Helix - Helix

Høyrehåndsspiralen (cos t , sin t , t ) fra t = 0 til 4π med pilspisser som viser retning for økende t

En helix ( / h jeg l ɪ k s / ), en flerhet viklinger eller spiraler ( / h ɛ l ɪ s jeg z / ), er en form som en korketrekker eller spiraltrapp. Det er en type glatt romkurve med tangentlinjer i en konstant vinkel til en fast akse. Helixer er viktige i biologien , ettersom DNA -molekylet er dannet som to sammenflettede spiraler , og mange proteiner har spiralformede substrukturer, kjent som alfa -spiraler . Ordet helix kommer fra det greske ordet ἕλιξ , "vridd, buet". En "fylt ut" helix-for eksempel en "spiral" (spiralformet) rampe-kalles en helikoid .

Typer

Helixer kan enten være høyrehendte eller venstrehendte. Med siktlinjen langs spiralens akse, hvis en skruebevegelse med uret flytter spiralen bort fra observatøren, så kalles den en høyrehendt helix; hvis mot observatøren, så er det en venstrehendt helix. Handedness (eller kiralitet ) er en egenskap av helixen, ikke av perspektivet: en høyrehendt helix kan ikke dreies for å se ut som en venstrehendt, med mindre den sees i et speil, og omvendt.

To typer helix vist i sammenligning . Dette viser de to chiralitetene til spiraler. Den ene er venstrehendt og den andre er høyrehendt. Hver rad sammenligner de to spiralene fra et annet perspektiv. Kiraliteten er en egenskap til objektet, ikke til perspektivet (synsvinkel)

De fleste hardware skruegjenger er høyrehendte helices. Alfa-helixen i biologi samt A- og B- former for DNA er også høyrehendte spiraler. Den Z-form av DNA er venstrehendte.

Den bek som en skruelinje er høyden av en fullstendig skruelinje omdreining, målt parallelt med aksen av spiralen.

En dobbel helix består av to (vanligvis kongruente ) spiraler med samme akse, som er forskjellige med en translasjon langs aksen.

En konisk helix kan defineres som en spiral på en konisk overflate, med avstanden til toppen en eksponentiell funksjon av vinkelen som indikerer retning fra aksen. Et eksempel er berg- og dalbanen Corkscrew på fornøyelsesparken Cedar Point .

En sirkulær helix, (dvs. en med konstant radius) har konstant båndkrumning og konstant torsjon .

En kurve kalles en generell helix eller sylindrisk helix hvis dens tangens lager en konstant vinkel med en fast linje i rommet. En kurve er en generell helix hvis og bare hvis forholdet mellom krumning og torsjon er konstant.

Geometrisk stigning er avstanden et element i en flypropell ville gå frem i en omdreining hvis den beveget seg langs en spiral med en vinkel lik den mellom elementets akkord og et plan vinkelrett på propellaksen.

En kurve kalles en skrå helix hvis hovednormalen gjør en konstant vinkel med en fast linje i rommet. Den kan konstrueres ved å bruke en transformasjon på den bevegelige rammen til en generell helix.

Noen kurver som finnes i naturen består av flere spiraler med forskjellige hendelser som er forbundet med overganger kjent som tendril perversjoner .

Matematisk beskrivelse

En helix sammensatt av sinusformede x- og y -komponenter

I matematikk er en helix en kurve i det tredimensjonale rommet. Følgende parametrering i kartesiske koordinater definerer en bestemt helix; kanskje den enkleste ligningen for en er

${\ displaystyle x (t) = \ cos (t), \,}$

${\ displaystyle y (t) = \ sin (t), \,}$

${\ displaystyle z (t) = t. \,}$

Når parameteren t øker, sporer punktet ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) en høyrehendt helix med tonehøyde 2 π (eller skråning 1) og radius 1 om z -aksen, i en høyrehendt koordinatsystem.

I sylindriske koordinater ( r , θ , h ) parametres samme helix av:

${\ displaystyle r (t) = 1, \,}$

${\ displaystyle \ theta (t) = t, \,}$

${\ displaystyle h (t) = t. \,}$

En sirkulær helix med radius a og skråning b / a (eller stigning 2 πb ) er beskrevet av følgende parametrering:

${\ displaystyle x (t) = a \ cos (t), \,}$

${\ displaystyle y (t) = a \ sin (t), \,}$

${\ displaystyle z (t) = bt. \,}$

En annen måte å matematisk konstruere en helix på er å plotte den komplekse verdifunksjonen e ^xi som en funksjon av det reelle tallet x (se Eulers formel ). Verdien av x og de virkelige og imaginære delene av funksjonsverdien gir dette plottet tre virkelige dimensjoner.

Bortsett fra rotasjoner , oversettelser og skalaendringer, tilsvarer alle høyrehendte spiraler helixen som er definert ovenfor. Den tilsvarende venstrehendte spiralen kan konstrueres på en rekke måter, den enkleste er å negere en av x- , y- eller z- komponentene.

Buelengde, krumning og vridning

Lengden på en sirkulær helix med radius a og helling b / a (eller stigning 2 πb ) uttrykt i rektangulære koordinater som

${\ displaystyle t \ mapsto (a \ cos t, a \ sin t, bt), t \ in [0, T]}$

lik , dens krumning er og torsjonen er En helix har konstant krumning og vridning uten null. ${\ displaystyle T \ cdot {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\ displaystyle {\ frac {| a |} {a^{2}+b^{2}}}}$${\ displaystyle {\ frac {b} {a^{2}+b^{2}}}.}$

En spiral er funksjonen som er verdifull for vektoren

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = a \ cos t \ mathbf {i} +a \ sin t \ mathbf {j} +bt \ mathbf {k}}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = -a \ sin t \ mathbf {i} +a \ cos t \ mathbf {j} +b \ mathbf {k}}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {a} = -a \ cos t \ mathbf {i} -a \ sin t \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}$$

$${\ displaystyle | \ mathbf {v} | = {\ sqrt {(-a \ sin t)^{2}+(a \ cos t)^{2}+b^{2}}} = {\ sqrt { a^{2}+b^{2}}}}$$

$${\ displaystyle | \ mathbf {a} | = {\ sqrt {(-a \ sin t)^{2}+(a \ cos t)^{2}}} = a}$$

$${\ displaystyle s (t) = \ int _ {0}^{t} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}} d \ tau = {\ sqrt {a^{2}+b ^{2}}} t}$$

Så en helix kan repareres som en funksjon av , som må være enhetshastighet: ${\ displaystyle s}$

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (s) = a \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2} +b^{2}}}} \ mathbf {i} +a \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}} \ mathbf {j}+{\ frac {bs} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}} }} \ mathbf {k}}$$

Enhetens tangensvektor er

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} = \ mathbf {T} = {\ frac {-a} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}} \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}} \ mathbf {i}+{\ frac {a} {\ sqrt {a^{2}+b^ {2}}}} \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2} +b^{2}}}} \ mathbf {j} +{\ frac {b} {\ sqrt {a^ {2}+b^{2}}}} \ mathbf {k}}$$

Den normale vektoren er

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} = \ kappa \ mathbf {N} = {\ frac {-a} {a^{2}+b^{2}}} \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}} \ mathbf {i}+{\ frac {-a} {a^{2}+b^{2}} } \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2} +b^{2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}$$

Dens krumning er . ${\ displaystyle \ left | {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ right | = \ kappa = {\ frac {| a |} {a^{2}+b^{2}}} }$

Enhetens normale vektor er

$${\ displaystyle \ mathbf {N} = -\ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}} \ mathbf {i} -\ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2} +b^{2}}}} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k}}$$

Den binormale vektoren er

$${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N} = {\ frac {1} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}} \ venstre [b \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}} \ mathbf {i} -b \ cos {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2} +b^{2}}}} \ mathbf {j} +a \ mathbf {k} \ right]}$$

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} = {\ frac {1} {a^{2}+b^{2}}} \ venstre [b \ cos {\ frac {s } {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}} \ mathbf {i}+b \ sin {\ frac {s} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}} }} \ mathbf {j} +0 \ mathbf {k} \ right]}$$

Torsjonen er . ${\ displaystyle \ tau = \ left | {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} \ right | = {\ frac {b} {a^{2}+b^{2}}}}$

Eksempler

I musikk er tonehøyde ofte modellert med spiraler eller dobbelspiraler, som oftest strekker seg ut av en sirkel, for eksempel sirkelen av femtedeler , for å representere oktavekvivalens .

• 

  Krystallstruktur for en brettet molekylær helix rapportert av Lehn et al. i Helv. Chim. Acta. , 2003, 86, 1598–1624.

• 

  En naturlig venstrehendt heliks, laget av en klatrer plante

• 

  En ladet partikkel i et jevnt magnetfelt som følger en spiralformet bane

• 

  En skruelinjeformet spiralfjær

Se også

Referanser

< https://www.merriam-webster.com/dictionary/geometrical%20pitch