Imaginær enhet - Imaginary unit

Den imaginære enheten eller enhetens imaginære tall ( i ) er en løsning på den kvadratiske ligningen x ² + 1 = 0 . Selv om det ikke er noe reelt tall med denne egenskapen, kan jeg brukes til å utvide de reelle tallene til det som kalles komplekse tall , ved å bruke tillegg og multiplikasjon . Et enkelt eksempel på bruk av i i et komplekst tall er 2 + 3 i .

Imaginære tall er et viktig matematisk konsept, som utvider det reelle tallsystemet til det komplekse tallsystemet , der minst én rot for hvert ikke -konstant polynom eksisterer (se algebraisk nedleggelse og grunnleggende teorem om algebra ). Her brukes begrepet "imaginær" fordi det ikke er et reelt tall som har en negativ firkant . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Det er to komplekse kvadratrøtter av -1 , nemlig i og - i , akkurat som det er to komplekse kvadratrøtter av hvert reelt tall annet enn null (som har en dobbel kvadratrot ).

I sammenhenger der bruk av bokstaven i er tvetydig eller problematisk, blir bokstaven j eller den greske ι noen ganger brukt i stedet. For eksempel, innen elektroteknikk og kontrollsystemteknikk , er den imaginære enheten normalt betegnet med j i stedet for i , fordi i vanligvis brukes til å betegne elektrisk strøm .

Definisjon

Kreftene til i returnerer sykliske verdier:
... (gjentar mønsteret fra fet blått område)
i −3 = i
i −2 = −1
i −1 = - i
jeg 0 = 1
jeg 1 = i
i 2 = −1
jeg 3 = - jeg
i 4 = 1
jeg 5 = i
i 6 = −1
... (gjentar mønsteret fra det markerte blå området)

Det imaginære tallet i er utelukkende definert av egenskapen at kvadratet er −1:

${\ displaystyle i^{2} =-1 ~.}$

Med i definert på denne måten følger det direkte fra algebra at i og - i begge er kvadratrøtter til -1.

Selv om konstruksjonen kalles "imaginær", og selv om konseptet med et imaginært tall kan være intuitivt vanskeligere å forstå enn et reelt tall, er konstruksjonen helt gyldig fra et matematisk synspunkt. Virkelige talloperasjoner kan utvides til imaginære og komplekse tall, ved å behandle i som en ukjent størrelse mens man manipulerer et uttrykk (og bruker definisjonen til å erstatte enhver forekomst av i ² med -1). Høyere integralkrefter til i kan også erstattes med - i , 1, i eller −1:

${\ displaystyle i^{3} = i^{2} i = (-1) i = -i}$

${\ displaystyle i^{4} = i^{3} i = (-i) i =-(i^{2}) =-(-1) = 1}$ eller, tilsvarende, ${\ displaystyle i^{4} = (i^{2}) (i^{2}) = (-1) (-1) = 1}$

${\ displaystyle i^{5} = i^{4} i = (1) i = i}$

På samme måte som med alle reelle tall som ikke er null:

${\ displaystyle i^{0} = i^{1-1} = i^{1} i^{-1} = i^{1} {\ frac {1} {i}} = i {\ frac { 1} {i}} = {\ frac {i} {i}} = 1}$

Som et komplekst tall er i representert i rektangulær form som 0 + 1 i , med en null virkelig komponent og en enhet imaginær komponent. I polar form , jeg er representert som 1⋅ e ^{Multiplikasjon / 2} (eller bare e ^{Multiplikasjon / 2} ), med en absolutt verdi (eller størrelsen) på 1 og et argument (eller vinkelen) av π / 2 . I det komplekse planet (også kjent som Argand planet), som er en spesiell tolkning av et kartesisk plan , i er det punkt som ligger en enhet fra origo langs den imaginære akse (som er ortogonal i forhold til den reelle aksen ).

jeg vs. - jeg

Være en kvadratisk polynom uten multiple rot , den definerende ligning x ² = -1 har to adskilte oppløsninger, som er like gyldig, og som måtte være additive og multiplikative inverse av hverandre. Når en løsning i av ligningen er fikset, er verdien - i , som er forskjellig fra i , også en løsning. Siden ligningen er den eneste definisjonen av i , ser det ut til at definisjonen er tvetydig (mer presist, ikke veldefinert ). Imidlertid vil det ikke oppstå noen tvetydighet så lenge en eller annen av løsningene velges og merkes som " i ", med den andre deretter merket som - i . Tross alt, selv om - i og + i ikke er kvantitativt likeverdige (de er negative til hverandre), er det ingen algebraisk forskjell mellom + i og - i , ettersom begge imaginære tallene har samme krav til å være tallet hvis kvadrat er −1 .

Faktisk hvis alle matematiske lærebøker og publisert litteratur som refererer til imaginære eller komplekse tall skulle skrives om med - jeg erstatter hver forekomst av + i (og derfor hver forekomst av - i erstattet av - ( - i ) = + i ), alle fakta og teoremer vil forbli gyldige. Skillet mellom de to røttene x på x ² + 1 = 0 , med en av dem merket med et minustegn, er rent et notasjonsk levn; ingen rot kan sies å være mer primær eller grunnleggende enn den andre, og ingen av dem er "positive" eller "negative".

Spørsmålet kan være subtilt: Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet , definert som ℝ [ x ]/( x ² + 1) (se komplekst tall ), er unikt opp til isomorfisme , er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme: Det er nøyaktig to feltautomorfismer på ℝ [ x ]/( x ² + 1) som holder hvert reelle tall fast: Identiteten og automorfismen som sender x til - x . For mer, se kompleks konjugat- og Galois -gruppe .

Matriser

Et lignende problem oppstår hvis de komplekse tallene tolkes som 2 × 2 reelle matriser (se matrisepresentasjon av komplekse tall ), fordi da begge

${\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \; \; 0 \ end {pmatrix}}}$     og     ${\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} \; \; 0 & 1 \\-1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

ville være løsninger på matriksligningen

${\ displaystyle X^{2} =-I =-{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 & \; \; 0 \\\; \; 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}$

I dette tilfellet skyldes tvetydigheten det geometriske valget av hvilken "retning" rundt enhetssirkelen som er "positiv" rotasjon. En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen SO (2, ℝ ) har nøyaktig to elementer: Identiteten og automorfismen som utveksler "CW" (med klokken) og "CCW" (mot klokken) rotasjoner . For mer, se ortogonal gruppe .

Alle disse uklarhetene kan løses ved å vedta en mer streng definisjon av komplekst tall , og ved eksplisitt å velge en av løsningene til ligningen som den imaginære enheten. For eksempel, det ordnede paret (0, 1), i den vanlige konstruksjonen av de komplekse tallene med todimensjonale vektorer.

Vurder matriksligningen Her, z ² + xy = –1 , så produktet xy er negativt fordi xy = - (1 + z ² ) , og dermed ligger punktet ( x , y ) i kvadrant II eller IV. Dessuten, ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} z ​​& x \\ y & -z \ end {pmatrix}}^{2} \! \! = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}. }$

${\ displaystyle z^{2} = -(1+xy) \ geq 0 \ innebærer xy \ leq -1}$

så ( x , y ) er avgrenset av hyperbola xy = –1 .

Riktig bruk

Den imaginære enheten er noen ganger skrevet √ −1  i avanserte matematiske sammenhenger (så vel som i mindre avanserte populære tekster). Imidlertid må man være veldig forsiktig når man manipulerer formler som involverer radikaler . Radikaltegnet er forbeholdt enten den viktigste kvadratrotfunksjonen, som bare er definert for ekte x ≥ 0 , eller for hovedgrenen til den komplekse kvadratrotfunksjonen. Forsøk på å anvende beregningsreglene for hovedfunksjonen (ekte) kvadratrotfunksjonen for å manipulere hovedgrenen til den komplekse kvadratrotfunksjonen kan gi falske resultater:

${\ displaystyle -1 = i \ cdot i = {\ sqrt {-1 \,}} \ cdot {\ sqrt {-1 \,}} = {\ sqrt {(-1) \ cdot (-1) \, }} = {\ sqrt {1 \,}} = 1 \ qquad (feil).}$

På samme måte:

${\ displaystyle {\ frac {1} {\, i \,}} = {\ frac {\ sqrt {1 \,}} {\, {\ sqrt {-1 \,}} \;}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {\,-1 \;}} \,}} = {\ sqrt {{\ frac {\,-1 \;} {1}} \,}} = {\ sqrt { -1 \,}} = i \ qquad (feil).}$

Regneglene

${\ displaystyle {\ sqrt {a \,}} \ cdot {\ sqrt {b \,}} = {\ sqrt {a \ cdot b \,}}}}$

og

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {a \,}} {\ sqrt {b \,}}} = {\ sqrt {{\ frac {\, a \,} {b}} \,}}}}$

er bare gyldige for virkelige, positive verdier av a og b .

Disse problemene kan unngås ved å skrive og manipulere uttrykk som i √ 7  , i stedet for √ −7  . For en mer grundig diskusjon, se kvadratrot og grenpunkt .

Egenskaper

Kvadratrøtter

Akkurat som alle komplekse tall uten null, har jeg to kvadratrøtter: de er

${\ displaystyle \ pm \ left ({\ frac {\ sqrt {2 \,}} {2}}+{\ frac {\ sqrt {2}} {2}} i \ right) = \ pm {\ frac { \ sqrt {2 \,}} {2}} (1+i).}$

Faktisk gir kvadrering av begge uttrykkene:

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ venstre (\ pm {\ frac {\ sqrt {2 \,}} {2}} (1+i) \ høyre)^{2} \ & = \ venstre (\ pm {\ frac {\ sqrt {2 \,}} {2}} \ høyre)^{2} (1+i)^{2} \ \\ & = {\ frac {1} {2}} (1+ 2i+i^{2}) \\ & = {\ frac {1} {2}} (1+2i-1) \ \\ & = i ~. \, \\\ end {align}}}$

Ved å bruke det radikale tegnet for den viktigste kvadratroten , får vi:

${\ displaystyle {\ sqrt {i \,}} = {\ frac {\ sqrt {2 \,}} {2}} (1+i) ~.}$

Kuberøtter

De tre kube røttene til i er:

${\ displaystyle -i,}$

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3 \,}} {2}}+{\ frac {i} {2}} \ ,,}$ og

${\ displaystyle -{\ frac {\ sqrt {3 \,}} {2}}+{\ frac {i} {2}} ~.}$

I likhet med alle røttene til 1 , er alle røttene til i hjørnene til vanlige polygoner , som er innskrevet i enhetssirkelen i det komplekse planet.

Multiplikasjon og divisjon

Multiplisering av et komplekst tall med i gir:

${\ displaystyle i \, (a+bi) = ai+bi^{2} =-b+ai ~.}$

(Dette tilsvarer en 90 ° rotasjon mot urviseren av en vektor om opprinnelsen i det komplekse planet.)

Deling med i tilsvarer å multiplisere med det gjensidige av i :

${\ displaystyle {\ frac {1} {i}} = {\ frac {1} {i}} \ cdot {\ frac {i} {i}} = {\ frac {i} {i^{2}} } = {\ frac {i} {-1}} =-i ~.}$

Å bruke denne identiteten til å generalisere divisjon med i til alle komplekse tall gir:

${\ displaystyle {\ frac {a+bi} {i}} =-i \, (a+bi) =-ai-bi^{2} = b-ai ~.}$

(Dette tilsvarer en 90 ° rotasjon med urviseren av en vektor om opprinnelsen i det komplekse planet.)

Fullmakter

Kreftene til i gjentar i en syklus som kan uttrykkes med følgende mønster, hvor n er et helt tall:

${\ displaystyle i^{4n} = 1}$

${\ displaystyle i^{4n+1} = i}$

${\ displaystyle i^{4n+2} =-1}$

${\ displaystyle i^{4n+3} =-i,}$

Dette fører til konklusjonen at

${\ displaystyle i^{n} = i^{(n {\ bmod {4}})}}$

hvor mod representerer modulo -operasjonen . Tilsvarende:

${\ displaystyle i^{n} = \ cos (n \ pi /2)+i \ sin (n \ pi /2)}$

jeg hevet meg til i

Ved å bruke Eulers formel , i ⁱ er

${\ displaystyle i^{i} = \ left (e^{i (\ pi /2+2k \ pi)} \ right)^{i} = e^{i^{2} (\ pi /2+2k \ pi)} = e^{-(\ pi /2+2k \ pi)}}$

hvor k ∈ ℤ , settet med heltall .

Den viktigste verdi (for k = 0 ) er e ^{- π / 2} , eller tilnærmet 0,207879576.

Faktorisk

Den faktorielle av den imaginære enhet i er oftest gitt i form av gammafunksjonen evalueres ved 1 + i :

${\ displaystyle i! = \ Gamma (1+i) \ ca 0.4980-0.1549i ~.}$

Også,

${\ displaystyle | i! | = {\ sqrt {{\ frac {\ pi} {\, \ sinh \ pi \,}} \,}}}$

Andre operasjoner

Mange matematiske operasjoner som kan utføres med reelle tall kan også utføres med i , for eksempel eksponentiering, røtter, logaritmer og trigonometriske funksjoner. Alle de følgende funksjonene er komplekse funksjoner med flere verdier , og det bør tydelig angis hvilken gren av Riemann-overflaten funksjonen er definert på i praksis. Nedenfor er resultatene for den mest valgte grenen.

Et tall hevet til ni -makt er:

${\ displaystyle x^{ni} = \ cos (n \ ln x)+i \ sin (n \ ln x) ~.}$

De ni ^th roten av et tall er:

${\ displaystyle {\ sqrt [{ni}] {x \,}} = \ cos \ left ({\ frac {\ ln x} {n}} \ right) -i \ sin \ left ({\ frac {\ ln x} {n}} \ høyre) ~.}$

Den imaginære-baserte logaritmen til et tall er:

${\ displaystyle \ log _ {i} x = {\ frac {2 \ ln x} {i \ pi}} ~.}$

Som med et hvilket som helst kompleks logaritme , den logaritmen med base i ikke er entydig definert.

Den cosinus av jeg er et reelt tall:

${\ displaystyle \ cos i = \ cosh 1 = {\ frac {e+1/e} {2}} = {\ frac {e^{2} +1} {2e}} \ approx 1.54308064 \ ldots}$

Og sinen til i er rent imaginær:

${\ displaystyle \ sin i = i \ sinh 1 = {\ frac {e-1/e} {2}} i = {\ frac {e^{2} -1} {2e}} i \ approx (1.17520119 \ ldots) i ~.}$

Historie

Se også

• Eulers identitet
• Matematisk konstant
• Mangfold (matematikk)
• Enhetsrot
• Enhetskompleksnummer

Merknader

Referanser

Videre lesning

• Nahin, Paul J. (1998). En fantasifortelling: Historien om i [kvadratroten til minus én] . Chichester: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1 - via Archive.org.

Eksterne linker

• Euler, Leonhard . "Imaginary Roots of Polynomials" .på "Konvergens" . mathdl.maa.org . Mathematical Association of America. Arkivert fra originalen 13. juli 2007.