Fantasiert tall - Imaginary number

Et imaginært tall er et komplekst tall som kan skrives som et reelt tall multiplisert med den imaginære enheten i , som er definert av dens egenskap i ² = −1 . Den kvadratet av et imaginært tall bi er - f ² . For eksempel er 5 i et imaginært tall, og kvadratet er −25 . Per definisjon anses null å være både ekte og imaginær.

Konseptet ble opprinnelig myntet på 1600-tallet av René Descartes som et nedsettende begrep og betraktet som fiktivt eller ubrukelig, og konseptet fikk bred aksept etter arbeidet til Leonhard Euler (på 1700-tallet) og Augustin-Louis Cauchy og Carl Friedrich Gauss (tidlig 1800 -tallet).

Et imaginært tall bi kan legges til et reelt tall a for å danne et komplekst tall av formen a + bi , der de reelle tallene a og b kalles henholdsvis den virkelige delen og den imaginære delen av det komplekse tallet.

Historie

En illustrasjon av det komplekse planet. De imaginære tallene er på den vertikale koordinataksen.

Selv om den greske matematikeren og ingeniøren Hero of Alexandria er kjent som den første som har tenkt imaginære tall, var det Rafael Bombelli som først fastsatte reglene for multiplikasjon av komplekse tall i 1572. Konseptet hadde dukket opp på trykk tidligere, for eksempel i arbeid av Gerolamo Cardano . På den tiden ble imaginære tall og negative tall dårlig forstått og ble av noen sett på som fiktive eller ubrukelige mye som null en gang var. Mange andre matematikere var trege med å bruke bruk av imaginære tall, inkludert René Descartes , som skrev om dem i La Géométrie der begrepet imaginær ble brukt og ment å være nedsettende. Bruken av imaginære tall ble ikke allment akseptert før arbeidet til Leonhard Euler (1707–1783) og Carl Friedrich Gauss (1777–1855). Den geometriske betydningen av komplekse tall som punkter i et fly ble først beskrevet av Caspar Wessel (1745–1818).

I 1843 utvidet William Rowan Hamilton ideen om en akse med imaginære tall i planet til et firedimensjonalt rom med kvarternion-fantasier der tre av dimensjonene er analoge med de imaginære tallene i det komplekse feltet.

Geometrisk tolkning

90-graders rotasjoner i det komplekse planet

Geometrisk finnes imaginære tall på den vertikale aksen til det komplekse tallplanet , som gjør at de kan presenteres vinkelrett på den virkelige aksen. En måte å se på imaginære tall er å vurdere en standard tallinje som positivt øker i størrelse til høyre og negativt øker i størrelse til venstre. Ved 0 på x -aksen kan en y -akse tegnes med "positiv" retning opp; "positive" imaginære tall øker deretter i størrelse oppover, og "negative" imaginære tall øker i størrelse nedover. Denne vertikale aksen kalles ofte "den imaginære aksen" og er betegnet eller ℑ . ${\ displaystyle i \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {I},}$

I denne representasjonen tilsvarer multiplikasjon med  –1 en rotasjon på 180 grader rundt opprinnelsen. Multiplikasjon med i tilsvarer en 90-graders rotasjon i "positiv" mot klokken, og ligningen i ² = −1 tolkes slik at hvis vi bruker to 90-graders rotasjoner om opprinnelsen, er nettoresultatet et enkelt 180 graders rotasjon. Legg merke til at en 90-graders rotasjon i den "negative" (med klokken) retningen også tilfredsstiller den tolkningen, noe som gjenspeiler det faktum at - i også løser ligningen x ² = −1 . Generelt er multiplisering med et komplekst tall det samme som å rotere rundt opprinnelsen med det komplekse tallets argument , etterfulgt av en skalering med størrelsen.

Kvadratrøtter av negative tall

Vær forsiktig når du arbeider med imaginære tall som er uttrykt som hovedverdiene til kvadratrøttene til negative tall :

${\ displaystyle 6 = {\ sqrt {36}} = {\ sqrt {(-4) (-9)}} \ neq {\ sqrt {-4}} {\ sqrt {-9}} = (2i) ( 3i) = 6i^{2} =-6.}$

Det er noen ganger skrevet som:

${\ displaystyle -1 = i^{2} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} {\ stackrel {\ text {(feil)}} {=}} {\ sqrt {(- 1) (-1)}} = {\ sqrt {1}} = 1.}$

Den feilslutning skjer som likestilling mislykkes når variablene ikke er hensiktsmessig begrenset. I så fall holder likheten ikke, siden tallene begge er negative, noe som kan demonstreres av: ${\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-x}} {\ sqrt {-y}} = i {\ sqrt {x}} \ i {\ sqrt {y}} = i^{2} {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} =-{\ sqrt {xy}} \ neq {\ sqrt {xy}},}$

hvor både x og y er ikke-negative reelle tall.

Se også

• de Moivres formel
• Octonion
• -1

Merknader

Referanser

Bibliografi

• Nahin, Paul (1998). En fantasifortelling: historien om kvadratroten til -1 . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., forklarer mange anvendelser av imaginære uttrykk.

Eksterne linker

• Hvordan kan man vise at imaginære tall virkelig eksisterer? - en artikkel som diskuterer eksistensen av imaginære tall.
• 5Nummerprogram 4 BBC Radio 4 -program
• Hvorfor bruke imaginære tall? Grunnleggende forklaring og bruk av imaginære tall