Hagen – Poiseuille-ligning - Hagen–Poiseuille equation
En del av en serie på |
Kontinuummekanikk |
---|
I ikke-ideal væskedynamikk er ligningen Hagen – Poiseuille , også kjent som Hagen – Poiseuille-loven , Poiseuille-loven eller Poiseuille-ligningen , en fysisk lov som gir trykkfallet i en ukomprimerbar og newtonsk væske i laminær strømning som strømmer gjennom et langt sylindrisk rør med konstant tverrsnitt. Den kan med hell anvendes på luftstrømmen i lunge alveolene , eller strømmen gjennom et sugerør eller via en hypodermisk nål . Den ble eksperimentelt avledet uavhengig av Jean Léonard Marie Poiseuille i 1838 og Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen , og utgitt av Poiseuille i 1840–41 og 1846. Den teoretiske begrunnelsen av Poiseuille-loven ble gitt av George Stokes i 1845.
Forutsetningene for ligningen er at væsken er ukomprimerbar og newtonsk ; at strømningen er laminær gjennom et rør med konstant sirkulært tverrsnitt som er vesentlig lengre enn dens diameter; og det er ingen akselerasjon av væske i røret. For hastigheter og rørdiametre over en terskel, er faktisk væskestrøm ikke laminær, men turbulent , noe som fører til større trykkfall enn beregnet av Hagen – Poiseuille-ligningen.
Poiseuilles ligning beskriver trykkfallet på grunn av væskens viskositet; Andre typer trykkfall kan fremdeles forekomme i en væske (se en demonstrasjon her). For eksempel vil trykket som trengs for å drive en tyktflytende væske opp mot tyngdekraften inneholde både det som trengs i Poiseuilles lov pluss det etter behov i Bernoullis ligning , slik at ethvert punkt i strømmen vil ha et trykk større enn null (ellers ville ingen strømning skje).
Et annet eksempel er når blodet strømmer inn i en smalere innsnevring , vil dens hastighet være større enn i en med større diameter (på grunn av kontinuiteten av volumetrisk strømningshastighet ), og dens trykk vil være lavere enn i en større diameter (som følge av Bernoullis ligning). Imidlertid vil blodets viskositet føre til ytterligere trykkfall langs strømningsretningen, som er proporsjonal med den tilbakelagte lengden (i henhold til Poiseuilles lov). Begge effektene bidrar til det faktiske trykkfallet.
Ligning
I standard væskekinetikknotasjon:
hvor:
- Δ p er trykkforskjellen mellom de to endene,
- L er rørets lengde,
- μ er den dynamiske viskositeten ,
- Q er den volumetriske strømningshastigheten ,
- R er rørradiusen ,
- A er tverrsnittet av røret.
Ligningen holder ikke nær rørinngangen.
Ligningen svikter i grensen for lav viskositet, bredt og / eller kort rør. Lav viskositet eller et bredt rør kan føre til turbulent strømning, noe som gjør det nødvendig å bruke mer komplekse modeller, som Darcy – Weisbach-ligningen . Forholdet mellom lengde og radius for et rør bør være større enn en førtiåttendedel av Reynolds-tallet for at Hagen – Poiseuille-loven skal være gyldig. Hvis røret er for kort, kan Hagen – Poiseuille-ligningen resultere i ufysisk høye strømningshastigheter; strømmen er avgrenset av Bernoullis prinsipp , under mindre restriktive forhold
fordi det er umulig å ha mindre enn null (absolutt) trykk (ikke forveksles med målertrykk ) i en komprimerbar strøm.
Forhold til Darcy – Weisbach-ligningen
Normalt innebærer Hagen – Poiseuille-strømning ikke bare forholdet for trykkfallet over, men også den fullstendige løsningen for den laminære strømningsprofilen, som er parabolsk. Imidlertid kan resultatet for trykkfallet utvides til turbulent strømning ved å utlede en effektiv turbulent viskositet i tilfelle turbulent strømning, selv om strømningsprofilen i turbulent strømning egentlig ikke er parabolsk. I begge tilfeller, laminær eller turbulent, er trykkfallet relatert til spenningen ved veggen, som bestemmer den såkalte friksjonsfaktoren. Veggspenningen kan bestemmes fenomenologisk av Darcy – Weisbach-ligningen innen hydraulikk , gitt et forhold for friksjonsfaktoren når det gjelder Reynolds-tallet. For laminær strømning, for et sirkulært tverrsnitt:
hvor Re er Reynolds-tallet , ρ er væsketettheten, og v er den gjennomsnittlige strømningshastigheten, som er halvparten av den maksimale strømningshastigheten i tilfelle laminær strømning. Det viser seg mer nyttig å definere Reynolds-tallet når det gjelder gjennomsnittlig strømningshastighet fordi denne størrelsen forblir godt definert selv i tilfelle turbulent strømning, mens den maksimale strømningshastigheten ikke kan være, eller i alle fall kan det være vanskelig å utlede . I denne formen tilnærmer loven Darcy-friksjonsfaktoren , energitap (hode) tapsfaktor , friksjonstapsfaktor eller Darcy (friksjon) faktor Λ i den laminære strømmen ved svært lave hastigheter i sylindrisk rør. Den teoretiske avledningen av en litt annen form for lov ble gjort uavhengig av Wiedman i 1856 og Neumann og E. Hagenbach i 1858 (1859, 1860). Hagenbach var den første som kalte denne loven Poiseuilles lov.
Loven er også veldig viktig i hemoreologi og hemodynamikk , begge felt av fysiologi .
Poiseuilles lov ble senere i 1891 utvidet til turbulent strøm av L. R. Wilberforce, basert på Hagenbachs arbeid.
Derivasjon
Hagen – Poiseuille-ligningen kan være avledet fra Navier – Stokes-ligningene . Den laminære strømmen gjennom et rør med ensartet (sirkulært) tverrsnitt er kjent som Hagen – Poiseuille-strømning. Ligningene som styrer Hagen – Poiseuille-strømmen, kan avledes direkte fra Navier – Stokes momentumligninger i 3D sylindriske koordinater ved å gjøre følgende antagelser:
- Flyten er jevn ( ).
- De radiale og azimutale komponentene i væskehastigheten er null ( ).
- Flyten er aksesymmetrisk ( ).
- Strømmen er fullt utviklet ( ). Her kan dette imidlertid bevises via massebevaring, og ovennevnte forutsetninger.
Deretter blir vinkelligen i momentumligningene og kontinuitetsligningen tilfredsstilt identisk. Den radiale momentumligningen reduseres til , dvs. trykket er bare en funksjon av den aksiale koordinaten . For korthet, bruk i stedet for . Den aksiale momentumligningen reduseres til
hvor er væskens dynamiske viskositet. I ovenstående ligning er venstre side bare en funksjon av og høyre side begrep er bare en funksjon av , noe som betyr at begge begrepene må ha samme konstant. Evaluering av denne konstanten er grei. Hvis vi tar lengden på røret og betegner trykkforskjellen mellom de to ender av røret med (høyt trykk minus lavtrykk), så defineres konstanten slik at den er positiv. Løsningen er
Siden må være begrenset til , . Den ikke gli grensebetingelse ved rørveggen krever at ved (radius av røret), som gir Dermed har vi endelig den følgende parabolsk hastighetsprofil:
Den maksimale hastighet opptrer ved rørets midtlinje ( ), . Gjennomsnittlig hastighet kan oppnås ved å integrere over rørets tverrsnitt ,
Den lett målbare mengden i eksperimenter er den volumetriske strømningshastigheten . Omlegging av dette gir ligningen Hagen – Poiseuille
Omfattende avledning som starter direkte fra de første prinsippene Selv om det er mer langvarig enn direkte å bruke Navier – Stokes-ligningene , er en alternativ metode for å utlede Hagen – Poiseuille-ligningen som følger. Væske strømmer gjennom et rør
Anta at væsken har laminær strømning . Laminær strømning i et rundt rør foreskriver at det er en haug med sirkulære lag (lamina) væske, som hver har en hastighet som bare bestemmes av deres radiale avstand fra sentrum av røret. Anta også at senteret beveger seg raskest mens væsken som berører veggene på røret, er stasjonær (på grunn av sklisikker tilstand ).For å finne ut væskens bevegelse, må alle krefter som virker på hver plate være kjent:
- Den trykk kraft som trykker væsken gjennom røret er endringen i trykket multiplisert med arealet: F = - A Δ s . Denne kraften er i retning av væskens bevegelse. Det negative tegnet kommer fra den konvensjonelle måten vi definerer Δ p = p slutt - p topp <0 .
- Viskositetseffekter vil trekke seg fra den raskere laminen umiddelbart nærmere sentrum av røret.
- Viskositetseffekter vil trekke seg fra den langsommere laminen umiddelbart nærmere rørveggene.
Viskositet
Når to lag med væske i kontakt med hverandre beveger seg i forskjellige hastigheter, vil det være en skjærkraft mellom dem. Denne kraft er proporsjonal til det område av kontakt A , hastighetsgradienten vinkelrett på retningen av strømningen Δ v x/Δ y, og en proporsjonalitetskonstant (viskositet) og er gitt av
Det negative tegnet er der inne fordi vi er opptatt av den raskere flytende væsken (øverst i figuren), som blir redusert av den langsommere væsken (bunnen i figuren). Ved Newtons tredje bevegelseslov er kraften på den langsommere væsken lik og motsatt (ikke noe negativt tegn) til kraften på den raskere væsken. Denne ligningen antar at kontaktområdet er så stort at vi kan ignorere eventuelle effekter fra kantene, og at væskene oppfører seg som newtonske væsker .
Raskere lamina
Anta at vi finner ut kraften på lamellen med radien r . Fra ligningen ovenfor, trenger vi å vite området for kontakt og hastigheten gradient . Tenk på lamina som en ring med radius r , tykkelse dr og lengde Δ x . Kontaktområdet mellom lamellen og den raskere er ganske enkelt området på innsiden av sylinderen: A = 2π r Δ x . Vi vet ikke den eksakte formen for væskens hastighet i røret ennå, men vi vet (fra vår antagelse ovenfor) at den er avhengig av radius. Derfor er hastighetsgradienten endringen av hastigheten i forhold til endringen i radius i skjæringspunktet mellom disse to lagene. Krysset er i en radius på r . Så, med tanke på at denne kraften vil være positiv med hensyn til væskens bevegelse (men avledningen av hastigheten er negativ), blir den endelige formen på ligningen
der den vertikale linjen og tegnet r som følger derivatet, indikerer at det skal tas i en radius av r .
Tregere laminat
La oss deretter finne kraften til drag fra den langsommere laminen. Vi må beregne de samme verdiene som vi gjorde for kraften fra raskere lamina. I dette tilfellet er kontaktområdet på r + dr i stedet for r . Vi må også huske at denne kraften motsetter bevegelsesretningen til væsken og derfor vil være negativ (og at avledningen av hastigheten er negativ).
Sette alt sammen
For å finne løsningen for strømningen av et laminært lag gjennom et rør, må vi ta en siste antagelse. Det er ingen akselerasjon av væske i røret, og ifølge Newtons første lov er det ingen nettokraft. Hvis det ikke er nettokraft, kan vi legge sammen alle kreftene for å få null
eller
For det første, for å få alt til å skje på samme punkt, bruk de to første begrepene i en Taylor-utvidelse av hastighetsgradienten:
Uttrykket er gyldig for alle laminater. Gruppere like vilkår og slippe den vertikale linjen siden alle derivater antas å være i radius r ,
Til slutt, sett dette uttrykket i form av en differensialligning , og slipp begrepet kvadratisk i dr .
Ovennevnte ligning er den samme som er hentet fra Navier – Stokes-ligningene, og avledningen herfra følger som før.
Oppstart av Poiseuille-strøm i et rør
Når en konstant trykkgradient påføres mellom to ender av et langt rør, vil strømmen ikke umiddelbart oppnå Poiseuille-profil, men den utvikler seg over tid og når Poiseuille-profilen i jevn tilstand. De Navier-Stokes ligninger redusere til
med innledende og grensevilkår,
Hastighetsfordelingen er gitt av
hvor er Bessel-funksjonen til den første typen ordre null og er de positive røttene til denne funksjonen og er Bessel-funksjonen til den første typen ordre en. Som Poiseuille løsning er gjenvunnet.
Poiseuille flyter i en ringformet seksjon
Hvis er den indre sylinderradien og er den ytre sylinderadien, med påført trykkgradient mellom de to endene , er hastighetsfordelingen og volumstrømmen gjennom det ringformede røret
Når er det opprinnelige problemet gjenopprettet.
Poiseuille strømmer i et rør med en oscillerende trykkgradient
Strømning gjennom rør med en oscillerende trykkgradient finner anvendelser i blodstrømmen gjennom store arterier. Den pålagte trykkgradienten er gitt av
hvor , og er konstanter og er frekvensen. Hastighetsfeltet er gitt av
hvor
hvor og er Kelvin-funksjonene og .
Fly Poiseuille flyt
Plane Poiseuille-strømning er strømning skapt mellom to uendelig lange parallelle plater, atskilt med en avstand med en konstant trykkgradient , påføres i strømningsretningen. Strømmen er i hovedsak ensrettet på grunn av uendelig lengde. De Navier-Stokes ligninger redusere til
med sklisikker tilstand på begge vegger
Derfor er hastighetsfordelingen og volumstrømningshastigheten per lengdenhet
Poiseuille strømmer gjennom noen ikke-sirkulære tverrsnitt
Joseph Boussinesq avledet hastighetsprofilen og volumstrømningshastigheten i 1868 for rektangulær kanal og rør med ensidig trekantet tverrsnitt og for elliptisk tverrsnitt. Joseph Proudman avledet det samme for likebenede trekanter i 1914. La være den konstante trykkgradienten som virker i retning parallelt med bevegelsen.
Hastigheten og volumstrømningshastigheten i en rektangulær kanal med høyde og bredde er
Hastigheten og volumstrømningshastigheten til røret med ensidig trekantet tverrsnitt av sidelengden er
Hastigheten og volumstrømningshastigheten i den rettvinklede likestilte trekanten er
Hastighetsfordelingen for rør med elliptisk tverrsnitt med halvakse og er
Her, når gjenvinnes Poiseuille-strømning for sirkulært rør, og når blir Poiseuille- strømning gjenvunnet. Mer eksplisitte løsninger med tverrsnitt som snegleformede seksjoner, seksjoner som har form av en hakkesirkel etter en halvcirkel, ringformede seksjoner mellom homofokale ellipser, ringformede snitt mellom ikke-konsentriske sirkler er også tilgjengelig, som gjennomgått av Ratip Berker .
Poiseuille strømmer gjennom vilkårlig tverrsnitt
Strømmen gjennom vilkårlig tverrsnitt tilfredsstiller betingelsen som på veggene. Den styrende ligningen reduseres til
Hvis vi introduserer en ny avhengig variabel som
da er det lett å se at problemet reduseres til det å integrere en Laplace-ligning
tilfredsstiller betingelsen
på veggen.
Poiseuilles ligning for en ideell isotermisk gass
For en komprimerbar væske i et rør er ikke volumstrømningshastigheten (men ikke massestrømningshastigheten) og den aksiale hastigheten langs røret. Strømmen uttrykkes vanligvis ved utløpstrykk. Når væske komprimeres eller utvides, gjøres arbeid og væsken oppvarmes eller avkjøles. Dette betyr at strømningshastigheten avhenger av varmeoverføringen til og fra væsken. For en ideell gass i det isotermiske tilfellet, hvor temperaturen på væsken får være i likevekt med omgivelsene, kan en omtrentlig sammenheng for trykkfallet utledes. Ved å bruke ideell gassligning for tilstand for prosess med konstant temperatur, kan forholdet oppnås. Over en kort del av røret kan gassen som strømmer gjennom røret antas å være komprimerbar, slik at Poiseuille-loven kan brukes lokalt,
Her antok vi at den lokale trykkgradienten ikke er for stor til å ha noen komprimerbarhetseffekter. Selv om vi lokalt ignorerte effekten av trykkvariasjon på grunn av tetthetsvariasjon, blir disse effektene tatt i betraktning over lange avstander. Siden er uavhengig av trykk, kan ovenstående ligning integreres over lengden som skal gis
Derfor er den volumetriske strømningshastigheten ved rørutløpet gitt av
Denne ligningen kan sees på som Poiseuilles lov med en ekstra korreksjonsfaktor p 1 + p 2/2 p 2 uttrykker gjennomsnittstrykket i forhold til utløpstrykket.
Elektriske kretser analogi
Elektrisitet ble opprinnelig forstått som en slags væske. Denne hydrauliske analogien er fortsatt konseptuelt nyttig for å forstå kretser. Denne analogien brukes også til å studere frekvensresponsen til væskemekaniske nettverk ved hjelp av kretsverktøy, i hvilket tilfelle fluidnettverket kalles en hydraulisk krets . Poiseuilles lov tilsvarer Ohms lov for elektriske kretser, V = IR . Siden nettokraften som virker på væsken er lik , hvor S = π r 2 , dvs. Δ F = π r 2 Δ P , så fra Poiseuilles lov følger det at
- .
For elektriske kretser, la n være konsentrasjonen av gratis ladede partikler (i m -3 ) og la q * være ladningen for hver partikkel (i coulombs ). (For elektroner, q * = e =1,6 × 10 −19 C. ) Da er nQ antall partikler i volumet Q , og nQq * er deres totale ladning. Dette er den ladning som strømmer gjennom tverrsnittet pr tidsenhet, dvs. den strøm I . Derfor er jeg = nQq * . Følgelig er Q =Jeg/nq *, og
Men Δ F = Eq , hvor q er den totale ladningen i rørets volum. Rørets volum er lik π r 2 L , så antall ladede partikler i dette volumet er lik n π r 2 L , og deres totale ladning er Siden spenningen V = EL , følger den da
Dette er akkurat Ohms lov, hvor motstanden R =V/Jeg er beskrevet av formelen
- .
Det følger at motstanden R er proporsjonal med lengden L på motstanden, noe som er sant. Men det er også følger det at motstanden R er omvendt proporsjonal med fjerde potens av radien r , dvs. at motstanden R er omvendt proporsjonal med annen potens av tverrsnittsarealet S = π r 2 av motstanden, som er forskjellig fra den elektriske formelen. Den elektriske relasjonen for motstanden er
hvor ρ er resistiviteten; dvs. motstanden R er omvendt proporsjonal med tverrsnittet S av motstanden. Årsaken til at Poiseuilles lov fører til en annen formel for motstanden R, er forskjellen mellom væskestrømmen og den elektriske strømmen. Elektrongass er usynlig , så hastigheten avhenger ikke av avstanden til lederens vegger. Motstanden skyldes samspillet mellom de flytende elektronene og lederne. Derfor er Poiseuilles lov og den hydrauliske analogien bare nyttig innen visse grenser når den brukes på elektrisitet. Både Ohms lov og Poiseuilles lov illustrerer transportfenomener .
Medisinske applikasjoner - intravenøs tilgang og væsketilførsel
Hagen – Poiseuille-ligningen er nyttig for å bestemme vaskulær motstand og dermed strømningshastighet for intravenøse (IV) væsker som kan oppnås ved å bruke forskjellige størrelser av perifere og sentrale kanyler . Ligningen sier at strømningshastigheten er proporsjonal med radiusen til den fjerde kraften, noe som betyr at en liten økning i den indre diameteren av kanylen gir en betydelig økning i strømningshastigheten til IV-væsker. Radien til IV-kanyler måles vanligvis i "gauge", som er omvendt proporsjonal med radiusen. Perifere IV-kanyler er vanligvis tilgjengelige som (fra store til små) 14G, 16G, 18G, 20G, 22G, 26G. Som et eksempel er strømmen av en 14G-kanyle omtrent dobbelt så stor som en 16G, og ti ganger så stor som en 20G. Den sier også at flyt er omvendt proporsjonalt med lengde, noe som betyr at lengre linjer har lavere strømningshastigheter. Dette er viktig å huske. I en krisesituasjon foretrekker mange klinikere kortere, større katetre sammenlignet med lengre, smalere katetre. Selv om det er av mindre klinisk betydning, kan en økt trykkendring (∆ p ) - for eksempel ved å sette væskeposen under trykk, klemme på posen eller henge posen høyere (i forhold til nivået på kanylen) - strømningshastighet. Det er også nyttig å forstå at viskøse væsker vil strømme langsommere (f.eks. Ved blodtransfusjon ).
Se også
Merknader
Siterte referanser
Referanser
- Sutera, SP; Skalak, R. (1993). "Historien om Poiseuilles lov" . Årlig gjennomgang av væskemekanikk . 25 : 1–19. Bibcode : 1993AnRFM..25 .... 1S . doi : 10.1146 / annurev.fl.25.010193.000245 ..
- Pfitzner, J (1976). "Poiseuille og hans lov". Anestesi . 31 (2) (publisert mar 1976). s. 273–5. doi : 10.1111 / j.1365-2044.1976.tb11804.x . PMID 779509 ..
- Bennett, CO; Myers, JE (1962). Momentum, varme og masseoverføring . McGraw-Hill..