Hasegawa – Mima-ligningen - Hasegawa–Mima equation

I plasmafysikk er Hasegawa – Mima-ligningen , oppkalt etter Akira Hasegawa og Kunioki Mima, en ligning som beskriver et visst regime av plasma , der tidsskalaene er veldig raske, og avstandsskalaen i retning av magnetfeltet er lang . Spesielt er ligningen nyttig for å beskrive turbulens i noen tokamakker . Ligningen ble introdusert i Hasegawa og Mimas papir som ble sendt inn i 1977 til Physics of Fluids , hvor de sammenlignet den med resultatene fra ATC tokamak.

Antagelser

• Magnetfeltet er stort nok til at:

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {ci}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ ll 1}$

for alle mengder av interesse. Når partiklene i plasmaet beveger seg gjennom et magnetfelt, snurrer de i en sirkel rundt magnetfeltet. Svingningsfrekvensen, kjent som syklotronfrekvensen eller gyrofrekvensen, er direkte proporsjonal med magnetfeltet.${\ displaystyle \ omega _ {ci}}$

• Partikkeltettheten følger quasineutrality-tilstanden :

${\ displaystyle n_ {e} \ approx Zn_ {i} \,}$

hvor Z er antall protoner i ionene. Hvis vi snakker om hydrogen Z = 1, og n er det samme for begge artene. Denne tilstanden er sant så lenge elektronene kan skjerme ut elektriske felt. En sky av elektroner vil omgi enhver ladning med en omtrentlig radius kjent som Debye-lengden . Av den grunn betyr denne tilnærmingen at størrelsesskalaen er mye større enn Debye-lengden. Ionpartikkeltettheten kan uttrykkes ved et første ordensbegrep som er tettheten definert av kvasineutralitetsbetingelsesligningen, og en andre ordens term som er hvor mye den skiller seg fra ligningen.

• Den første ordens ionpartikkeltetthet er en funksjon av posisjon, men ikke tid. Dette betyr at forstyrrelser i partikkeltettheten endres i en tidsskala som er mye saktere enn interessen. Den andre ordens partikkeltetthet som forårsaker ladningstetthet og dermed et elektrisk potensial kan endre seg med tiden.
• Magnetfeltet B må være ensartet i rommet, og ikke være en funksjon av tiden. Magnetfeltet beveger seg også i en tidsskala som er mye saktere enn interessen. Dette gjør at tidsderivatet i momentumbalansen kan neglisjeres.
• Ionetemperaturen må være mye mindre enn elektron temperaturen. Dette betyr at ionetrykket kan bli neglisjert i ion-momentum-balansen.
• Elektronene følger en Boltzmann-distribusjon der:

${\ displaystyle n = n_ {0} e ^ {e \ phi / T_ {e}} \,}$

Siden elektronene står fritt til å bevege seg langs magnetfeltets retning, screener de bort elektriske potensialer. Denne screeningen får en Boltzmann-distribusjon av elektroner til å dannes rundt de elektriske potensialene.

Ligningen

Hasegawa – Mima-ligningen er en ikke-lineær partiell differensialligning av andre ordre som beskriver det elektriske potensialet. Formen på ligningen er:

${\ displaystyle {\ frac {\ parti} {\ delvis t}} \ venstre (\ nabla ^ {2} \ phi - \ phi \ høyre) - \ venstre [\ venstre (\ nabla \ phi \ ganger \ mathbf {\ hatt {z}} \ høyre) \ cdot \ nabla \ høyre] \ venstre [\ nabla ^ {2} \ phi - \ ln \ left ({\ frac {n_ {0}} {\ omega _ {ci}}} \ høyre) \ høyre] = 0.}$

Selv om tilstanden til kvasi-nøytralitet holder, forårsaker de små forskjellene i tetthet mellom elektronene og ionene et elektrisk potensial. Hasegawa – Mima-ligningen er avledet fra kontinuitetsligningen:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial n} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (n \ mathbf {v}) = 0.}$

Fluidshastigheten kan bli tilnærmet ved E-kryss B-drift:

${\ displaystyle \ mathbf {v_ {E}} = {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}} {cB ^ {2}}} = {\ frac {- \ nabla \ phi \ times \ mathbf {\ hat {z}}} {cB}}.}$

Tidligere modeller hentet likningene fra denne tilnærmingen. Divergensen av E-kryss B-drift er null, noe som holder væsken ukomprimerbar. Væskens komprimerbarhet er imidlertid veldig viktig når det gjelder å beskrive utviklingen av systemet. Hasegawa og Mima hevdet at antakelsen var ugyldig. Hasegawa – Mima-ligningen introduserer en andre ordens betegnelse for fluidhastigheten kjent som polarisasjonsdrift for å finne divergensen i fluidhastigheten. På grunn av antagelsen om stort magnetfelt, er polarisasjonsdrift mye mindre enn E-kryss B-drift. Likevel introduserer det viktig fysikk.

For en to-dimensjonal inkomprimerbar væske som ikke er et plasma, sier Navier – Stokes-ligningene :

${\ displaystyle {\ frac {\ parti} {\ delvis t}} \ venstre (\ nabla ^ {2} \ psi \ høyre) - \ venstre [\ venstre (\ nabla \ psi \ ganger \ mathbf {\ hat {z }} \ høyre) \ cdot \ nabla \ høyre] \ nabla ^ {2} \ psi = 0}$

etter å ha tatt krøllen fra momentumbalansen. Denne ligningen er nesten identisk med Hasegawa – Mima-ligningen bortsett fra at andre og fjerde begrep er borte, og det elektriske potensialet erstattes med fluidhastighetsvektorpotensialet der:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = - \ nabla \ psi \ times \ mathbf {\ hat {z}}.}$

De første og tredje begrepene til Hasegawa – Mima-ligningen, som er de samme som Navier Stokes-ligningen, er begrepene introdusert ved å legge til polarisasjonsdrift. I grensen der bølgelengden til en forstyrrelse av det elektriske potensialet er mye mindre enn gyroradius basert på lydhastigheten, blir Hasegawa – Mima-ligningene de samme som den todimensjonale inkomprimerbare væsken.

normalisering

En måte å forstå en ligning mer fullstendig er å forstå hva den er normalisert til, noe som gir deg en ide om interesseskalaene. Tid, posisjon og elektrisk potensial er normalisert til t ', x' og${\ displaystyle \ phi '}$

Tidsskalaen for Hasegawa – Mima-ligningen er den inverse ion-gyrofrekvensen:

${\ displaystyle t '= \ omega _ {ci} t, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ omega _ {ci} = {\ frac {eZB} {m_ {i} c}}.}$

Fra antagelsen om stort magnetfelt er den normaliserte tiden veldig liten. Den er imidlertid fortsatt stor nok til å få informasjon ut av den.

Avstandsskalaen er gyroradius basert på lydhastigheten:

${\ displaystyle x '= {\ frac {x} {\ rho _ {s}}}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ rho _ {s} ^ {2} \ equiv {\ frac { T_ {e}} {m_ {i} \ omega _ {ci} ^ {2}}}.}$

Hvis du transformerer til k-space, er det tydelig at når k, bølgetallet, er mye større enn ett, vil begrepene som gjør at Hasegawa – Mima-ligningen skiller seg fra ligningen som stammer fra Navier-Stokes-ligningen i en todimensjonal ukomprimerbar flyt mye mindre enn resten.

Fra avstand og tidsskala kan vi bestemme skalaen for hastigheter. Dette viser seg å være lydhastigheten. Hasegawa – Mima-ligningen, viser oss dynamikken i hurtig bevegelige lyder i motsetning til den tregere dynamikken som strømmer som fanges opp i MHD-ligningene . Bevegelsen er enda raskere enn lydhastigheten gitt at tidsskalaene er mye mindre enn tidsnormaliseringen.

Potensialet er normalisert til:

${\ displaystyle \ phi '= {\ frac {e \ phi} {T_ {e}}}.}$

Siden elektronene passer til en Maxwellian og quasineutrality-tilstanden holder, er dette normaliserte potensialet lite, men lignende rekkefølge som det normaliserte tidsderivatet.

Hele ligningen uten normalisering er:

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {ci}}} {\ frac {\ parti} {\ delvis t}} \ venstre (\ rho _ {s} ^ {2} \ nabla ^ {2} {\ frac {e \ phi} {T_ {e}}} - {\ frac {e \ phi} {T_ {e}}} \ høyre) - \ venstre [\ venstre (\ rho _ {s} \ nabla { \ frac {e \ phi} {T_ {e}}} \ ganger \ mathbf {\ hat {z}} \ høyre) \ cdot \ rho _ {s} \ nabla \ høyre] \ venstre [\ rho _ {s} ^ {2} \ nabla ^ {2} {\ frac {e \ phi} {T_ {e}}} - \ ln \ venstre ({\ frac {n_ {0}} {\ omega _ {ci}}} \ høyre) \ høyre] = 0.}$

Selv om tidsderivatet delt med syklotronfrekvensen er mye mindre enn enhet, og det normaliserte elektriske potensialet er mye mindre enn enhet, så lenge gradienten er i størrelsesorden en, er begge begrepene sammenlignbare med den ikke-lineære betegnelsen. Den uforstyrrede tetthetsgradienten kan også være like liten som det normaliserte elektriske potensialet og være sammenlignbart med de andre begrepene.

Andre former for ligningen

Ofte er Hasegawa – Mima-ligningen uttrykt i en annen form ved bruk av Poisson-parenteser . Disse Poisson-parentesene er definert som:

${\ displaystyle \ venstre [A, B \ høyre] \ equiv {\ frac {\ parti A} {\ delvis x}} {\ frac {\ delvis B} {\ delvis y}} - {\ frac {\ delvis A } {\ delvis y}} {\ frac {\ delvis B} {\ delvis x}}.}$

Ved hjelp av disse Poisson-parentesene kan ligningen uttrykkes på nytt som:

${\ displaystyle {\ frac {\ parti} {\ delvis t}} \ venstre (\ nabla ^ {2} \ phi - \ phi \ høyre) + \ venstre [\ phi, \ nabla ^ {2} \ phi \ høyre ] - \ venstre [\ phi, \ ln \ venstre ({\ frac {n_ {0}} {\ omega _ {ci}}} \ høyre) \ høyre] = 0.}$

Ofte antas at partikkeltettheten varierer jevnt bare i en retning, og ligningen er skrevet i en synlig annen form. Poisson-braketten inkludert tettheten erstattes med definisjonen av Poisson-braketten, og en konstant erstatter derivatet av den tetthetsavhengige termen.

Konserverte mengder

Det er to mengder som er bevart i en to-dimensjonal inkomprimerbar væske. Den kinetiske energien :

${\ displaystyle \ int \ left (\ nabla \ psi \ høyre) ^ {2} dV = \ int v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} \, dV.}$

Og enstrofien :

${\ displaystyle \ int \ left (\ nabla ^ {2} \ psi \ høyre) ^ {2} \, dV = \ int \ left (\ nabla \ times \ mathbf {v} \ høyre) ^ {2} \, dV.}$

For ligningen Hasegawa – Mima er det også to konserverte mengder, som er relatert til ovennevnte mengder. Den generelle energien:

${\ displaystyle \ int \ venstre [\ phi ^ {2} + \ venstre (\ nabla \ phi \ høyre) ^ {2} \ høyre] \, dV.}$

Og den generelle enstrofien:

${\ displaystyle \ int \ venstre [\ venstre (\ nabla \ phi \ høyre) ^ {2} + \ venstre (\ nabla ^ {2} \ phi \ høyre) ^ {2} \ høyre] \, dV.}$

I grensen der Hasegawa – Mima-ligningen er den samme som en inkomprimerbar væske, blir den generaliserte energien og enstrofi den samme som den kinetiske energien og enstrofien.

Se også

• magneto
• Navier – Stokes-ligninger
• Plasma (fysikk)
• Turbulens

referanser

• Hasegawa, A. og Mima, K., Pseudo-tredimensjonal turbulens i magnetisert ikke-enhetlig plasma, Phys. Fluids 21 , 87–92 (1978).
• Hasegawa, A., og Mima, K., Stasjonært spekter av sterk turbulens i magnetisert ikke-enhetlig plasma, Phys. Pastor Lett. 39 , 205 (1977).

Eksterne linker

• http://www.ipp.mpg.de/~fsj/PAPERS_1/tutorial_3.pdf