyle r_ {g} = {\ frac {mcv _ {\ perp}} {| q | B}}}$

og den tilsvarende gyrofrekvensen

${\ displaystyle \ omega _ {g} = {\ frac {| q | B} {mc}}}$

inkluderer en faktor , det vil si lysets hastighet, fordi magnetfeltet uttrykkes i enheter . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle [B] = g^{1/2} cm^{-1/2} s^{-1}}$

Relativistisk sak

For relativistiske partikler må den klassiske ligningen tolkes i form av partikkelmoment : ${\ displaystyle p = \ gamma mv}$

${\ displaystyle r_ {g} = {\ frac {p _ {\ perp}} {| q | B}} = {\ frac {\ gamma mv _ {\ perp}} {| q | B}}}$

hvor er Lorentz -faktoren . Denne ligningen er riktig også i det ikke-relativistiske tilfellet. ${\ displaystyle \ gamma}$

For beregninger i akselerator- og astropartikkelfysikk kan formelen for gyroradius omorganiseres for å gi

${\ displaystyle r_ {g}/\ mathrm {meter} = 3,3 \ ganger {\ frac {(\ gamma mc^{2}/\ mathrm {GeV}) (v _ {\ perp}/c)} {(| q |/e) (B/\ mathrm {Tesla})}}}$,

hvor er lysets hastighet, er enheten til Giga - electronVolts , og er elementær ladning . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ mathrm {GeV}}$${\ displaystyle e}$

Avledning

Hvis den ladede partikkelen beveger seg, vil den oppleve en Lorentz -kraft gitt av

${\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {v}} \ ganger {\ vec {B}})}$,

hvor er den hastighetsvektor og er den magnetiske feltvektor. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$

Legg merke til at kraftens retning er gitt av kryssproduktet av hastigheten og magnetfeltet. Dermed vil Lorentz -kraften alltid virke vinkelrett på bevegelsesretningen, noe som får partikkelen til å gyrere eller bevege seg i en sirkel. Radiusen til denne sirkelen ,, kan bestemmes ved å likestille størrelsen på Lorentz -kraften til sentripetalkraften som ${\ displaystyle r_ {g}}$

${\ displaystyle {\ frac {mv _ {\ perp}^{2}} {r_ {g}}} = | q | v _ {\ perp} B}$.

Omorganisering, gyroradius kan uttrykkes som

${\ displaystyle r_ {g} = {\ frac {mv _ {\ perp}} {| q | B}}}$.

Dermed er gyroradius direkte proporsjonal med partikkelmassen og vinkelrett hastighet, mens den er omvendt proporsjonal med partikkelens elektriske ladning og magnetfeltstyrken. Tiden det tar partikkelen å fullføre en revolusjon, kalt perioden , kan beregnes til å være

${\ displaystyle T_ {g} = {\ frac {2 \ pi r_ {g}} {v _ {\ perp}}}}$.

Siden perioden er gjensidig for frekvensen vi har funnet

${\ displaystyle f_ {g} = {\ frac {1} {T_ {g}}} = {\ frac {| q | B} {2 \ pi m}}}$

og derfor

${\ displaystyle \ omega _ {g} = {\ frac {| q | B} {m}}}$.

Se også

• Bjelkestivhet
• Syklotronfrekvens
• Syklotron
• Magnetosfære partikkelbevegelse
• Gyrokinetikk

Referanser