Holtsmark distribusjon - Holtsmark distribution

Holtsmark

Sannsynlighetstetthetsfunksjon Symmetriske α- stabile fordelinger med enhetsskalafaktor; α = 1,5 (blå linje) representerer Holtsmark-fordelingen
Kumulativ distribusjons funksjon
Parametere	c ∈ (0, ∞) - parameter for skala μ ∈ (−∞, ∞) - plasseringsparameter
Brukerstøtte	x ∈ R
PDF	uttrykkelig når det gjelder hypergeometriske funksjoner ; se tekst
Mener	μ
Median	μ
Modus	μ
Forskjell	uendelig
Skjevhet	udefinert
Eks. kurtose	udefinert
MGF	udefinert
CF	${\ displaystyle \ exp \ left [~ it \ mu \! - \! | ct | ^ {3/2} ~ \ right]}$

Den (endimensjonale) Holtsmark-fordelingen er en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling . Holtsmark-fordelingen er et spesielt tilfelle av en stabil fordeling med indeksen for stabilitet eller formparameter lik 3/2 og skjevhetsparameter null. Siden er lik null, er fordelingen symmetrisk, og dermed et eksempel på en symmetrisk alfa-stabil fordeling. Holtsmark-fordelingen er et av få eksempler på en stabil fordeling som det er kjent et lukket formuttrykk for sannsynlighetstetthetsfunksjonen . Imidlertid er dens sannsynlighetstetthetsfunksjon ikke uttrykkelig når det gjelder elementære funksjoner${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$ ; snarere uttrykkes sannsynlighetstetthetsfunksjonen i form av hypergeometriske funksjoner .

Holtsmark-distribusjonen har anvendelser innen plasmafysikk og astrofysikk. I 1919 foreslo den norske fysikeren J. Holtsmark distribusjonen som en modell for de svingende feltene i plasma på grunn av kaotisk bevegelse av ladede partikler. Det er også anvendelig for andre typer Coulomb-krefter, spesielt modellering av gravitasjonslegemer, og er derfor viktig i astrofysikk.

Karakteristisk funksjon

Den karakteristiske funksjonen til en symmetrisk stabil fordeling er:

${\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = \ exp \ left [~ it \ mu \! - \! | ct | ^ {\ alpha} ~ \ right],}$

hvor er formparameteren, eller stabilitetsindeksen, er lokaliseringsparameteren , og c er skalaparameteren . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ mu}$

Siden Holtsmark-distribusjonen har sin karakteristiske funksjon er: ${\ displaystyle \ alpha = 3/2,}$

${\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = \ exp \ left [~ it \ mu \! - \! | ct | ^ {3/2} ~ \ right].}$

Siden Holtsmark-fordelingen er en stabil fordeling med α > 1 , representerer den gjennomsnittet av fordelingen. Siden β = 0 , representerer også median og modus av fordelingen. Og siden α <2 , er variasjonen i Holtsmark-fordelingen uendelig. Alle høyere øyeblikk av fordelingen er også uendelige. Som andre stabile distribusjoner (annet enn normalfordelingen), da variansen er uendelig, blir spredningen i fordelingen reflektert av skalaparameteren , c. En alternativ tilnærming til å beskrive spredningen av fordelingen er gjennom brøkmomenter. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$

Sannsynlighetstetthetsfunksjon

Generelt kan sannsynlighetstetthetsfunksjonen , f ( x ), for en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling utledes fra dens karakteristiske funksjon ved å:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (t) e ^ {- ixt} \, dt.}$

De fleste stabile distribusjoner har ikke et kjent uttrykk for lukket form for deres sannsynlighetstetthetsfunksjoner. Bare den normale , Cauchy og Lévy-distribusjonen har kjent lukkede formuttrykk når det gjelder elementære funksjoner . Holtsmark-fordelingen er en av to symmetriske stabile distribusjoner som har et kjent uttrykk i lukket form når det gjelder hypergeometriske funksjoner . Når er lik 0 og skala-parameteren er lik 1, har Holtsmark-fordelingen sannsynlighetstetthetsfunksjonen: ${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (x; 0,1) & = {1 \ over \ pi} \, \ Gamma \ venstre ({5 \ over 3} \ høyre) {_ {2} F_ {3 }} \! \ left ({5 \ over 12}, {11 \ over 12}; {1 \ over 3}, {1 \ over 2}, {5 \ over 6}; - {4x ^ {6} \ over 729} \ høyre) \\ & {} \ quad {} - {x ^ {2} \ over 3 \ pi} \, {_ {3} F_ {4}} \! \ left ({3 \ over 4 }, {1}, {5 \ over 4}; {2 \ over 3}, {5 \ over 6}, {7 \ over 6}, {4 \ over 3}; - {4x ^ {6} \ over 729} \ høyre) \\ & {} \ quad {} + {7x ^ {4} \ over 81 \ pi} \, \ Gamma \ left ({4 \ over 3} \ høyre) {_ {2} F_ { 3}} \! \ Left ({13 \ over 12}, {19 \ over 12}; {7 \ over 6}, {3 \ over 2}, {5 \ over 3}; - {4x ^ {6} \ over 729} \ høyre), \ end {justert}}}$

hvor er gammafunksjonen og er en hypergeometrisk funksjon . Man har også ${\ displaystyle {\ Gamma (x)}}$${\ displaystyle \; _ {m} F_ {n} ()}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (x; 0,1) & = {\ frac {- \ beta ^ {2}} {6 \ pi}} \ venstre [~ _ {2} F_ {2} \ venstre (1, {\ frac {3} {2}}; {\ frac {4} {3}}, {\ frac {5} {3}}; - {\ frac {4i \ beta ^ {3}} {27}} \ høyre) + ~ _ {2} F_ {2} \ venstre (1, {\ frac {3} {2}}; {\ frac {4} {3}}, {\ frac {5} {3}}; {\ frac {4i \ beta ^ {3}} {27}} \ right) \ right] \\ & + {\ frac {4} {3 \ times 3 ^ {2/3}}} \ left [\ mathrm {Bi} '\ left (- {\ frac {\ beta ^ {2}} {3 \ times 3 ^ {1/3}}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {2 \ beta ^ {3}} {27}} \ right) + {\ frac {\ beta} {3 ^ {2/3}}} ~ \ mathrm {Bi} \ left (- {\ frac {\ beta ^ { 2}} {3 \ ganger 3 ^ {1/3}}} høyre) \ sin \ venstre ({\ frac {2 \ beta ^ {3}} {27}} \ høyre) \ høyre], \ slutt { justert}}}$

hvor er den luftige funksjonen av den andre typen og dens derivat. Argumentene til funksjonene er rene imaginære komplekse tall, men summen av de to funksjonene er reell. For positivt er funksjonen relatert til Bessel-funksjonene i brøkorden og og dens derivat til Bessel-funksjonene i brøkorden og . Derfor kan man skrive ${\ displaystyle \ mathrm {Bi}}$${\ displaystyle \ mathrm {Bi} '}$${\ displaystyle _ {2} F_ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mathrm {Bi} (-x)}$${\ displaystyle J _ {- 1/3}}$${\ displaystyle J_ {1/3}}$${\ displaystyle J _ {- 2/3}}$${\ displaystyle J_ {2/3}}$

${\ displaystyle {\ begin {justert} f (x; 0,1) & = {\ frac {4 \ beta ^ {2}} {27 {\ sqrt {3}}}} \ venstre \ {\ cos \ venstre ({\ frac {2 \ beta ^ {3}} {27}} \ høyre) \ venstre [J _ {- 2/3} \ venstre ({\ frac {2 \ beta ^ {3}} {27}} \ høyre) + J_ {2/3} \ venstre ({\ frac {2 \ beta ^ {3}} {27}} \ høyre) \ høyre] + \ sin \ venstre ({\ frac {2 \ beta ^ {3 }} {27}} \ høyre) \ venstre [J _ {- 1/3} \ venstre ({\ frac {2 \ beta ^ {3}} {27}} \ høyre) -J_ {1/3} \ venstre ({\ frac {2 \ beta ^ {3}} {27}} \ høyre) \ høyre] \ høyre \} \\ & - {\ frac {\ beta ^ {2}} {6 \ pi}} \ venstre [~ _ {2} F_ {2} \ left (1, {\ frac {3} {2}}; {\ frac {4} {3}}, {\ frac {5} {3}}; - { \ frac {4i \ beta ^ {3}} {27}} \ høyre) + ~ _ {2} F_ {2} \ left (1, {\ frac {3} {2}}; {\ frac {4} {3}}, {\ frac {5} {3}}; {\ frac {4i \ beta ^ {3}} {27}} \ høyre) \ høyre]. \ Slutt {justert}}}$

Referanser

• Hummer, DG (1986). "Rasjonelle tilnærminger for fordeling av holtsmark, dens kumulative og avledede" . Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 36 : 1–5. Bibcode : 1986JQSRT..36 .... 1H . doi : 10.1016 / 0022-4073 (86) 90011-7 .